2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l过点A(1,2)，B(3,4)，则直线l的倾斜角为(

)A.−π6 B.−π3 C.2.直线x−2y+1=0的一个方向向量是(

)A.(1,−2) B.(1,2) C.(2,−1) D.(2,1)3.已知a=(1,0)，b=(1,1)，若(λa−bA.−2 B.2 C.−1 D.14.“m=−13”是“两条直线x+my−1=0，(3m−2)x+y−1=0平行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在正四棱锥P−A1B1C1D1中，PB1⊥PDA.26 B.423 6.若圆C：x2+y2−2y−1=0上存在唯一点P，使得|PA|=2|PO|A.3±3 B.2±3 C.7.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，D是棱BC上的动点，直线A1D与平面ABC所成角的最大值是45°，点A.π3 B.2π3 C.4π38.已知点P在直线y=x−2上运动，点E是圆x2+y2=1上的动点，点F是圆(x−6)A.6 B.7 C.8 D.9二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有(

)A.sin(A+B)=sinC

B.cos(A+B)=cosC

C.若sinA<sinB，则A<B

D.若sinB=cosA，则10.已知⊙M：x2+y2−4x+2y+1=0，直线l：A.直线l和⊙M可能相切

B.直线l过定点(3,0)

C.直线l被⊙M截得的弦最长时，直线l的方程为x−y−3=0

D.直线l被⊙M截得的弦长最小值为211.已知圆Ck：x2+(y−k2)A.x轴截圆C1所得的弦长为2

B.对任意正整数k，圆Ck内含于圆Ck+1

C.任意正实数m，存在k∈N∗，使得圆Ck与直线y=m有交点

D.存在正实数m，使得A中与直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点P(3,4)的圆x2+y13.已知向量a=(5,5)，b=(−2,1)，则向量a在向量b上的投影向量为______．14.在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E，F，分别为BC，CD的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFE和△EFC折，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P−AEF，则三棱锥P−AEF外接球的表面积为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c=2：3：4．

(1)求cosA；

(2)若点D为AB的中点，且CD=10，求△ABC16.(本小题15分)

已知O为坐标原点，点A(−1,2)和直线l：x−y+1=0，点B是点A关于直线l的对称点，且点P满足|PO|2+|PB|2=2．

(1)求点B的坐标及点P的轨迹方程；

(2)若点P的轨迹与直线17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB⊥BC，PA=AD=4，BC=1，AB=3．

(1)证明：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求AD与平面PCD18.(本小题17分)

已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．

(1)判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；

(2)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B．

①若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最大值；

②若直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H，且19.(本小题17分)

已知集合A={1,2,3,…,n}(n∈N，n≥3)，W⊆A且W中元素的个数为m(m≥2).若存在u，v∈W(u≠v得u+v为2的正整数指数幂，则称W为A的弱P(m)子集；若对任意的s，t∈W(s≠t)，s+t均为2的正整数指则称W为A的强P(m)子集．

(Ⅰ)请判断集合W1={1,2,3}和W2={2,3,4}是否为A的弱P(3)子集，并说明理由；

(Ⅱ)是否存在A的强P(3)子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)若n=11，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P(m)子集，求参考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.C

6.B

7.B

8.C

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.3x+4y−25=0

13.(2,−1)

14.24π

15.解：(1)由题意，设a=2k，b=3k，c=4k，k>0，

则由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=9k2+16k2−4k22×3k⋅4k=78；

(2)在△ACD中，cosA=78，则sinA=1−cos2A=158，

由点D为AB16.解：(1)设B(m,n)，

由题有n−2m+1=−1m−12−n+22+1=0，

解得m=1n=0，故B(1,0)，

设P(x,y)，则x2+y2+(x−1)2+y2=2，

整理得(x−12)2+y2=34，

故点P的轨迹方程为(x−12)17.解：(1)AB⊥BC，BC=1，AB=3，则AC=AB2+BC2=12+(3)2=2，∠ACB=π3，

△ACD中，CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cosπ3=4+16−2×2×4×12=12，

故AC 2+CD2=4+12=16=AD2，故DC⊥AC，

又因为PA⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以PA⊥DC，

又因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，DC⊥平面PAC，DC⊂底面PCD，故平面PDC⊥平面PAC，

(2)作AH⊥PC，垂直为H，连接DH，

因为平面PDC⊥平面PAC，且平面PDC∩平面PAC=PC，AH⊂平面PAC，

所以AH⊥平面PCD，故∠ADH为AD与平面PCD所成的角，

△PAC中，AH=PA⋅ACPC=4×225=45，sin∠ADH=AHDA=45×14=5518.解(1)设圆心C(a,b)，则a−22+b−22+2=0b+2a+2=1，解得a=0b=0…(2分)

则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2

∴CM=22，又两半径之和为22，∴圆M与圆C外切．…(4分)

(2)令l1、l2即PA，PB为过P点的两条弦

①设l1、l2被圆C所截得弦的中点分别为E、F，弦长分别为d1，d2，因为四边形OEPF是矩形，

所以OE2+OF2=OP2=2，即(2−(d12)2)+(2−(d22)2)=2，化简得d12+d22=8…(9分)

从而d1+d2≤2⋅d12+d22=4，(d1=d2时取等号，此时直线PA，PB必有一条斜率不存在)

综上：l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为4…(10分)

另解：若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在，

则PA=PB=2，此时PA+PB=4.…(5分)

若直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，故可设PA：y−1=k(x−1)，即kx−y−k+1=0，(k≠0)

点C到PA的距离为|k−1|1+k2，同理可得点C19.解：(Ⅰ)W1是A的弱P(3)子集，W2不是A的弱P(3)子集．

理由如下：1+3=22，W1中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以W1是A的弱P(3)子集．

2+3=5，3=4=7，2+4=6，W2中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W2不是A的弱P(3)子集．

(Ⅱ)不存在A的强P(3)子集．

理由如下：假设存在A的强P(3)子集W={a,b,c}，不妨设a<b<c，a，b，c为正整数，

a+b=2k1，a+c=2k2，b+c=2k3，则k1<k2<