《等比数列（第2课时）》教学设计

1/22.4等比数列第二课时（马浚）一、教学目标1．核心素养通过对等比数列第二课时的学习,提高逻辑推理和数学运算能力,逐渐形成举一反三的思维.2．学习目标（1）类比等差数列性质,猜想等比数列性质.（2）能证明等比数列的性质.（3）能利用性质减少运算量,迅速解决等比数列相关问题.3．学习重点掌握等比数列的性质及证明.4．学习难点等比中项的确定与学会挖掘条件,利用等比数列性质解决问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考等比数列相邻三项有怎样的关系关系?知道前后两项一定能确定中间项吗?任务2由特殊到一般,通过特殊等比数列,思考若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则对应项会有怎样的关系?任务3等比数列中,随机挑选出来的项还能构成等比数列吗?需要满足怎样的要求?请证明你的结论?2.预习自测一、选择题1.已知等比数列中，公比且则（）A.4B.5C.6D.7答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】∵等比数列中,,公比q≠±1,,∴,∴m-1=15,解得m=16．故答案为:16．（）A.9B.-9C.9D.0答案:C.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力根据已知条件求出等比数列的通项公式:,然后求得二、填空题1.已知等比数列前三项:则________.答案:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】解析：∵a-1,a+1,a+4为等比数列的前三项,∴（a+1）2=（a-1）（a+4）,

解得:a=5,∴等比数列的前三项依次为4,6,9,可得公比q=,首项为4,

则=．故答案为:（二）课堂设计1．知识回顾等差数列性质（1）若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A＝.（2）若为等差数列,且m＋n＝p＋q,则(m,n,p,q∈N*)．（3）若是等差数列,公差为d,则(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.2．问题探究问题探究一猜想等比数列有怎样的性质？●活动一回顾旧知,进行类比等差数列的性质分为三点1.若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A＝..2.若为等差数列,且m＋n＝p＋q,则(m,n,p,q∈N*)．3.若是等差数列,公差为d,则(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.●活动二集思广益,大胆猜想类比猜想等比数列性质亦分为三点1.如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2＝ab.2.若为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则．3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即仍是等比数列,公比为．问题探究二等比数列性质的证明重点、难点知识★▲●活动一温故知新,类比证明回忆等差数列性质的证明,均是利用等差数列的定义,同样不妨尝试利用等比数列的定义对等比数列性质进行证明●活动二夯实基础,证明性质1.由定义得,即:.2.若,则3.同理,利用定义可证明仍是等比数列,公比为．问题探究三怎样利用等比数列的性质重点、难点知识★▲●活动一初步运用,形成思维.例1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11＝16,则log2a10＝()A．4B．5C．6D．7答案:B.【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】●活动二能力提升,完善思维.例2.已知是等比数列,且,求.答案:5.【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】例3.已知等差数列的第二项为8,前十项的和为185,从数列中,依次取出第2项、第4项、第8项、……、第项按原来的顺序排成一个新数列,求数列的通项公式.答案:.【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3．课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳)【知识梳理】1.如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2＝ab.2.若为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则．3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即仍是等比数列,公比为．【重难点突破】1.只有当同号,即时,才有等比中项且有两个,它们互为相反数,若,没有等比中项.2.等比数列中共所有证明都要结合定义,从而进行推理,论证.3.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m＋n＝p＋q,则”,可以减少运算量,提高解题速度．4.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形．此外,解题时注意设而不求思想的运用．随堂检测一、选择题1.4与9的等比中项为（）A.6B.-6C.±6D.36答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质】假设等比数列{an},,求它们的等比中项即,由题意可知,故,即4与9的等比中项为±6.2.等比数列{an}中,和是方程x2+6x+2=0的两根,则=（）A.B.C.D.答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质,根与系数的关系】由方程可知,因为,所以=3.已知数列是等比数列,是1和3的等差中项,则=（）A.16B.C.2D.4答案:D.解析:【知识点:等比数列性质】更多由题意可知=2,所以4.已知等比数列的各项均为正数,且满足:,则数列的前9项之和为______．答案:9.解析:【知识点:等比数列的性质,对数运算性质】∵an＞0,且．∴．故答案为:9．5.已知{an}是各项均为正数的等比数列,,则．答案:.解析:【知识点:等比数列的性质,等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】由等比数列的性质知,,,成等比数列,所以=,故答案为.（三）课后作业基础型自主突破一、选择题1．已知-9,,,-1成等差数列,-9,,,,-1成等比数列,则的值为（）A.8B.-8C.D.答案:B.解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列的性质】设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,有−9+3d=−1,b2=9,因为是第三项,与第一项同号,所以d=,b2=-3,∴．2.已知等差数列的首项,公差,且是与的等比中项,则（）A.-1B.1C.-2D.2答案:B.解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列通项公式】由是与的等比中项,得=∙,即(+d)2=(+3d),

又=1,∴（d+1）2=3d+1,又d≠0,解得:d=1．故选:B．3.在等比数列中,若,,则该数列前五项的积为（）A.B.C.D.1答案:D.解析：【知识点:等比数列的性质】∵等比数列{an}中,,,∴,∴q=3,∴该数列前五项的积=q1+2+3+4==1．故选D4．已知等比数列满足,,则（）A.2B.1C.D.答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】设等比数列{an}的公比为q,∵,,∴()2×q6=4(q3−1),

化为q3=8,解得q=2则a2=×2=．故选:C．二、填空题1.在等差数列和等比数列中,已知,那么满足的的所有取值构成的集合是_________.答案:{3,5}解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】∵在等差数列中,=-8,=-2,∴d=-=-2+8=6,∴an=-8+（n-1）×6=6n-14,∵等比数列中,b1=1,b2=2,∴q==2,∴,∵,∴6n-14=2n-1,解得n=3或n=5,∴满足的n的所有取值构成的集合是{3,5}．2.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列,则_______．答案：见解析解析：【知识点:等比数列性质,根与系数关系】设的根为,由韦达定理可得；设的根为,可得,根据等比数列的性质,可设此数列为则有,又因为可得,,,能力型师生共研一、选择题1.已知等比数列中,为方程x2－10x＋16＝0的两根,则的值为（）A.32B.64C.256D.±64答案:D解析:【知识点:等比数列的性质】2.已知等比数列的前项和为,满足,则此数列的公比为（）A.B.C.D.答案:B解析:【知识点:等比数列的性质】∵=2S4+3,=2S5+3,即2S4=-3,2S5=-3∴2S5-2S4=-3-（-3）=-=2,即3=∴3=q解得q=3,故选B3.若a,b是函数的两个不同的零点,且,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于（）A.6B.7C.8D.9答案:D.解析:【知识点:等差数列与等比数列的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】由题意可得:a+b=p,ab=q,∵p＞0,q＞0,可得a＞0,b＞0,当,-2适当排序后成等比数列时,-2必为等比中项,故ab=q=4,．当适当排序后成等差数列时,-2必不是等差中项,当a是等差中项时,,解得a=1,b=4；当是等差中项时,=a-2,解得a=4,b=1,综上所述,a+b=p=5,所以p+q=9,选D．4.设正项等比数列的前项和为,且,若,则（）A.64或120B.256C.120D.64答案:C.解析:【知识点:等比数列的性质】∵,∴0＜q＜1,∵,∴和为方程x2-20x+64=0的两根,∵an＞0,0＜q＜1,∴＞,∴=16,=4,∴q=,

∴=64,=32,=16,=8,∴S4=+++=64+32+16+8=120,故选:C探究型多维突破一、填空题1.如果数列a1,,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则等于________．答案：32.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】由题意可得＝(n≥2),所以＝－,＝(－)2,＝(－)3,＝(－)4,将上面的4个式子两边相乘得＝＝32,又,所以＝32.2.已知数列的通项公式为,数列的通项公式为,设,在数列中,,则实数的取值范围是_______.答案：见解析解析：【知识点:等差数列与等比数列的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】因为,所以是最小项,所以时递减,时递增,而数列是递减数列,数列是递增数列,当时,有,即,当时,必有,即,所以实数的取值范围是．自助餐一、选择题1.在等比数列中,,则（）A.B.C.D.答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】由等比数列的性质可知,而,所以=2,=3或=3,=2.因为=q10,所以q10==或=,所以=q10=或.2.设为等比数列的前项和,,则公比（）A.B.C.1或D.-1或答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,等比数列的通项公式】因为,所以a1+a2+a3=2a3,求得q=1或q=,选C3.在正项等比数列中,,是方程3x2-11x+9=0的两个根,则=（）A.B.C.D.答案:C.解析：【知识点:等比数列的性质,根与系数关系】∵是方程3x2-11x+9=0的两个根,∴,又数列是等比数列,则,即,舍去．故选C4.已知等比数列的首项公比,则（）A.50B.35C.55D.46答案:C.解析：【知识点:等比数列性质,对数运算性质】∵是等比数列,公比q=2∴,∴,故选C.5.已知公差不为零的等差数列与公比为的等比数列有相同的首项,同时满足,,成等比,,,成等差,则()A.B.C.D.答案:C.解析：【知识点:等差数列性质,等比数列性质,等比数列的通项公式】设数列的首项为,等差数列的公差为,,将,,代入得,化简得,解得,代入（1）式得.6.已知下列命题①,则成等比数列；②若为等差数列,且常数,则数列为等比数列；③若为等比数列,且常数,则数列为等比数列；④常数列既为等差数列,又是等比数列.其中,真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案:A.解析：【知识点:等差数列,等比数列】在①中,b2=ac,当b=c=0时,a,b,c不成等比数列,故①错误；

②若{an}为等差数列,且常数c＞0,则,

∴数列为等比数列,故②正确；

③若{an}为等比数列,且常数c＞0,则,不是常数,

∴等比数列的性质得数列不为等比数列,故③错误；④由0构成的常数列为等差数列,但不是是等比数列，故④错误.7.对于数列{an},若满足是首项为1,公比为2的等比数列,则等于（）A.B.299C.D.答案:D.解析：【知识点:等比数列性质,等比数列通项公式】根据题意:=而是首项为1,公比为2的等比数列∴,∴

∴==1×2×22×…×299=2（1+2+…+99）,而1+2+…+99=4950

∴=24950故答案为:D二、填空题1.在等比数列中,若,,则的值为______．答案:.解析：【知识点:等比数列性质】由等比数列的性质得:==9,∴=3或=-3,若=3,则==-27,不存在．故答案为:-3．2.在数列中,已知,且数列是等比数列,则______．答案：见解析解析：【知识点:等比数列】数列中第二项为,第三项为,所以公比为3,.3.已知等比数列中,,且,公比,通项公式=_____.答案:.解析：【知识点:等比数列】由题设可知,2a1q3−3