《1.3.1 二项式定理》学历案

《1.3.1二项式定理》学历案姓名：班级：学号：【主题与课时】人民教育出版社高中选修23第一章计数原理1.3.1二项式定理【课标要求】1、理解二项式定理，能用计数原理证明二项式定理。2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。【学习目标】1、同学们在学完这节课后，能准确说出二项式定理的表达式。比如说，像$（a＋b)＾n$展开后是什么样的式子，要能说得出来。2、能够理解二项式定理推导过程中所用到的计数原理，就是知道这个式子是怎么来的，而不是死记硬背。3、可以熟练运用二项式定理去求二项展开式中的特定项，例如求第k项是啥样的。4、能解决一些简单的二项式相关的实际问题，就像在生活里遇到的一些类似情况，也能把这个知识用上。【评价任务】1、通过课堂提问和小组讨论的表现，来检测目标1和2是否达成。如果在课堂上能积极回答关于二项式定理表达式和推导原理的问题，那就说明掌握得还不错。2、做一些专门设计的练习题，要是能顺利求出二项展开式中的特定项，就达到目标3啦。3、布置一个实际的小问题，要是能运用二项式定理解决，那目标4就达成了。【学习过程】一、情境导入同学们，咱们来想象一下这样一个场景啊。学校要组织一场趣味数学竞赛，其中有一个挑战环节是关于数字组合的。给你一个像$（a＋b)＾n$这样的式子，让你快速算出它展开后的结果。这可不像咱们平常简单的加法或者乘法运算哦。这就好比你要把一堆不同颜色的积木按照特定的规则组合起来，而且这个规则还和数学里的计数原理有关系呢。这时候啊，咱们要是掌握了一个神奇的公式，就能轻松搞定这个挑战啦，这个神奇的公式就是咱们今天要学习的二项式定理。二、任务一：二项式定理的表达式1、首先呢，咱们来探索一下二项式定理的表达式到底长啥样。咱们从简单的例子开始看啊。比如说$（a＋b)＾2$，根据咱们学过的乘法分配律，＄（a＋b)＾2=（a＋b)（a＋b)＝a^2+2ab＋b^2$。那要是$（a＋b)＾3$呢？咱们可以这样一步一步算，＄（a＋b)＾3=（a＋b)（a＋b)（a＋b)＄，展开之后就得到$a^3+3a^2b＋3ab^2+b^3$。2、大家观察一下这两个式子，有没有发现一些规律呢？咱们可以一起讨论一下。是不是发现展开式中的每一项都是由a和b的幂次组成的，而且幂次之和就等于原来的指数n呢？比如说在$（a＋b)＾2$的展开式中，＄a^2$里a的幂次是2，b的幂次是0，2+0＝2；＄2ab$里a的幂次是1，b的幂次是1，1+1＝2；＄b^2$里a的幂次是0，b的幂次是2，0+2＝2。在$（a＋b)＾3$的展开式中也有同样的规律哦。3、那咱们再往大一点的指数看看，假如是$（a＋b)＾n$呢？这时候啊，就有一个通用的表达式啦，这个表达式就是二项式定理的表达式：＄（a＋b)＾n＝C_{n}＾0a^n+C_{n}＾1a^｛n1}b＋C_{n}＾2a^｛n2}b^2+＼cdots+C_{n}＾nb^n$，这里面的$C_{n}＾k$就是组合数，组合数的计算咱们以前也学过哦。这个式子看起来有点复杂，但是只要咱们理解了前面的例子，就会发现其实它就是把前面那些简单情况的规律总结出来的。4、现在咱们来做个小游戏，我在黑板上写几个简单的二项式，像$（a＋b)＾4$、＄（a＋b)＾5$，大家分组来写一下它们的展开式，然后咱们互相检查一下，看看是不是按照二项式定理的表达式来写的。三、任务二：二项式定理的推导原理1、那这个二项式定理是怎么推导出来的呢？这就和咱们之前学过的计数原理有关系啦。咱们还是从简单的例子开始想。比如说$（a＋b)＾3=（a＋b)（a＋b)（a＋b)＄，展开式中的每一项是怎么来的呢？2、对于$a^3$这一项，它是从三个括号里都选了a相乘得到的，那根据计数原理，这只有一种选法，也就是$C_{3}＾0＝1$种选法，所以前面的系数就是1。3、对于$a^2b$这一项呢，它是从三个括号里选了两个a和一个b相乘得到的。那从三个里面选两个a的选法有多少种呢？这就是组合数$C_{3}＾2＝3$种选法，所以这一项的系数就是3。4、同样的道理，对于$ab^2$这一项，是从三个括号里选了一个a和两个b相乘得到的，选法有$C_{3}＾1＝3$种，系数就是3；对于$b^3$这一项，是从三个括号里都选了b相乘得到的，选法有$C_{3}＾3＝1$种，系数就是1。5、大家现在能不能理解二项式定理推导过程中的计数原理了呢？咱们再举个例子，比如说$（a＋b)＾4$，大家自己试着用计数原理来推导一下它的展开式，然后小组之间互相交流一下自己的推导过程，看看有没有不同的想法。四、任务三：运用二项式定理求特定项1、学会了二项式定理的表达式和推导原理，那咱们就要用它来解决实际问题啦。比如说，咱们要求$（a＋b)＾n$展开式中的第k项。根据二项式定理的表达式，第k项的表达式是$T_{k}＝C_{n}＾｛k1}a^｛n(k1)｝b^｛k1}＄。2、咱们来做个练习题，求$（2xy)＾5$展开式中的第3项。首先呢，这里$n＝5$，＄k＝3$，＄a＝2x$，＄b=y$。那根据公式，第3项$T_{3}＝C_{5}＾｛2}（2x)＾｛52}（y)＾｛2}＄。先计算组合数$C_{5}＾｛2}＝＼frac{5!｝｛2!（52)！｝＝＼frac{5\times4}｛2\times1}＝10$，然后$（2x)＾｛3}＝8x^3$，＄（y)＾｛2}＝y^2$，所以第3项就是$10\times8x^3y^2＝80x^3y^2$。3、现在大家自己做几个练习题吧。求$（3x＋2y)＾6$展开式中的第4项，还有$（x＼frac{1}｛x}）＾7$展开式中的第5项。做完之后同桌之间互相检查一下，看看做得对不对。五、任务四：二项式定理的实际应用1、咱们前面说过要把二项式定理用到实际生活中，现在就来看看一个实际的例子。假设一个工厂要生产一种新的产品，有两种原材料A和B，在生产过程中，A和B的使用比例会影响产品的质量。如果把产品质量看成是一个关于A和B使用比例的函数，这个函数就可以用二项式定理来近似表示。比如说，假设产品质量Q和A、B的使用比例x、y有关系，＄Q=（x＋y)＾n$（这里n是一个根据实际生产情况确定的常数），那我们就可以用二项式定理展开这个式子，然后根据不同的需求来调整A和B的使用比例，以达到最佳的产品质量。2、再举个例子，在一个投资组合中，有两种投资产品A和B，它们的收益情况和市场波动有关系。假设总收益R可以用一个类似二项式的式子表示，＄R=（a＋b)＾n$（这里a和b是和A、B收益相关的系数，n是投资周期等因素相关的数），那我们就可以用二项式定理展开这个式子，分析在不同市场情况下，如何调整A和B的投资比例来获得最大的收益。3、现在老师给大家出一个小问题。假设有一个抽奖活动，有两种奖项，一等奖和二等奖，中奖概率分别为p和q（p+q＝1），一共抽n次，那抽中k次一等奖的概率是多少呢？大家可以试着用二项式定理来解决这个问题哦。【作业与检测】1、基础题（1)写出$（a＋3b)＾4$的展开式。（2)求$（x2y)＾5$展开式中的第3项。2、提高题（1)在$（1＋x)＾n$的展开式中，若第3项与第7项的系数相等，求n的值。（2)已知$（2x＋＼frac{1}｛＼sqrt{x}｝）＾n$的展开式中第4项为常数项，求n的值并求出这个常数项。3、拓展题某公司推出一款新产品，市场反应与产品的价格和功能有关。假设市场反应M可以用式子$M=（p＋f)＾n$表示（其中p为价格因素，f为功能因素，n为市场相关的常数），根据市场调查，当p＝0.6，f＝0.4，n＝5时，市场反应较好。现在公司想调整价格和功能因素，当p＝0.5时，要保持市场反应不变，f应该调整为多少？（提示：用二项式定理展开式子，根据已知条件求出相关值）【课后反思】1、在学习二项式定理的表达式过程中，有没有觉得哪个地方比较难理解呢？是组合数