华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题13模型构造专题：巧构直角三角形与构造斜边上的中线解题压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)

专题13模型构造专题：巧构直角三角形与构造斜边上的中线解题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【考点二不含特殊角的非直角三角形】 8【考点三结合斜边上的中线解题】 14【考点四构造斜边上的中线解题】 18【典型例题】【考点一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地行驶的直线距离为多少千米?

【变式训练】1．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，已知，则的长为．

2．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为．

3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，点在上，，点在上，，则的长是．4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？5．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖（垂直于地面）的高度，小明从点看向无人机的仰角为．从无人机处测得看山崖顶端的仰角为，测得看山崖底部处的俯角为，无人机与山崖的水平距离为50米．（图中各点均在同一平面内）．

(1)求山崖的高度（结果保留根号）；(2)若点距离地面2米，求小明到山崖的水平距离（结果取整数）．（参考数据：，）【考点二不含特殊角的非直角三角形】例题：（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则．【变式训练】1．（2023·广东汕头·校考三模）由边长为1的小正方形构成的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则．

2．（2023·北京·校联考一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为．3．（2022春·浙江·九年级专题练习）在中，，，，求的长．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，，，．(1)求；(2)求．5．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，【考点三结合斜边上的中线解题】例题：（2023秋·广东广州·九年级校考开学考试）如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为．

【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是边的中点，连接．若，则的长为．

2．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在中，，点是边上的中点，，分别以、边为直径向三角形外部作半圆，半圆的面积分别为和，则．（结果保留）

3．（2023春·河南漯河·八年级统考期中）如图，在中，点D，E分别是边的中点，，垂足为点F，，则的长为．

4．（2023春·安徽六安·八年级校考期末）如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：

（1）若点F是的中点，则；（2）点D，E之间距离的最大值是．【考点四构造斜边上的中线解题】例题：（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在中，是上的点，，，分别是，的中点，，求的长．

【变式训练】1．（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，求证：

(1)．(2)．2．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，平分，于点E，连接．

(1)求证：(2)求的值(3)求证：

专题13模型构造专题：巧构直角三角形与构造斜边上的中线解题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【考点二不含特殊角的非直角三角形】 8【考点三结合斜边上的中线解题】 14【考点四构造斜边上的中线解题】 18【典型例题】【考点一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地行驶的直线距离为多少千米?

【答案】汽车从A地到B地比原来少走千米【分析】过C作于D，在中，根据，，解直角三角形求出、的长度，然后在中，求出、的长度，用即可求解．【详解】解：过C作于D，如图所示：

在中，∵，，∴，，在中，∵，∴为等腰直角三角形，∴，，则．答：汽车从A地到B地比原来少走．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．【变式训练】1．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，已知，则的长为．

【答案】【分析】过点B作交的延长线于点E，设，求出，，则，解得，则，，利用勾股定理即可得到的长．【详解】解：过点B作交的延长线于点E，

则，设，∵，∴，∴，∵，即，则，∵，∴，∴，则，即，∴，解得，则，∴，∴，故答案为：【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、一元一次方程、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握勾股定理、含角的直角三角形的性质、二次根式的混合运算是解题的关键．2．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为．

【答案】【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，可证得四边形为矩形，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理，可求得，的长度．【详解】如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点，则．∵，∴．∴．∴四边形为矩形．∴，．∵∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．故答案为：10【点睛】本题主要考查矩形的判定及性质、勾股定理，牢记矩形的判定方法和性质是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，点在上，，点在上，，则的长是．【答案】2或4/4或2【分析】过作于，依据，，可得，再由勾股定理可求得和的值，由点的位置分两种情况进行讨论，即可得到的长．【详解】解：如图所示，过作于，，，，，又，中，，当点在左侧时，，当点在右侧时，，综上所述，的长为2或4，故答案为：2或4．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质及勾股定理，画出图形并分情况讨论是解决问题的关键．4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【答案】(1)30海里(2)1小时【分析】（1）根据，可得等腰，再根据等腰三角形的性质即可解答；（2）点作于点，的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度,最后求出时间即可解答．【详解】（1）解：由题意得：（海里）．∵，∴．∴．∴（海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．（2）解：如图，过点C作于点P．∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，．又∵，∴．在中，，∴（海里）．∴航行的时间为（时）．∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．5．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖（垂直于地面）的高度，小明从点看向无人机的仰角为．从无人机处测得看山崖顶端的仰角为，测得看山崖底部处的俯角为，无人机与山崖的水平距离为50米．（图中各点均在同一平面内）．

(1)求山崖的高度（结果保留根号）；(2)若点距离地面2米，求小明到山崖的水平距离（结果取整数）．（参考数据：，）【答案】(1)米(2)135米【分析】（1）利用锐角三角函数求得和，根据，即可得到答案；（2）过点作于点，过点作于点，得矩形，进而求得，利用锐角三角函数求得，即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知：，，，在中，，，在中，，，米答：山崖的高度约为米；（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，得矩形，

则，，，在中，，，，米，答：小明到山崖的距离约为135米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．【考点二不含特殊角的非直角三角形】例题：（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则．【答案】1【分析】取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据，得到．【详解】解：如图所示，取格点D，连接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等，添加辅助线，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023·广东汕头·校考三模）由边长为1的小正方形构成的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则．

【答案】【分析】先根据勾股定理求出，，，可知，再过点B作，然后根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】根据勾股定理，得，，，∴．过点B作，交于点D，∴．在中，，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．2．（2023·北京·校联考一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为．【答案】【分析】取格点D，连接，根据勾股定理分别求出，，，即得出，说明为直角三角形，最后根据余弦的定义求解即可．【详解】解：如图，取格点D，连接．∴，，，∴，∴为直角三角形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，余弦的定义．正确的连接辅助线是解题关键．3．（2022春·浙江·九年级专题练习）在中，，，，求的长．【答案】【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长．【详解】解：过点作，交的延长线于点，∴，∵，∴，∵，∴，，即，，∴，，∵，∴，∴，∴的长为．【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【详解】（1）解：过点作于点，则，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键．5．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，在中，，在中，，，；（2）解：如图3，过点作于点，，，，在中，又，即，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．【考点三结合斜边上的中线解题】例题：（2023秋·广东广州·九年级校考开学考试）如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为．

【答案】2【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此可解．【详解】解：中，点D、E分别是边的中点，是的中位线，，，点D是边的中点，，，故答案为：2．【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半．【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是边的中点，连接．若，则的长为．

【答案】5【分析】先证明是的中位线，得到，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出答案．【详解】解：∵E、F分别是边的中点，∴是的中位线，∴，∵D是边的中点，，∴，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线等于第三边长的一半是解题的关键．2．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在中，，点是边上的中点，，分别以、边为直径向三角形外部作半圆，半圆的面积分别为和，则．（结果保留）

【答案】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据图形得到，，根据勾股定理推出，即可求解．【详解】由题意，得，，∵在中，，点是边上的中点，，∴∵，∴，故答案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键3．（2023春·河南漯河·八年级统考期中）如图，在中，点D，E分别是边的中点，，垂足为点F，，则的长为．

【答案】【分析】由点D，E分别是边的中点，，可得，，，，，由勾股定理得，，计算求解即可．【详解】解：∵点D，E分别是边的中点，，∴，，，∴，∴，由勾股定理得，，故答案为：．【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023春·安徽六安·八年级校考期末）如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：

（1）若点F是的中点，则；（2）点D，E之间距离的最大值是．【答案】5/【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．（2）如图所示，取的中点F，连接，利用勾股定理求出的长，再确定最大时的条件，即可求出答案．【详解】解：（1）∵，即，点F是的中点，，∴，故答案为：5；（2）如图所示，取的中点F，连接，∵四边形是矩形，，∵F是的中点，∴，．

∵，∴当点，，三点共线时，有最大值，最大．故答案为：．【点睛】本题考查矩形性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定取得最值条件是求解本题的关键．【考点四构造斜边上的中线解题】例题：（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在中，是上的点，，，分别是，的中点，，求的长．

【答案】．【分析】连接，证明，可得是的中线，从而可得答案．【详解】连接，

∵，为中点，∴，∴，在中，为中点，∴，∴．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记以上概念并灵活应用是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，求证：

(1)．(2)．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）证明，根据全等