华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题04一元二次方程的定义及方程的解压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题04一元二次方程的定义及方程的解压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的判别】 1【考点二一元二次方程的一般形式、各项系数】 2【考点三利用一元二次方程的定义求参数的值】 4【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】 5【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】 6【考点六一元二次方程的解的估算】 7【过关检测】 9【典型例题】【考点一一元二次方程的判别】例题：（2023·全国·九年级假期作业）下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（

）①，②，③，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）下列方程中，一元二次方程共有（）①②③④⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点二一元二次方程的一般形式、各项系数】例题：（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（

）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，12．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（

）A．3，5 B．3，1 C．， D．3，【考点三利用一元二次方程的定义求参数的值】例题：（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程是一元二次方程，则a的值为________．【变式训练】1.（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m等于_______．2.（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______．【变式训练】1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知方程的一个根是，则值是________．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）是一元二次方程的一个根，则m的值是__________．【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】例题：（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则______．【变式训练】1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．2.（2023·甘肃平凉·统考二模）若m是方程的一个根，则的值为______．【考点六一元二次方程的解的估算】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）根据表格对应值：0120.842.293.76判断关于x的方程的一个解x的范围是_____．【变式训练】1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是______．x1.31.41.51.61.71.81.90.090.340.612．（2023·山东枣庄·统考二模）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表：x0123451323可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________．【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．（2023·江苏·九年级假期作业）将方程化成一般形式（二次项系数为正）后，它的一次项系数与常数项分别是（）A．3， B．， C．，5 D．3，53．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（

）A． B．1 C． D．24．（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）关于x的方程是一元二次方程，则（

）A． B． C． D．5．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）根据下表的对应值，试判断一元二次方程的一个解的取值范围是（）x140.060.02A． B．C． D．二、填空题6．（2023春·浙江·八年级专题练习）一元二次方程化为一般形式是．7．（2023·全国·九年级假期作业）写出一个以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程：．8．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如果关于x的方程有一个根为1，那么．9．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若是方程的一个根，则代数式的值是．10．（2023春·八年级课时练习）若关于的方程是一元二次方程，则．三、解答题11．（2023·上海·八年级假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)（为已知数）；(7)．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知是方程的根，求的值．14．（2023·江苏·九年级假期作业）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．15．（2023春·八年级课时练习）若m是一元二次方程的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式的值．

专题04一元二次方程的定义及方程的解压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的判别】 1【考点二一元二次方程的一般形式、各项系数】 2【考点三利用一元二次方程的定义求参数的值】 4【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】 5【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】 6【考点六一元二次方程的解的估算】 7【过关检测】 9【典型例题】【考点一一元二次方程的判别】例题：（2023·全国·九年级假期作业）下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（

）①，②，③，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可．【详解】解：①是一元二次方程，②含有两个未知数，不是一元二次方程，③不是整式方程，不是一元二次方程，④当时，不是一元二次方程；综上：是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是1个；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）下列方程中，一元二次方程共有（）①②③④⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确；②含有x、y两个未知数，故本选项错误；③分母中含有未知数，故本选项错误；④符合一元二次方程的定义，故本选项正确；⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②当时不是一元二次方程；③去括号化简后可得：，不是一元二次方程；④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．【考点二一元二次方程的一般形式、各项系数】例题：（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（

）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【答案】D【分析】根据一元二次方程的基本概念去判断确定．【详解】解：∵一元二次方程，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握一般形式是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1【答案】C【分析】求出一元二次方程的一般式，然后进行判断即可．【详解】解：由题意知，，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，1，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（

）A．3，5 B．3，1 C．， D．3，【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式是，先化成一般形式，再求出二次项系数和一次项系数即可．【详解】解：，∴，二次项系数和一次项系数分别为3、，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：系数带着前面的符号．【考点三利用一元二次方程的定义求参数的值】例题：（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程是一元二次方程，则a的值为________．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义得出，再求出即可．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．【变式训练】1.（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m等于_______．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键：一般地，形如（a、b、c是常数，）的方程叫做一元二次方程．2.（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______．【答案】1【分析】根据关于的一元二次方程的一个根是0，将代入方程即可解出答案．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是0，当时，，解得．故答案为1．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的应用，其中理解一元二次方程解的概念是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知方程的一个根是，则值是________．【答案】【分析】把代入方程，求解即可．【详解】解：把代入方程，得，解得：；故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正确计算是解题关键．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）是一元二次方程的一个根，则m的值是__________．【答案】【分析】根据题意将代入一元二次方程求解即可．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根是解题的关键．【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】例题：（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则______．【答案】/【分析】根据一元二次方程根的定义得到，即可得到的值．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，∴，∴，∴，故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义和代数式的值，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．【答案】2019【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵是关x的方程的解，∴，即：，∴；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．2.（2023·甘肃平凉·统考二模）若m是方程的一个根，则的值为______．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【考点六一元二次方程的解的估算】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）根据表格对应值：0120.842.293.76判断关于x的方程的一个解x的范围是_____．【答案】【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：．【详解】解：由表格可知：当时，；当时，；∴方程的一个解x的范围为：．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，．【变式训练】1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是______．x1.31.41.51.61.71.81.90.090.340.61【答案】【分析】观察表格可得当时，，当时，，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解．【详解】解∶根据题意得∶当时，，当时，，∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即．故答案为：【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型．2．（2023·山东枣庄·统考二模）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表：x0123451323可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________．【答案】3【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果．【详解】解：由图表可知，，∴对应的的范围为，∴，，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义．【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，逐一判断即可解答【详解】解：不是方程，故A不符合题意；中，当时，方程不是一元二次方程，故B不符合题意；化简后为，是一元二次方程，故C符合题意；为二元二次方程，故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键．2．（2023·江苏·九年级假期作业）将方程化成一般形式（二次项系数为正）后，它的一次项系数与常数项分别是（）A．3， B．， C．，5 D．3，5【答案】C【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：将方程化成一般形式（二次项系数为正）后为，∴它的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是5．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．3．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】将代入一元二次方程，可得，由此可得答案．【详解】解：关于x的一元二次方程的一个解是，，，，即代数式的值为．故选A．【点睛】本题主要一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．4．（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）关于x的方程是一元二次方程，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义得出，解之即可．【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．5．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）根据下表的对应值，试判断一元二次方程的一个解的取值范围是（）x140.060.02A． B．C． D．【答案】C【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围．【详解】解：∵当时，当时，∴当x在中取一个值时，，∴一元二次方程的某一个解的取值范围是．故答案为：C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．二、填空题6．（2023春·浙江·八年级专题练习）一元二次方程化为一般形式是．【答案】【分析】根据一元二次方程的一般形式为【详解】解：方程化为一般形式是．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式为是解题的关键．7．（2023·全国·九年级假期作业）写出一个以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程：．【答案】【分析】利用因式分解的形式解题即可．【详解】解：以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程可表示为：，化简后为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解法解二次方程的逆用，能熟练运用因式分解法是解题关键．8．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如果关于x的方程有一个根为1，那么．【答案】2【分析】把方程的根代入方程中，可得关于的方程，解方程即可求得的值．【详解】解：把代入方程中，得：，解得：，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．9．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若是方程的一个根，则代数式的值是．【答案】7【分析】根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵是方程的一个根，∴,整理得，，∴,．故答案为：7．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出的值，然后整体代入是解题的关键．10．（2023春·八年级课时练习）若关于的方程是一元二次方程，则．【答案】-1【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴k−1≠0且|k|＋1＝2，解得：k＝−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．三、解答题11．（2023·上海·八年级假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)（为已知数）；(7)．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)不是(5)不是(6)不是(7)是【分析】（1）根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程必须满足三个条件∶未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，并且是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．（2）根据一元二次方程的定义判断即可；（3）根据一元二次方程的定义判断即可；（4）根据一元二次方程的定义判断即可；（5）根据一元二次方程的定义判断即可；（6）根据一元二次方程的定义判断即可；（7）根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；（2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程，故不是一元二次方程；（3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1，故是一元二次方程；（4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程，故不是一元二次方程；（5）解：不是整式方程，故不是一元二次方程；（6）解：中当是，原式化为，故不是一元二次方程；（7）解：化简即为，∴是一元二次方程．【点睛】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项【答案】见解析【分析】将方程化为一般形式，其中a为二次项系数、b为一次项系数