2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.1.2全概率公式教师用书教案新人教A版选择性必修第三册VIP

PAGE7.1.2全概率公式新版课程标准学业水平要求1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式.1.理解全概率公式,学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率.(数学抽象、数学运算)2.敏捷运用乘法公式与全概率公式解决问题.(数学建模、数学运算)必备学问·素养奠基1.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事务,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对随意的事务B⊆Ω,有P(B)=QUOTEP(Ai)P(B|Ai).2.贝叶斯公式设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事务,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对随意的事务B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=QUOTE=QUOTE,i=1,2,…,n.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)全概率公式中样本空间Ω中的事务Ai需满意的条件为QUOTEAi=Ω.()(2)贝叶斯公式是在视察到事务B已发生的条件下,找寻导致B发生的每个缘由的概率.()提示:(1)×.需满意的条件为AiAj=∅(i≠j),QUOTEAi=Ω,且PQUOTE>0.(2)√.2.已知PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则PQUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由乘法公式得,PQUOTE=PQUOTEPQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知A,B为样本空间Ω中的事务,BA与BQUOTE是互斥的,B=BA+BQUOTE,且PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则PQUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由互斥事务概率的加法公式得,PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.关键实力·素养形成类型一利用全概率公式求概率角度1全概率公式的应用【典例】1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,求从2号箱取出红球的概率.【思维·引】弄清题意,用全概率公式求解.【解析】设A:最终从2号箱取出的是红球,B:从1号箱取出的是红球,则:PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE;PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE;所以PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE=PQUOTEPQUOTE+PQUOTEPQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.角度2定理1的应用【典例】播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.【思维·引】细研题意,利用定理1解决问题.【解析】设Bk:从这批种子中任选一颗是k等种子,k=1,2,3,4;设A:从这批种子中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上,则PQUOTE=0.02,PQUOTE=0.015,PQUOTE=0.01,PQUOTE=1-0.02-0.015-0.01=0.955,PQUOTE=0.5,PQUOTE=0.15,PQUOTE=0.1,PQUOTE=0.05,由定理1得,PQUOTE=QUOTEPQUOTEPQUOTE=0.955×0.5+0.02×0.15+0.015×0.1+0.01×0.05=0.4825.【素养·探】★本例考查全概率公式的应用,同时考查了数学建模与数学运算的核心素养.本例条件不变,求所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等种子长成的概率.【解析】由典例知PQUOTE=0.4825,所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈0.9896.【类题·通】全概率公式求概率的关注点(1)实质:为了求困难事务的概率,往往可以把它分解成若干个互斥的简洁事务之和,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简洁事务的概率,最终利用概率可加性,得到最终结果.(2)应用:把事务B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An…看作该过程的若干个缘由,依据历史资料,每一缘由发生的概率(即PQUOTE)已知,而且每一缘由对结果的影响程度(即PQUOTE)已知,则可用全概率公式计算结果发生的概率(即PQUOTE).【习练·破】有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?【解析】设事务A为“任取一件为次品”,事务Bi:任取一件为i厂的产品,i=1,2,3.B1∪B2∪B3=Ω,BiBj=∅,i,j=1,2,3,i≠j;P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,P(QUOTEB1)=0.02,P(QUOTEB2)=0.01,P(QUOTEB3)=0.01,由全概率公式得,P(A)=P(QUOTEB1)P(B1)+P(QUOTEB2)P(B2)+P(QUOTEB3)P(B3)=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.【加练·固】设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱,3箱,2箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.【解析】设A为事务“取得的产品为正品”,B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知P(B1)=QUOTE,P(B2)=QUOTE,P(B3)=QUOTE,P(QUOTEB1)=0.9,P(QUOTEB2)=0.8,P(QUOTEB3)=0.7,所以P(A)=QUOTEP(Bi)P(QUOTEBi)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=0.83.类型二利用贝叶斯公式求概率【典例】三部自动的机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占40%,机器乙生产的占25%,机器丙生产的占35%,已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格,现从总产品中随机地抽取一个零件,发觉是不合格品,求:(1)它是由机器甲生产出来的概率;(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大.【思维·引】利用贝叶斯公式分别求出不合格产品是由哪一部机器产出的概率,比较大小即可.【解析】设B1,B2,B3分别表示事务:任取的零件为甲、乙、丙机器生产的,A:抽取的零件是不合格品,由条件知,P(B1)=0.40,P(B2)=0.25,P(B3)=0.35,P(A|B1)=0.10,P(A|B2)=0.05,P(A|B3)=0.01,(1)所求概率为P(B1|A),P(B1|A)=QUOTE≈0.714.(2)类似(1)的计算可得PQUOTE≈0.223,PQUOTE≈0.063,比较可知是机器甲生产出来的可能性大.【类题·通】贝叶斯公式的应用把事务B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An…看作该过程的若干个缘由,依据历史资料,每一缘由发生的概率即PQUOTE已知,而且每一缘由对结果的影响程度(即PQUOTE)已知,假如已知事务B已经发生,要求此时是由第i个缘由引起的概率,则用贝叶斯公式(即求PQUOTE).【习练·破】用血清诊断肝癌,临床实践表明,患肝癌的病人中有95%试验呈阳性,也有2%的非肝癌患者化验呈阳性.若将此法用于人群肝癌普查,设人群中肝癌患病率0.2%,现某人在普查中化验结果呈阳性,求此人确患肝癌的概率.【解析】设A:被化验者确患肝癌症,B:被化验者结果呈阳性,则P(B|A)=0.95,P(B|QUOTE)=0.02,P(A)=0.002,P(QUOTE)=1-P(A)=0.998,P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈0.087.【加练·固】已知5%的男人和0.25%的女人是色盲患者,现随机地选取一人,此人恰为色盲患者,此人是男人的概率是多少?(假设男人,女人各占人数的一半)【解析】设A:选取的人患色盲,设B:选取的人是男人,则QUOTE:选取的人是女人,依题意得,P(B)=QUOTE,P(AQUOTEP(QUOTE)=QUOTE,P(AQUOTE)=0.0025.依据贝叶斯公式,所求概率为:P(BQUOTE)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.课堂检测·素养达标1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,其次车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为()A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88【解析】选C.设B:从仓库中随机提出的一台是合格品,Ai:提出的一台是第i车间生产的,i=1,2,则有B=A1B∪A2B,由题意,P(A1)=QUOTE,P(A2)=QUOTE,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88,由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.2.设某马路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为________.

【解析】设B:中途停车修理,A1:经过的是货车,A2:经过的是客车,则B=A1B∪A2B,由贝叶斯公式有P(A1QUOTE)=QUOTE=QUOTE=0.8.答案:0.83.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球.随机取一个袋子,再从该袋中随机取一球,该球是红球的概率为________.

【解析】记B:该球是红球,A1:取自甲袋,A2:取自乙袋,已知P(B|A1)=QUOTE,P(B|A2)=QUOTE,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【新情境·新思维】五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三