2024-2025学年湖南省长沙一中高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙一中高一（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x2−1=0}，则下列说法正确的是A.1⊆M B.{−1}∈M C.{1}⊆M D.⌀∉M2.命题“∃n∈N∗，使得n>2n2+1”的否定形式是A.∃n∈N∗，使得n<2n2+1 B.∀n∈N∗，使得n<2n2+1

C.∃n∈N∗，使得3.若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，xA.等腰梯形 B.直角梯形 C.菱形 D.矩形4.如图所示，U为全集，A，B，C为U的子集，则阴影部分所表示的集合可为(

)A.(A∪B)∩C

B.(∁UA)∪(B∩C)

C.(∁5.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(

)A.若a>b，c>d，则a+b>c+d

B.若a2>b2，则−a<−b

C.若c>a>b>0，则ac−a>bc−b6.“a=1”是“对任意的正整数x，均有x+ax≥2”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.学校举办运动会时，高一(1)班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有(

)A.1人 B.2人 C.3人 D.5人8.设正实数x，y，z满足x2−xy+4y2−z=0，则当xyzA.2 B.1516 C.1 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”的一个必要条件是(

)A.四边形的两组对边分别相等 B.四边形的两条对角线互相平分

C.四边形的四条边长均相等 D.四边形的两组对边平行10.不等式ax2−bx+c>0的解集是{x|−2<x<1}，则下列选项正确的是A.b<0且c>0

B.不等式bx−c>0的解集是{x|x>2}

C.a+b+c>0

D.不等式ax211.对任意A，B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}，下列命题中，为真命题的是(

)A.若A，B⊆R且A⊕B=B，则A=⌀

B.若A，B⊆R且A⊕B=⌀，则A=B

C.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B

D.存在A，B⊆R，使得A⊕B=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.不等式3x−12−x>1的解集为______．13.已知正实数a，b满足a+b214.已知当x<0时，关于x的不等式x2+|x−a|<2有解，则实数a的取值范围是______．四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|−1≤x≤5}，B={x|−3≤x≤1}，C={x|2a≤x≤a+1}．

(1)求A∩B，A∪(∁RB)；

(2)若C是A的真子集，求实数16.(本小题15分)

某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供x(0≤x≤20)万元的创业补助.某企业拟定在申请得到x万元创业补助后，将产量增加到m=(x+2)万件，同时企业生产m万件产品需要投入的成本为(7m+162m+2x)万元，并以每件(6+108m)元的价格将其生产的产品全部售出.(注：收益=销售金额+创业补助−成本)

(1)求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助17.(本小题15分)

(1)设a，b，x，y为正实数，证明不等式：a2x+b2y≥(a+b)2x+y；

(2)若正实数x，y满足2x+y=2，求4x2y+118.(本小题17分)

已知函数y=ax2+(1−a)x+a(a∈R)．

(1)若ax2+(1−a)x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式ax2+(1−a)x+a<3a+2；

(3)若存在m<0使关于参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.C

6.A

7.B

8.A

9.ABD

10.BCD

11.ABD

12.{x|313.7

14.{a|−915.解：集合A={x|−1≤x≤5}，B={x|−3≤x≤1}，C={x|2a≤x≤a+1}．

(1)A∩B={x|−1≤x≤1}，∁RB={x|x<−3或x>1}，

A∪(∁RB)={x|x<−3或x≥−1}．

(2)因为C是A的真子集，

①当C=⌀时，2a>a+1，即a>1．

②当C≠⌀时，2a≤a+1，即a≤1，2a≥−1,a+1≤5,且等号不能同时取得，

解得−16.解：(1)依据题意可知，销售金额(6+108m)m=(6+108x+2)(x+2)万元，创业补助x万元，成本为(7m+162m+2x)=[7(x+2)+162x+2+2x]万元，

所以收益y=(6+108x+2)(x+2)+x−[7(x+2)+162x+2+2x]=106−2x−162x+2，0≤x≤20．

(2)由(1)可知y=106−2x−162x+217.解：(1)a2x+b2y−(a+b)2x+y=ya2+xb2xy−(a+b)2x+y=(x+y)(ya2+xb2)−xy(a+b)2xy(x+y)

=xya2+x2b2+y2a2+xyb2−xya2−xyb2−2xyabxy(x+y)=(xb−ya)2xy(x+y)18.(1)由题意，ax2+(1−a)x+a≥0对一切实数x恒成立，

当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；

当a≠0时，则有a>0,Δ=(1−a)2−4a2≤0,解得a≥13．

故实数a的取值范围是{a|a≥13}．

(2)不等式ax2+(1−a)x+a<3a+2等价于ax2+(1−a)x−2(a+1)<0，

即[ax+(a+1)](x−2)<0，

当a=0时，不等式可化为x−2<0，解集为{x|x<2}；

当a≠0时，与不等式对应的一元二次方程的两根为x1=−a+1a=−1−1a，x2=2．

当−13<a<0时，x1>x2，此时不等式解集为{x|x<2或x>−1−1a}；

当a=−13时，x1=x2，此时不等式解集为{x|x≠2}；

当a<−13时，x1<x2，此时不等式解集为{x|x<−