2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题04构造函数法解决不等式问题练习(学生版+解析)

专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造或(，且)型 2题型二：构造或(，且)型 3题型三：构造或型 4题型四：构造或型 5三、专项训练 6一、必备秘籍1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥二、典型题型题型一：构造或(，且)型1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（

）A． B．C． D．2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知的定义域为是的导函数，且，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．3．（多选）（23-24高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，4．（多选）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数的导函数为，对任意的正数x，都满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．题型二：构造或(，且)型1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（

）A． B．C． D．

3．（2020·广东梅州·模拟预测）设是的导函数，定义在上的函数满足（1）；（2），则的范围为（

）A． B． C． D．4．（多选）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的连续可导函数，，的导函数为，若，是指数函数，，，则下列说法正确的是（

）A． B．在上单调递增C．， D．题型三：构造或型1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．三、专项训练1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（21-22高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．6．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·浙江温州·一模）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（

）A．函数为奇函数B．不等式的解集为C．若方程有两个根，，则D．在处的切线方程为10．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（

）A． B．C．在上是减函数 D．在上是增函数三、填空题11．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为.12．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为．13．（22-23高二下·吉林长春·期中）已知函数的导数为，若，，则不等式的解集为.14．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知为定义域上函数的导函数，且，，且，则不等式的解集为．专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造或(，且)型 2题型二：构造或(，且)型 5题型三：构造或型 9题型四：构造或型 11三、专项训练 14一、必备秘籍1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥二、典型题型题型一：构造或(，且)型1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由结构特征可知是函数的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.【详解】令，则在恒成立，所以在单调递增，所以，即，又因为函数为定义在上的偶函数，所以，即，故选：D.2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知的定义域为是的导函数，且，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据构造函数，代入原式化简后得到，再构造函数，讨论的单调性即可得到，最后根据的单调性求解即可.【详解】因为，即，构造函数，则，.将代入，得.再构造函数，则，易知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，由于，所以，所以，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递减，所以在单调递减.又根据单位圆可得三角不等式，又，，所以，故.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查构造函数，并利用导数比大小的问题.题中条件可以构造函数，进一步构造函数，然后讨论的单调性，由得到，再由三角不等式得到自变量的大小关系，最后根据的单调性求解.3．（多选）（23-24高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【答案】BC【分析】构造函数，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.【详解】设，由是定义在上的奇函数知，则时，为偶函数，且时，，故在单调递减，由偶函数的对称性知，在单调递增，故，即，故，B选项正确；当时，，故，C选项正确；当时，，故，D选项错误；由B，D选项知，，故，A选项错误.故选：BC4．（多选）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数的导函数为，对任意的正数x，都满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】设，利用导数求出的单调性，据此即可判断A和B选项，设，根据导数求出的单调性，据此即可求解C和D选项.【详解】设，则，所以在上单调递增，由得，故A项错误；由得，故B项正确；设，则，所以在上单调递减，由得，故C项正确：由得，故D项错误.故选：BC.题型二：构造或(，且)型1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先构造函数，根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.【详解】设，则，由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；由函数的单调性可知，，得，故B正确；由，得，故C错误；由，得，故D错误.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（

）A． B．C． D．

【答案】D【分析】构造函数，利用的单调性可得结果.【详解】设，因为，又，所以，即在R上为增函数，选项A：因为，即，化简得，故A成立；选项B：因为，即，化简得，故B成立；选项C：因为，即，化简得，故C成立；选项D：因为，即，化简得，而故D不一定成立；故选：D.【点睛】本题关键是构造函数，利用函数的单调性判断结果.3．（2020·广东梅州·模拟预测）设是的导函数，定义在上的函数满足（1）；（2），则的范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造，求导得到单调性，根据得到，构造，求导得到单调性，根据得到，得到答案.【详解】设，则，在上单调递增，则，即，；设，则，在上单调递减，则，即，；综上所述：.故选：B【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定单调性，再根据单调性确定不等关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造和，求导确定单调区间是解题的关键，构造法是常考的数学方法，需要熟练掌握.4．（多选）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果.【详解】令，所以，所以在上单调递增，所以，即，故A错误，B正确；又，所以，即，故C正确，D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数．(3)利用导数研究的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的连续可导函数，，的导函数为，若，是指数函数，，，则下列说法正确的是（

）A． B．在上单调递增C．， D．【答案】AC【分析】由及可得函数的解析式，结合导数即可判断B；由是指数函数及可得的解析式，可判断A；由解析式计算可判断C；D选项代入后为比较与的大小关系，可转化为比较与的大小关系，构造函数，结合导数研究即可得.【详解】由，即，即有，可得（为常数），又，故，所以，对于选项A，（且），由，得，故，故A正确；对于选项B，，当时，，故在上单调递减，故B错误；对于选项C，，而，故，故，故C正确；对于选项D，，，设，则，令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以，故，故D错误，故选：AC．题型三：构造或型1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案.【详解】令，则，由于当时，，故此时，则在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数，则，即为上的偶函数，则在上单调递增，而，故，故当或时，，当或时，，由可得或，解得或，故不等式的解集为，故选：B【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解.2．（23-24高二下·重庆）设是函数的导函数，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.【详解】，设在单调递增，，所以A错误；，所以，所以B正确；，所以C错误；，，所以D错误.故选：B3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为．【答案】【分析】根据已知条件和要求解得不等式，构造函数g(x)＝f(x)sinx，，根据已知条件判断其单调性，根据单调性即可求解要求解的不等式.【详解】变形为，变形为，故可令g(x)＝f(x)sinx，，则，∴g(x)在单调递减，不等式即为g(x)＜g()，则，故答案为：.题型四：构造或型1．（23-24高二上·宁夏石嘴山·）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，即得到结论．【详解】当，则不等式等价为，即，设，，则，即函数在上单调递增，则，，，，即，，，，则，故A正确；，得不出，故B错误．，故C错误．，故D错误．故选：A．2．（多选）（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】构造函数，结合题目所给性质可得在上单调递减，结合函数单调性计算即可得.【详解】令，则，由已知可得，即在上单调递减，所以，故，即C､D选项正确.故选：CD.3．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数，，是其导函数，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由题设得，构造并应用导数研究单调性，【详解】因为，所以，又，所以，构造函数，，则，所以在上为增函数，因为，所以，即，即，故A正确；因为，所以，即，故，故B错误；因为，所以，即，故，故C错误；因为，所以，即，故，故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：将已知条件转化为，进而构造研究单调性为关键.三、专项训练1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定建立的不等关系，以及的不等关系，整理化简得答案.【详解】令，则，因为当时，有恒成立，所以当时，，即在上单调递减，所以，即，即，A错误，B正确，，即，即，CD错误.故选：B.2．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】令，则，所以在上单调递增，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：C3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断单调性即可求解．【详解】设，则，∵，∴，∴，即在定义域R上单调递减．∵，∴，∴不等式等价于，即，解得，故选：D．4．（21-22高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】观察，可考虑构造函数，求得的奇偶性，再由时，的单调性确定整个增减性，由与的正负反推正负即可求解.【详解】设，则，∵当时，，∴当时，，即在上单调递减.由于是奇函数，所以，是偶函数，所以在上单调递增.又，当或时，；当或时，，所以当或时，.即不等式的解集为.故选：B.5．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即可求出不等式的解集.【详解】由题意，在函数中，，导函数为，，设，则.∵，∴，则是上的增函数.不等式等价于，即，则解得：，故选：D.6．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出函数的导数，问题转化为，利用单调性解出即可．【详解】令，则，∵，∴在上递减，∵，∴，∵不等式，∴，∴，解得，故不等式的解集是．故选：B．7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．【详解】令，，，在上单调递减，又，，不等式可化为，，故选：B.8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小可得答案.【详解】因为，所以构造函数，所以，则在上单调递减，又，所以，即，故A错误；，即，故B正确；，即，故C错误；，即，故D错误.故选：.【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，利用函数的单调性比较大小是解题关键.二、多选题9．（2024·浙江温州·一模）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（

）A．函数为奇函数B．不等式的解集为C．若方程有两个根，，则D．在处的切线方程为【答案】AC【分析】根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得进而可求解，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.【详解】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，由于，所以为常数，则又在中，令，则，故，故，所以，对于B,可得，又，故，则，故B错误，对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以，C正确，由得，所以在处的切线