2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1-2充分条件与必要条件充要条件课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时作业3充分条件与必要条件充要条件|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．答案：A2．设甲、乙、丙是三个命题，假如甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙D⇒/丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲D⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A3．已知：p：eq\f(1,x－2)≥1.q：|x－a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(2,3]B．[2,3]C．(2,3)D．(－∞，3]解析：p：eq\f(1,x－2)≥1⇔2<x≤3，q：|x－a|<1⇔a－1<x<a＋1，因为p是q的充分不必要条件，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤2，,a＋1>3，))解得2<a≤3.故选A.答案：A4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈α，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析：对于A，当a＝－b时，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；对于B，留意当a∥b时，eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)可能不相等；对于C，当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).综上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是a＝2b.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0其中真命题的序号为____________．解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不肯定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则eq\f(a,1)＝eq\f(2,1)，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lgx＋lgy＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lgx＋lgy＝0”成立，xy因此“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”综上可知，真命题是④.答案：④7．已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件②p是q的充分条件而不是必要条件③r是q的必要条件而不是充分条件④r是s的充分条件而不是必要条件则正确命题序号是________．解析：由p是r的充分条件而不是必要条件，可得p⇒r，由s是r的必要条件可得r⇒s，由q是r的充分条件得q⇒r，由q是s的必要条件可得s⇒q，故可得推出关系如图所示：据此可推断命题①②正确．答案：①②8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但qD⇒/p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)三、解答题(每小题10分，共20分)9．下列各题中，推断p是q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线相互平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解析：(1)因为|x|＝|y|Dx＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)因为△ABC是直角三角形D△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形D△ABC是直角三角形，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)因为四边形的对角线相互平分D四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线相互平分，所以p是q的必要条件，但不是充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))，所以c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝r成立，说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．10．已知p：实数x满意x2－4ax＋3a2<0(a>0)，q：实数x满意x2－6x＋8>0，若p是q的充分不必要条件，求实数a解析：设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a<x<3a，B＝{x|x2－6x＋8>0}＝{x|x>4或x<2}．∵p是q的充分不必要条件，∴AB.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥4，,a>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2，,a>0，))解得a≥4或0<a≤eq\f(2,3).故实数a的取值范围是{a|a≥4或0<a≤eq\f(2,3)}．|实力提升|(20分钟，40分)11．不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件是()A．a<1B．a<0C．0<a<1D．a≤1解析：要使不等式ax2－2x＋1<0的解集非空，当a＝0时，不等式为－2x＋1<0，其解集为x>eq\f(1,2)；当a>0时，Δ＝4－4a>0，即0<a当a<0时，满意不等式ax2－2x＋1<0的解集非空．所以不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.所以不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件应当比a<1的范围大．故选D.答案：D12．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．解析：依据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.答案：(2，＋∞)13．已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．解析：(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1<t<eq\f(5,2).所以实数t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))).(2)因为命题p是q的充分条件，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(t\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<t<\f(5,2)))))是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集．因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，所以只需a＋2≥eq\f(5,2)，解得a≥eq\f(1,2).则实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).14．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：充分性：假如xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种状况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当