【中心极限定理及其应用探究（论文）4700字】

中心极限定理及其应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u22882第一章绪论 223888第二章关于独立分布的中心极限定理的讨论 2120502．1中心极限定理的提出 3188312．2独立同分布情形的两个定理 35072．3独立不同分布情形的两个定理 523421第三章中心极限定理在商业管理中的应用 10141683．1食堂管理问题 10226733．2盈利问题 13196453．3抽样检验问题 14179513．4供应问题 1532759第四章结论与展望 1610600参考文献 17摘要本文通过概率论中中心极限定理的研究，把独立同分布和不同分布这两种情形进行对比描述，得到了平均结果的稳定性是随机现象的根本性质．文章从中心极限定理的提出、内容以及证明过程等，得到正态分布也可以表示独立随机变量之和的分布．同时我们在讨论中心极限定理的内容时必须要从两种情形进行描述，即独立同分布和不同分布．最后通过各种各样的例题，展现出中心极限定理生活中的应用，进一步证实了该定理在各个方面的重要价值，也贯彻了知识与生活相结合的思想．关键词弱收敛；独立随机变量；中心极限定理第一章绪论1．1引言概率论与数理统计作为理学的基本课程，在科学、医学、经济、管理中有方方面面的应用．大数定律和中心极限定理是概率论中两个极为重要的定理，在数理统计方面也有广泛应用，其中大数定律是一种随机收敛的相关理论，而中心极限定理则为一种分布收敛的概率论研究理论，本文重点着眼于对后一种理论进行研究．人们时常发现，生活中各种各样的事常常受不确定因素干扰，亦称为随机因素扰动，微小因素聚集起来整体服从正态分布的规律，以上为中心极限定理的证明结论。中心极限定理最早是在重伯努利实验中，在后来又得到了很快的发展．但后来的发展得益于P．莱维系统地建立起的特征函数理论．随着社会的进步，人们对科学的探索乃至对世界的探索越来越深入，极限定理的应用以及极限定理研究所形成的方法在发挥很大作用的同时，自身也得到了完善与发展．中心极限定理的首次应用是解决某一单一事件出现频次的服从概率分布是否为正态分布［］1．2研究目标经济社会的快速发展，推动了人民对科学研究更为深入的探索，而与之而来问题也会不断产生．同样，极限理论的问题也在产生．尤其是如今进入大数据时代，大数据作为一种技术性革命，其中统计分析和概率计算与计算机相结合起来也得到了更广泛的应用．所以，中心极限定理的研究也变得十分的有意义．科学知识的研究再深入也是要与生活实际相结合的，所以在学习的过程中，我们必须学会运用所学知识解决生活问题．本文从随机序列研究这个角度，系统分析了中心极限定理，并例证其在生活中（主要是商业管理）的应用，目的是把理论与实践相结合，从而更好的帮助大家用随机观念和统计思想去对待和处理生活中的问题．第二章关于独立分布的中心极限定理的讨论2．1中心极限定理的提出误差是人们在生活中随处可遇到的一个量，通过研究表明，误差的产生是由大量因素叠加而成．．这些因素是随机的且相互独立．每个因素都是人们无法控制，可以大也可以小，可以为正也可以为负．误差用表示，指代的是随机变量，该变量可视为众多微小扰动项的合计数，即．那当时，的分布是什么？当然，我们可以通过积卷公式去计算的分布，但当我们将分布函数的过程写出来后就会发现形式太复杂了，我们根本无法求出来，这也使我们不得不去找近似分布．因此，中心极限定理被提出．2．2独立同分布情形的两个定理（1）则称服从中心极限定理，若对均满足如下极限公式：（2）则表明系服从关于均匀的趋于的正态分布。2．2．1林德伯格—莱维中心极限定理记为随机变量序列，变量同分布且相互独立，则对∀，有（3）证明设的特征函数为，则的特征函数为又因为，所以有，则系服从正态分布的相关特征函数，即可得证。2．2．2棣莫弗—拉普拉斯定理记重贝努里试验事件出现概率值为，为其出现次数，令对实数，例据一淘宝公司服装店铺统计显示，今年所有的购买人员中，因为服装没有达到预期效果而申请退货的人占．在今年的消费者中随意抽取位，用表示认为服装没有达到预期效果而退货的人．(1)写出的分布列．(2)位消费者中，射服装未达到效果退货的人概率为，则为多少？解:(1)是服从的二项分布，即(2)由隶莫弗－拉普拉斯中心极限定理，有所以，．2．3独立不同分布情形的两个定理如误差的产生是由大量随机因素构成，即，且该部分因素相互独立，即独立，并不要求同分布，故该情形下的极限分布亦需再行讨论。2．3．1林德贝格中心极限定理若满足林德贝格条件，且相关独立，则对∀，有，有(4)(5)(6)实际上，对上三式明显．设，则；易得，他们对成立．证明林德贝各中心极限定理令（7）以、分别表的特征函数与分布函数，因而（8），（9）（10）由（6）故林德贝格条件可化为：，；（11）(2)式化为：对均匀的有（12）如果在条件（11）下，能够证明的特征函数亦即（13）若（13）成立则问题得证证明（13）①先证可展开为（14）函数在任意有穷区间0由（9）中前一式（15）根据（5）．（16）其中，由（11），对一切充分大的有所以及任何有限区间中的，同时有因而对任意，均匀的有（17）当时，对一切充分大的，下式成立：（18）因此，在中，（19）其中由（18）但由（16）中第一个不等式及（10）故由（17）可见当时，关于任意区间中的均匀的有（20）②令由（15）得（21）若对∀属于，有．(22)将（21）表达式代入（14），结合①可证(13)证（22），由（10）对任意，由（4）（5）得由（10）可见：对，有（23）对任意，可选使又由（11），有为正整数，使及，有（24）则若，对一切，有2．3．2李雅普诺夫中心极限定理设为随机序列且相互独立的变量，如果有，使得（25）则对∀，有．证仅需证明其符合林德贝格条件，由（25）中心极限定理在商业管理中的应用如今经济飞速发展，很多公司在推行商品项目之前都会做样本采集、市场调查、产品试销、客户满意度调查等工作，在这些工作背后无不运用了概率论与数理统计的知识，同时中心极限定理如也经被应用到各行各业中，有较为重要的意义．很多已经应用到的领域和目前未涉及的领域都还待我们去继续探索．文章仅举了食堂管理问题、盈利问题、抽样检验问题、供应问题几个例子，但还有很多很多，如保险索赔问题，如公共场所设置座位问题，产品销售问题等．文中就不一一列举了．3．1食堂管理问题某学校食堂窗口有限，每天吃饭都会出现很多同学排长队的现象，为学校准备新加若干学生打饭的窗口，经后勤处深入仔细考察，研究发现平均一个学生在窗口打饭需耗费时间。目前窗口仅有个并共有在校生，并总结需确定问题如下：

（1）增设窗口前的拥堵概率值？（2）保证以上概率不拥堵应怎设窗口数？解：（1）设在某一具体的时点，名学生中有名占用窗口，则有拥堵概率值可表示如下：借助隶莫佛-拉普拉斯定理解答如下：上式可确定值有，，则故．拥堵概率值高达．（2）欲求，使得根据标准正态分布主要指标经查询分布表，得即故至少需增设窗口个。问题的变形：要保证以上的概率不拥挤，需至少新增多少个窗口?解：欲求，使得即即查表得即故至少需增设窗口个。（4）若将现有条件仅修改为个已有窗口，则具体计算结果如下所示：答：（1）．（2）同上．（5）若仅将现有条件中学生占用窗口耗费时间提至，其余的条件不变，则具体计算结果如下所示：答：(1)设某一具体时点，个学生中排队打饭的人数为，则，，，拥挤的概率是拥挤的概率竟达到．(2)欲求，使得即查标准正态分布表，得即故需新增个窗口．3．2盈利问题假设某彩票公司即将推行摇数字中大奖游戏，共有个人参加游戏，参加刮奖活动每人交付元，每人中奖概率为，一旦中奖，彩票公司向该参与者发放元作为奖金，问（1）上述设计引发公司亏本的概率值？（2）相关活动使得利润值不低于元，元，元的概率值？解：设为刮中奖的人数，则，即，根据德莫佛－拉普拉斯中心极限定理得：（2）设分别表示不低于、、元的活动利润值，该公司利润不少于元的概率为，不少于元的概率为，不少于元的概率为．3．3抽样检验问题经过某项临床测验得出，某药品对慢性的血管堵塞治愈率为．测验员任抽查名服药病人样本，若有个以上得到治愈，则认为临床测试通过，反之则不通过。若该药实际治愈率分别为、，则测试通过率分别计算如下：解：设

指样本中治愈人数，则

实际治愈率为时，通过这项测验的概率约为．

实际治愈率为时，通过这项测验的概率约为3．4供应问题假设某工厂有台机器独立工作着，工作时各耗电个单位的电力，且开工率为，为了完成任务，要的概率保证这个工厂电力是足够的的，问供电所至少要给该工厂多少电力?解:

设每工作着的机器数为，服从二项分布，．机器工作时耗电量为千瓦，该工厂的供电量为．查表得解之得即要完成任务要给该工厂个单位的的电力．结论与展望在这篇文章中，首先提出何谓极限定理，并就此在独立同分布下较为详尽地证明了极限定理，同时对独立不同分布下的情形加以证明，把抽象的例子尽量简单化，最后，举例更详细地说明中心极限定理在各个方面的应用．其实我们的生活中，很多现象都受到不确定因素干扰，亦称为随机因素扰动，微小因素聚集起来整体服从正态分布的规律，中心极限定理对上述结论进行了完美论证，这在解决实际问题中有着广泛而重要的作用．正态分布在概率分布中十分重要，中心极限定理在概率论中也有着同样重要的地位．回顾课本，我们在学习概率论的过程中，先学习了随机变量序列的两种收敛性，随后又学习了复随机变量，从而引出特征函数，这使得我们学习大数定律和中心极限定理的时候更为轻松．课本后的习题也贴近人们的社会、经济、生活和生产管理，更具有时代气息，这也使我们在学习时能更好的联系到实际．概率论与数理统计学这门学科是教我们有效地收集分析数据，再通过建立模型等方式从数据中心提取有用信息以进行推测、预算或寻求规律、为作决策提供依据等．同时这门学科在一定程度上也属于交叉学科，所以它需要与其他学科相结合起来才能更好地发挥作用．比如概率统计与医学相结合，对临床诊断、药物研究、化验检测等提供了极大的帮助；概率统计与经济相结合，利于人们更好地预测经济前景．尤其在大数据时代，当我们在使用电子产品，在使用各种智能工具，在浏览大数据推送的商品、新闻、广告等方方面面的信息的时候，其技术背后无不渗透了这门学科的知识，其重要性可想而知．生活很有无数多种可能性，有时候感觉自己稳操胜算了但还是会失败，但是有时候觉得不可能发生的事也许真的发生了．这是因为概率为1的事件也未必是必然事件，概率为0的事件未必是不可能事件．数学的发展方向正伴随着人类认识世界的需要．人类从最开始对计数的需要，发展到需要测量，需要分析很小的变化，需要认识不同的形状和结构，这些需求刺激了数论、几何、分析、代数等学科的发展．现在人类需要认识更加微观的世界，以及微观世界和宏观世界的联系和统一，所以概率论这门学科的发展也会越来越好．也希望概率论与数理统计这门学科能随着时代的发展不断进步，与各行业充分的结合起来更好的造福人类．参考文献[1]卯诗松．程依明．概率论与数理统计教程[M]．北京:高等教育出版社，2004．[2]盛骤．概率论与数理统计习题全解指南[M]．第四版．浙江：浙江大学，1990．[3]盛骤，谢式千，潘承毅．