小学数学运算教学促进学生思维发展的思考与实践

摘要：运算教学对训练学生思维的敏捷性、灵活性具有十分重要的意义。以人教版数学三年级下册“两位数乘两位数（不进位）”为例，通过分析教材和学情，提出根据认知水平确定学习素材、根据学习内容设计教学流程和根据课标要求转变学习方式等教学思考，通过精心设计三个教学环节，引导学生在经历数学知识形成的过程中实现数学思维的发展。关键词：小学数学；运算教学；思维发展；两位数乘两位数（不进位）数与运算是小学数学的重要教学内容之一，是学生学习数学及相关学科的基础。运算教学主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等。小学数学教师应通过设计有效的课堂教学，提高学生的运算能力，促进学生数学思维的发展。然而，在传统的小学数学课堂教学中，大多数教师都是直接出示运算的过程和结果，让学生在观察中模仿和记忆运算的方法，并通过大量的练习训练学生掌握运算的技能。学生没有经历数学知识形成的过程，导致不能将知识与技能灵活迁移运用。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版数学课标》）提出，教师在数学课堂上要敢于放手，让学生经历探究算理和算法的全过程。要提高小学数学运算教学的质量和效率，教师需要调动一切主动因素，设计好课堂教学的每一个环节，有效落实数学知识与技能的教学，渗透数学思想方法，促进学生积累数学学习经验，形成规范的思维品质［1］。下面，笔者以人教版数学三年级下册第四单元“两位数乘两位数（不进位）”为例，从理解运算对象、理解算理与算法之间的关系、感受算法多样性等角度展开课堂教学过程，将数学核心素养的培养渗透在小学数学运算教学中，加强学生的自主学习能力，促进学生的思维发展。一、教材和学情分析（一）明确教学目标“两位数乘两位数（不进位）”一课编排在人教版数学三年级下册第四单元“两位数乘两位数”中。此前学生已经经历了表内乘法、两位数乘一位数（不进位）、两位数乘一位数（进位）、两位数乘整十和整百数等内容的学习，后续学生还要学习两位数乘两位数（进位）、三位数乘两位数等数学知识。学生在学习本课前，已经掌握了笔算乘法的运算法则：用一个数与另一个数的每个数位相乘，乘到哪一位，乘积的末尾必须与该数字对齐，最后把两个乘数的积相加。本课教学中，教师重点引导学生掌握乘法的顺序以及各部分积的书写位置，帮助学生理解算理、掌握算法，突出各部分积的实际意义，为学生以后学习三位数乘两位数奠定学习基础，也为学生学习除数是两位数的除法和混合运算做好充分准备。因此，教师确定了“两位数乘两位数（不进位）”的以下教学目标：使学生经历两位数乘两位数（不进位）的运算探究过程，体会运算方法的多样性；在不同运算方法的比较中理解算理，掌握两位数乘两位数（不进位）的运算方法；利用两位数乘两位数（不进位）的运算方法解决数学问题，培养学生的运算能力和解决问题的能力。（二）精准分析学情为了精准分析学生的数学学习情况，教师在教学“两位数乘两位数（不进位）”前，主要从算法多样性和对算理的理解这两个角度设计了如图1所示的课堂前测题，对三年级一个教学班级的40名学生进行了课前小测。第1题考查学生是否能用多种方法计算两位数乘两位数（不进位），第2题考查学生是否能结合具体情境解释两位数乘两位数（不进位）每个数的含义。设计课堂前测题的目的是判断学生对笔算两位数乘两位数（不进位）算理的理解层级。教师通过分析学生解答第1题的情况，对学生算法多样性水平进行了分层，结果如表1所示。教师通过分析学生解答第2题的情况，对学生算理的理解水平进行了分层，结果如表2所示。教师通过分析课前小测学生的解答情况，发现大多数学生已经会正确运用竖式计算的方法计算两位数乘两位数（不进位），而且会用1种或2种方法计算两位数乘两位数（不进位）。但是，大多数学生不会结合具体情境解释每个数的含义。二、运算教学的教学设计思考在小学数学运算教学中，有效的课堂教学设计能帮助学生更好地解决运算学习中的三个问题：一是如何计算，即学生对算法和运算程序的使用，表现为运算的熟练性；二是为什么这样计算，即学生对算理的理解，表现为运算的合理性；三是怎样计算更好，即学生对算法的优化，表现为运算的灵活性。“两位数乘两位数（不进位）”一课教学，教师要将重心放在学生对算理的理解和算法的掌握上，可通過分析教材和学情，在教学过程中提供可视化的学习工具、设计丰富的课堂活动任务，引导学生把新知识转化成旧知识来探索算理和算法。（一）根据学生认知水平确定学习素材由于三年级学生的学习和认知心理都处于从具体形象向抽象思维过渡的阶段，因此，教师要为学生提供具象的学习素材，通过小棒、点子图、方块图等可视化的学习工具，帮助学生理解抽象的运算过程。考虑到学生学习两位数乘一位数乘法时由于计算数目较小，教师可以提供小棒等能够动手操作的学习素材，帮助学生学会解释每个数的含义。而学生在学习两位数乘两位数（不进位）时由于计算数目较大，教师可以提供点子图等能够圈画的学习素材，帮助学生在分点子图中理解“先分后合”的运算策略。（二）根据学习内容设计教学流程“两位数乘两位数（不进位）”一课的教学流程，通常分为以下三个环节：第一个环节是教师出示两位数乘两位数不进位乘法的问题，让学生独立思考并进行学习小组交流；第二个环节是先由每个学习小组分别介绍不同的算法，教师再组织教学活动，帮助学生理解每一种运算方法，并比较不同算法的异同，总结出两位数乘两位数不进位乘法的一般算法；第三个环节是教师为学生提供适量的练习题，帮助学生巩固乘法运算的算理和算法，让学生学会正确运用两位数乘两位数不进位乘法解决实际问题。（三）根据课标要求转变学习方式《2022年版数学课标》强调，教师要改进教学方式，促进学生学习方式的转变。新课标理念下的小学数学教学，教师要设法营造让学生动手实践、自主探究、合作交流的学习氛围，让学生在观察思考、动手实践中发现数学规律，培养合作意识、交流能力和理解能力。因此，教师要改变传统的讲授式教学，重视培养学生的自我探究意识，放手让学生自己去解决数学问题。教师可以借助信息技术丰富教学情境，让抽象的算理理解直观化，促进学生对笔算乘法运算算理的理解和算法的探索。三、促进学生思维发展的运算教学实践裴斯泰洛齐说过：“教学的主要任务不是积累知识，而是发展思维。”学生学习不是被动的过程，而是主动探索、积极思考、发展思维的过程。在“两位数乘两位数（不进位）”一课教学中，笔者精心设计各个环节的教学活动，以学生数学思维发展为核心，引导学生主动探究，经历知识形成的过程。（一）引导学生交流表达，实现思维碰撞教师在教学中设计交流不同算法的教学活动，鼓励学生大胆表达自己的想法，让学生在交流中思考、在思考中学习。学生在互动交流中，一步一步深入思考，积极主动探究算法的本质，比较不同算法之间的异同，从而促进了思维的碰撞与发展。在“两位数乘两位数（不进位）”的教学中，教师先提出数学情境问题“一套书有14册，王老师买了12套。一共买了多少册？”，再引导学生利用点子图探究问题解决的方法，然后让学生列出乘法算式并自主探究计算结果。教师在课堂巡视过程中进行指导。师：同学们，解决问题会有不同的算法，谁愿意与大家分享你的思考过程？生1：我把这个点子图中的12行分成2行和10行（如图2）。上面这个圈表示10套书有多少册，下面这个圈表示2套书有多少册。我用横式计算，14×12=14×10+14×2=140+28=168（册）。师：为什么把12行分成10行和2行？生1：因为我想到我们在捆木棒的时候，都是10个捆一起，剩余的放旁边。把12分成10和2，这样计算更方便。生2：我把这个点子图中的12行平均分成3份（如图3）。每个圈都是14×4=56，总共是56×3=168（册）。师：生1的方法是把数字12分成10和2，生2的方法是平均分。同学们觉得哪种方法好？为什么？生3：把数字12分成10和2更好，因为不是所有的数字都是可以平均分的。如果是14×13，那么13就不能平均分，而且在平均分计算时还要进位，算法比较麻烦。师：这两种分法有什么共同点？生4：都是把一个数字分开，变成我们之前学过的两位数乘一位数乘法或者两位数乘整十数乘法。师：生2将12套书平均分的思路值得表扬，但并不是所有的因数都能写成两数相乘的形式，所以这种计算方法的应用有一定的局限性。在解决数学情境问题的过程中，学生的解题方法是多种多样的。教师与学生互动交流时，注重引导学生从“是什么”的问题进入到“为什么”的问题，学生的发散性思维被激活，思考解决问题这样分的原因。学生在感受算法多样化的同时，体验不同算法的异同，掌握解题的策略，在比较过程中提高分析和解决问题的能力，培养算法优化意识。（二）探究运算本质，促使学生思维深入发展数学学习是学生系统地掌握数学知识与技能，逐步培养数学思维能力的过程。学生在数学运算学习过程中，不仅要学会数学知识，而且要体会知识产生的过程，发展数学思维。因此，教师在教学中要不断引导学生去探究“是什么”“为什么”“怎么样”，凸显运算教学的本质，帮助学生抓住算理与算法的关系，从而实现思维的深入发展和运算能力的提升。在“两位数乘两位数（不进位）”教学中，教师引导学生感悟无论是运用哪一种解题方法，其实都用到了转化思想——将复杂的问题简单化，将没学过的知识与学过的知识建立联系。教师要注重在教学过程中渗透转化思想［2］。师：除了把12分成两个不同的数来计算，同学们还有其他计算方法吗？生：可以用竖式计算，14×2=28，14×10=140，28和140相加是168。师：为什么竖式计算过程中，计算结果“14”的4要与两位数的十位对齐？生：因数12十位上的1表示10，14×10=140，所以4要与两位数的十位对齐。師：同学们能在点子图和横式中找到对应的140和28吗？学生在点子图和横式中分别圈出，如图4所示。学生边圈边介绍点子图中的140表示横式中的14×10=140，点子图中的28表示横式中的14×2=28。师：请结合题目来说一说，140、28和168分别表示什么。生：140表示10套书一共有140册，28表示2套书一共有28册，168表示12套书一共有168册。师：所以竖式计算的算理与把12分成10和2这种方法是一致的。教师借助直观的点子图与竖式、横式计算相对应，在数形结合中引导学生亲历构建两位数乘两位数不进位乘法的数学模型的过程，不仅可以促进学生理解算理、掌握算法，而且可以为学生提供数学思考和交流的机会，有利于培养学生的数学思维能力。特别是在教学两位数乘两位数不进位乘法的运算方法时，教师引导学生通过点子图去探索算法并得出结果，通过比较横式和竖式发现它们的算理和算法是一致的，只是记录的形式不同。学生通过结合具体情境解读每一个数字的意义，不仅体会到了解题策略和算法的科学性、多样性，而且体会到了乘法计算的简洁性和有效性，感悟到算理和算法中所渗透的转化的数学思想方法，从而实现了思维方法的结构化［3］。（三）设计巩固练习，体现“教—学—评”一致性运算教学既需要例题的示范，也需要通过练习来巩固。教师通过讲解例题和设计巩固练习，促进学生对数学知识的理解和掌握。课堂巩固练习不仅能帮助学生进一步理解乘法的算理和算法，还能帮助学生熟练地掌握各种解题方法，从而培养学生的运算能力和问题解决能力。因此，教师在设计巩固练习时，应注重课时教学目标和课时作业目标的匹配，体现“教—学—评”的一致性，同時要考虑练习材料的难易程度和形式的多样化，利用巩固练习更好地培养学生综合运用知识的能力，促进学生更加主动地学习，认清数学知识的本质。在“两位数乘两位数（不进位）”的课堂巩固练习环节，教师设计了如图5所示的两道练习题，帮助学生巩固两位数乘两位数不进位的笔算乘法，促进学生掌握乘法竖式计算的顺序和方法，学会运用竖式乘法解决实际问题。师：哪个同学来说一说第1题是怎么做的？生1：第一个括号里填69，23×3=69，表示3袋大米69千克。第二个括号里填23，3与两位数的十位对齐，表示10袋大米23千克。生2：不对，应该表示10袋大米230千克。师：你们同意谁的做法，为什么？生3：我同意他（指生2）的做法。因为这个23表示23个“十”，所以是230千克。师：哪个同学来说一说第2题是怎么做的？生4：①和②都是方框，什么数字都没有，所以无法确定。生5：我通过计算发现，①中填42，②中也填42，所以我选C。生6：你们选的都不对，①和②都填42，但是②中的42表示42个十，表示420，420＞42，所以应该选B。在这个教学环节，教师精心设置与学生的认知水平相匹配的数学问题，让学生有信心但又需要仔细思考才能解决问题。像这样“有点难”的数学问题，能够促进学生的数学思维，使学生不断