2024-2025学年山东省济南一中高二（上）学情检测数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南一中高二（上）学情检测数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+A.AD B.GA C.AG D.MG2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，kA.k1<k2<k3

B.3.若{a,b,A.b+c,b,−b−c B.a，a+b，a4.已知三点A(1,0)，B(−1,0)，C(1,2)，则经过点A且与直线BC平行的直线经过点(

)A.(0,1) B.(2,0) C.(−2,0) D.(0,−1)5.已知直线l的一个方向向量a=(2,4,x)，直线l2的一个方向向量b=(2,y,2)，若|a|=6，且lA.−3或1 B.3或−1 C.−3 D.16.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有2OP=−OA+A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面

C.O，P，B，C四点共面 D.O，P，A，B，C五点共面7.已知斜三棱柱ABC−A1B1C1所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AC=π3，A.6

B.5

C.2

8.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱A.[1,2) B.(1,2] C.(0,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线l1的斜率k1=34，直线l2经过点A(3a,−2)，B(0,a2A.1 B.3 C.0 D.410.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别为PD，PB的中点，则(

)A.EF⊥平面PAC

B.AB/​/平面EFC

C.点F到直线CD的距离为6

D.点A到平面EFC的距离为11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心，FA.PE的最小值为12

B.PE⋅PF的最小值为−148

C.PE的最大值为62

D.若正方体绕三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,−2,4)关于y轴对称的点为______．13.若平面α的一个法向量为u1=(−3,y,2)，平面β的一个法向量为u2=(6,−2,z)，且α/​/β，则14.在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和点(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)．

(1)若(a+kb)//(2a+b)，求实数k；16.(本小题15分)

一条光线从点A(−1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)．

(1)求点P的坐标；

(2)过点P的直线l与线段AB有公共点，求直线l斜率k的取值范围．17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，点M为AC中点．

(1)求证：18.(本小题17分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．

(1)求AC119.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB，∠ABC=60°，PB⊥BC．

(1)求CP与平面ABCD所成角的正弦值；

(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC/​/平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．

参考答案1.C

2.D

3.C

4.D

5.A

6.B

7.D

8.C

9.AB

10.AD

11.BCD

12.(−1,−2,−4)

13.−3

14.12515.解：(1)a+kb=(1−k,1,2k)，2a+b=(1,2,2)，

∵(a+kb)//(2a+b)，∴1−k1=12=2k2，解得k=12；

(2)由(1)知，a+k16.解：一条光线从点A(−1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)；

(1)如图，设点B(3,1)关于x轴的对称点为B′(3,−1)，则点B′在直线AP上，

∴kAP=3−(−1)−1−3=−1，

∴直线AP方程为：y−(−1)=−(x−3)，整理得x+y−2=0．

令y=0，得x=2，

∴点P坐标为(2,0)．

(2)

由题意得，kPA=3−0−1−2=−1，kPB=1−03−2=1，

由图可知，要使过点P的直线l17.(1)证明：连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C中点，连接OM，

因为点M为AC中点，

所以OM//AB1，

因为AB1⊄BMC1，OM⊂BMC1，

所以AB1//平面BMC1；

(2)解：如图建立空间直角坐标系，

可得B(2,0,0)，M(0,1,0)，C(0,0,3)，MB=(2,−1,0),MC=(0,−1,3)，

设MB，MC18.解：设AB=a，AD=b，AA1=c，则两两夹角为60°，且模均为1．

(1)AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c．

∴|AC1|219.(1)证明：取棱AB长的一半为单位长度．则在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，可知△ABC是直角三角形，可知AB⊥AC．

又PB⊥AC，PB∩AB=B，PB⊂平面PAB，

AB二平面PAB，故AC⊥平面PAB.又AC⊂平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB．

取AB中点H，连接PH，CH.因为△PAB是等边三角形，所以PH⊥AB，又PH⊂平面PAB，

平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD．

得∠PCH是CP与平面ABCD所成的角．在直角△PCH中，PH=5，CH=AH2+AC2=1+12=13，PC=4.故sin∠PCH=PHPC=134，即为所求．

(2)假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.如图，以A为原点，分别以AB−,AC为x，y轴的正方向建立空间直角坐标