2024-2025学年江苏省无锡市梁溪区积余实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省无锡市梁溪区积余实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣y+1＝0 C．x2＝0 D．+x＝22．（3分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（3分）下列说法正确的是（）A．圆周角等于圆心角的一半 B．三个点可以确定一个圆 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．等弧所对的圆心角相等4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝30°（）A．30° B．40° C．60° D．65°5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠06．（3分）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（）A． B．π C． D．2π7．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，则球的半径长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm8．（3分）如图，在⊙O中，半径OA，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．30° B．26° C．25° D．20°9．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2其中正确的（）A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③二.填空题（共8小题，11-17题每空3分，18题第1空1分，第2空2分，共24分）11．（3分）若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程．12．（3分）m＝时，关于x的方程是一元二次方程．13．（3分）已知圆锥的侧面积是12π，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为．14．（3分）一元二次方程2x2﹣7x﹣4＝0的两根为x1，x2，则＝．15．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14．16．（3分）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm2，那么x满足的方程是．17．（3分）已知，正六边形ABCDEF内接于⊙O，且该正六边形的半径为3．18．（3分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为2.5的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，∠DBC＝20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中．三.解答题（共7小题，第19题每小题16分，20-25题每题10分，共76分）19．（16分）解方程：（1）（2x+3）2﹣5＝0；（2）2x2+1＝3x；（3）x2﹣4x+2＝0；（4）（x﹣4）2＝4x（4﹣x）．20．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．21．（10分）如图，已知△ABC中，AC＝BC＝3（不写作法，保留作图痕迹）．（1）请在图1中作一个能覆盖△ABC且面积最小的⊙O，则⊙O的半径为；（2）请在图2的△ABC纸片中剪出一个面积最大的⊙I，则⊙I的半径为．22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？23．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BD，OC⊥BD于点E、且∠BOC＝∠BDC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AD＝6，求图中阴影部分的面积．24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，沿规定路线移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动2？25．（10分）如图，⊙O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0）（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式

2024-2025学年江苏省无锡市梁溪区积余实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣y+1＝0 C．x2＝0 D．+x＝2【解答】解：A、方程二次项系数可能为0；B、方程含有两个未知数；C、符合一元二次方程的定义；D、不是整式方程．故选：C．2．（3分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，∴OP＞5，故选：D．3．（3分）下列说法正确的是（）A．圆周角等于圆心角的一半 B．三个点可以确定一个圆 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．等弧所对的圆心角相等【解答】解：A、在同圆或等圆中，故本选项说法错误；B、不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，不符合题意；C、同一条弦所对的圆周角相等或互补，不符合题意；D、等弧所对的圆心角相等，符合题意；故选：D．4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝30°（）A．30° B．40° C．60° D．65°【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+8＝0有实数根，∴m≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4m×8≥0，解得m≤1且m≠8．故选：D．6．（3分）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（）A． B．π C． D．2π【解答】解：．故选：A．7．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，则球的半径长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝6cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+52＝x2解得：x＝2，故选：B．8．（3分）如图，在⊙O中，半径OA，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．30° B．26° C．25° D．20°【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38＝52，∴，故选：B．9．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠3）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝7，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣6ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣3ac＝0，即（a+c）2﹣8ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣8ac+c2＝（a﹣c）2＝6，∴a＝c．故选：A．10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2其中正确的（）A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③【解答】解：①∵a+b+c＝0，∴x＝1是一元二次方程ax4+bx+c＝0的解，∴Δ＝b2﹣6ac≥0，结论①正确；②∵方程ax2+c＝8有两个不相等的实根，∴Δ＝﹣4ac＞0，∴Δ＝b3﹣4ac≥﹣4ac＞2，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴ac2+bc+c＝6，若c为0，则无法得出ac+b+1＝2；④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝5的根，∴，∴，∴，结论④正确．∴正确的结论有①②④．故选：B．二.填空题（共8小题，11-17题每空3分，18题第1空1分，第2空2分，共24分）11．（3分）若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程x2﹣4x+3＝0．【解答】解：∵1+3＝4，1×3＝2，∴以1和3为根的一元二次方程可为x5﹣4x+3＝4．故答案为x2﹣4x+3＝0．12．（3分）m＝1时，关于x的方程是一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴m2+1＝2且m+6≠0，解得：m＝1，故答案为：6．13．（3分）已知圆锥的侧面积是12π，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为3．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，由题意得，×3π×r×4＝12π，解得，r＝3，故答案为：4．14．（3分）一元二次方程2x2﹣7x﹣4＝0的两根为x1，x2，则＝．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣4＝0的两根为x6，x2，∴，∴，故答案为：．15．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为145．【解答】解：∵⊙O与AB，BC，E，F∴AF＝AD＝2，BD＝BE，∵△ABC的周长为14，∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14，∴2（BE+CE）＝10，∴BC＝3．故答案为：5．16．（3分）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm2，那么x满足的方程是（65+2x）（30+2x）＝2450．【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，则挂图的长为（65+2x）cm，根据题意得：（65+2x）（30+5x）＝2450，故答案为：（65+2x）（30+2x）＝2450．17．（3分）已知，正六边形ABCDEF内接于⊙O，且该正六边形的半径为3．【解答】解：连接OA、OB，则∠OHB＝90°，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，且该正六边形的半径为3，∴OA＝OB＝3，∠AOB＝，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝3，∴BH＝AH＝AB＝，∴OH＝＝＝，∴S△AOB＝AB•OH＝＝，∵正六边形ABCDEF由2个与△AOB全等的三角形组成，∴S正六边形ABCDEF＝6S△AOB＝6×＝，故答案为：．18．（3分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为2.5的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中．【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，∴AC＝CB，DC＝EC，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC＝∠EAC＝20°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BF交AC于点T．同法可证△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAF，∵∠BTC＝∠ATF，∴∠BCT＝∠AFT＝60°，∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，此时CD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AE＝BD＝，∠BDC＝∠AEC＝90°，∵CD＝CE，CF＝CF，∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∴EF＝CE•tan30°＝，∴AF的最小值＝AE﹣EF＝﹣＝，故答案为：80，．三.解答题（共7小题，第19题每小题16分，20-25题每题10分，共76分）19．（16分）解方程：（1）（2x+3）2﹣5＝0；（2）2x2+1＝3x；（3）x2﹣4x+2＝0；（4）（x﹣4）2＝4x（4﹣x）．【解答】解：（1）（2x+3）2﹣5＝0，（2x+3）2＝5，2x+3＝±，2x＝﹣3±，x1＝﹣+，x7＝﹣﹣；（2）2x7+1＝3x，5x2﹣3x+8＝0，（2x﹣5）（x﹣1）＝0，7x﹣1＝0或x﹣4＝0，x1＝，x2＝6；（3）x2﹣4x+4＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣2x+4＝﹣2+8，（x﹣2）2＝8，x﹣2＝±，x3＝2+，x7＝2﹣；（4）（x﹣8）2＝4x（6﹣x），（x﹣4）2﹣6x（4﹣x）＝0，（x﹣5）2+4x（x﹣2）＝0，（x﹣4）（x﹣5+4x）＝0，（x﹣8）（5x﹣4）＝6，x﹣4＝0或8x﹣4＝0，x6＝4，x2＝．20．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【解答】（Ⅰ）证明：当m＝0时，此方程为一元一次方程．方程有实数根，当m不等于0时，Δ＝（m+3）2﹣8m＝m3﹣4m+4＝（m﹣4）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）6≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（Ⅱ）解方程得，x＝，x2＝，x2＝3，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2，m＝2不合题意，∴m＝1．21．（10分）如图，已知△ABC中，AC＝BC＝3（不写作法，保留作图痕迹）．（1）请在图1中作一个能覆盖△ABC且面积最小的⊙O，则⊙O的半径为；（2）请在图2的△ABC纸片中剪出一个面积最大的⊙I，则⊙I的半径为．【解答】解：（1）如图1，分别作线段AB，相交于点O，OA的长为半径画圆，则⊙O即为所求．设线段AB的垂直平分线交AB于点D，∴AD＝AB＝2．∵AC＝BC＝3，∴△ABC为等腰三角形，∴直线OD过点C，∴CD＝＝＝．设⊙O的半径为r，则OD＝CD﹣OC＝．在Rt△AOD中，由勾股定理得2＝OD5+AD2，即，解得r＝，∴⊙O的半径为．故答案为：．（2）如图2，分别作∠BAC和∠ABC的平分线，再过点I作AB的垂线，以点I为圆心，则⊙I即为所求．由题意得，⊙I为△ABC的内切圆，记⊙I与AC相切于点E，与BC相切于点F，设⊙O的半径为r，∵AC＝BC＝3，∴△ABC为等腰三角形，∴直线ID过点C，AD＝，∴CD＝＝＝，∴S△ABC＝＝＝，∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD+S△ACD，∴＝，解得r＝，∴⊙I的半径为．故答案为：，22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x3＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合题意，舍去），y7＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．23．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BD，OC⊥BD于点E、且∠BOC＝∠BDC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AD＝6，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵OC⊥BD，∴∠BEO＝90°，∴∠BOC+∠OBE＝90°．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠BOC＝∠BDC，∴∠ODB+∠BDC＝90°，∴CD⊥OD．∵OD是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在Rt△ABD中，∠A＝30°．∴∠BOD＝2∠A＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝BD，∴AB＝2OB＝5BD．由勾股定理得AD2+BD2＝AB7，即62+BD3＝（2BD）2，解得．∵OC⊥BD，∴E是BD的中点．∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴．∵S△BOD＝BD•OE＝×3＝3，S扇形OBD＝＝2π，∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝2π﹣6．24．（10分）如