第24章 解直角三角形 华师大版数学九年级上册教案

解直角三角形※教学目标※【知识与技能】1.进一步理解锐角三角函数的定义，知道特殊角的三角函数值，能够根据某一个三角函数值，熟练求出其他两个三角函数值.2.进一步扎实掌握同一个锐角三角函数之间的关系和互余两角三角函数之间的关系，并能利用它们进行计算或证明.3.能熟练根据直角三角形的边角关系解直角三角形，并能运用这些关系解决一些应用问题.4.进一步了解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，能熟练利用解直角三角形的知识去解决实际问题.【教学重点】锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形及解直角三角形的应用.【教学难点】同角三角函数之间的关系以及互余两角三角函数之间的关系，解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法.※教学过程※一、知识体系图解二、知识专题复习专题一求锐角三角函数值【例1】如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB=.求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值.分析：（1）要求DC的长，先求BD的长，再根据DC=BC-BD来求；（2）DE为AC中线，则DE=EC，故∠EDC=∠C，tan∠EDC=tanC.解：（1）在Rt△BDA中，∵∠BDA=90°，AD=12，sinB=,∴AB=15,BD==9,∴DC=BC-BD=5.(2)在Rt△ADC中，∠ADC=90°，tanC=.∵DE是Rt△ADC斜边AC上的中线，∴DE=AC=EC.∴∠EDC=∠C.∴tan∠EDC=tanC=.【归纳拓展】求一个锐角的三角函数值，就是根据三角函数的定义，在直角三角形中，求相应两边的比，当这个角不在某个直角三角形中时，可利用等角转换的方法，求某个直角三角形中和这个角相等的角的相应三角函数值，也可通过作辅助线构造直角三角形解，当这个角是特殊角时，直接写出即可.【练习】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB,AD=CD，cosB=,BC=26.求：（1）cos∠DAC的值；（2）线段AD的长.答案：（1）（2）13专题二解直角三角形的应用【例2】某市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一半径为0.6千米的住宅小区，如图，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41,≈1.73)分析：这是一道说理题，要通过计算作出说明.居民是否搬迁，就是看点C到直线AB的距离与0.6的关系，所以求出点C到AB的距离是解题的关键，为此需要作CD⊥AB于D.解：过点C作CD⊥AB于D，∴AD=CD·tan45°=CD,BD=CD·tan60°=CD.∵BD+AD=AB=2,即CD+CD=2,∴CD=≈1.73-1=0.73>0.6.答：修的公路不会穿越小区，故该小区居民不需搬迁.【归纳拓展】解直角三角形的应用就是把实际问题转化为数学问题，在解直角三角形的应用题时，大部分问题都可转化为以下两个基本图形.【练习】青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.如图，一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出处，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）答案：t=≈7(s).专题三方程思想【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=,D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9，求BE、CE的长.分析：由sinB=,可设DE=CD=3k,DB=5k,则BC=8k，AC=6k,AB=10k,再由AC+CD=9,可列出以k为未知数的方程，进而求出各边长.在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长.过C作CF⊥AB于F，再用勾股定理求CE的长.解：∵sinB=,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴sinB=.设DE=CD=3k,则DB=5k.∴CB=8k,∴AC=6k,AB=10k.∵AC+CD=9,∴6k+3k=9,∴k=1.在Rt△BDE中，DE=3，DB=5，∴BE=4.过C作CF⊥AB于F，则CF∥DE，∴,求得CF=,BF=,∴EF=.在Rt△CEF中，CE=.【归纳拓展】在解决数学问题时，有一种从未知数转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想就是方程思想.有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法一一列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题需要通过构造方程来解决.【练习】如图，在比水平高2m的A地，观察河对岸一直立的树BC顶部B的仰角为30°,它在水中的倒影B′C的顶部B′的俯角是45°，根据这一情景，你能求出树高BC吗？（结果保留根号）答案：专题四方案设计题【例4】如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H.可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面的高度HG的方案，具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）.（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG.(用字母表示，测倾器高度忽略不计).解：方案一：（1）如图甲（测三个数据：n、α、β）.(2)设HG=k,在Rt△CHG中，CG=;在RtDHM中，DM=,方案二：（1）如图乙（测四个数据：m、n、a、γ）.（2）设HG=k,在Rt△AHM中，AM=;在Rt△DHM中，DM=,【归纳拓展】熟读题目，理解题意是解题的前提.设计方案时要尽可能和已学过的基本图形联系起来，测量工具的选择要结合实际情况，特别要注意设计的方案必须考虑环境、条件的限制.【练习】如图，A、B是两幢地平高度相等，隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带.为了测量B的高度，只能充分利用A楼的空间，A的各层楼都可到达且能看见，现仅有的测量工具为皮尺和测角器.（皮尺可用于测