14解直角三角形（分层练习）

第一章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022·吉林长春·一模）如图，菱形中，对角线，，．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：如图，与交于点，四边形是菱形，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．2．（2022·辽宁鞍山·九年级期中）在中，，，，下列四个选项，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，根据勾股定理得：，∴，，，，∴C正确，A、B、D错误，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．3．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴．故选:B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．4．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，在中，于D，如果，E为的中点，那么的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，求出长度，再由勾股定理求出，再由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即．【详解】解：在中，，，∴，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵E为中点，∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半．5．（2022·山东烟台·九年级期中）厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱（为底边中点）长10米，，则跨度的长是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，再由锐角三角函数，即可求解．【详解】解：根据题意得：米，∴，∵，∴米，∴米．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2022·山东·济南市东方双语实验学校模拟预测）如图，从地到地的飞机航线经过某市的地标建筑物A的上空，一架飞机在从地飞往N地途中处测得建筑物A顶部的俯角为，继续沿航线飞行千米，飞机恰好处于建筑物A的正处，则此时飞机距建筑物A的顶部的距离是（）A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米【答案】C【分析】设飞机距建筑物A的顶部的距离是x千米，利用求解即可．【详解】解：设飞机距建筑物A的顶部的距离是x千米，则由题意可知：，∴，即飞机距建筑物A的顶部的距离是千米．故选：C【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用正切值求三角形边长．二、填空题7．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）已知为锐角，且，则的值为__________．【答案】【分析】根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．【详解】解：由知，如果设，则，结合得．∴．故答案为【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．8．（2022·上海市虹桥中学九年级期中）如果在平面直角坐标系中，点的坐标为，射线与轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于_____．【答案】【分析】如图，过点作轴于点，证明，可得结论．【详解】解：如图，过点作轴于点，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．9．（2022·山东菏泽·九年级期中）在中，，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】根据题意可得出，从而即可得出．【详解】如图，∵，∴．∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10．（2022·吉林长春·一模）如图，点，，点是一点，若，则的面积为______．【答案】3【分析】根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等，得到正切值相等，再得到长度，最后求出的面积．【详解】解：由题意可知，，，，，，，．故答案为：3．【点睛】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．三、解答题11．（2022·山东菏泽·九年级期中）中，．(1)如果，，求的长；(2)如果，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可；（2）根据余弦函数的定义和勾股定理求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：中，，∴，则可设，，∵，∴，解得：，（负值舍去），∴．【点睛】本题考查解直角三角形，理解锐角三角函数定义，分清对应锐角三角函数是哪两条对应边的比值是解答的关键．12．（2022·山东聊城·九年级期中）如图，在中，，，，求长．【答案】【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得BC的长度．【详解】解：过点A作，垂足为在中，，，在中，长为【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，掌握利用三角函数求线段长度的方法是解决本题的关键．提升篇提升篇一、填空题1．（2022·山东济南·九年级期中）如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为______．【答案】【分析】根据，设，，根据正切，求得，根据，求得，之比，即可求得面积比．【详解】四边形，FGQP是正方形，，，，E为AB中点，，，设，，则，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，正方形的性质，求得，的比值是解题的关键．2．（2022·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长是______．【答案】2【分析】利用折叠的性质，以及平行四边形的性质，得到，分别解，，，即可得解．【详解】解：∵四边形为平行四边形，，∴，，∵，∴，∵将沿着所在的直线折叠得到，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，得到，是解决本题的关键．3．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则长方形卡片的周长为___________．（参考数据）【答案】##200毫米【分析】求的周长就是求和的长，可分别过作垂线垂直于l，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出的长．【详解】解：作于点于点F．∵，，∴．根据题意，得．在中，，∴．在中，，∴．∴矩形的周长．故答案为200．【点睛】本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．4．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）如图，的顶点都在格点上，______．【答案】【分析】作于点，，求得、即可．【详解】解：如图所示，作于，，，∴为等腰三角形，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．5．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）如图，四边形是矩形的内接矩形，且，，，则的值为______．【答案】【分析】先求出与相似，再根据其相似比，设出的长，求出的值即可．【详解】解：四边形是矩形的内接矩形，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，即，解得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理，再根据各边之间的关系列出方程．二、解答题6．（2022·上海·测试·编辑教研五九年级期中）如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点．(1)求边的长；(2)求的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可；（2）过点E作于点H．求出，，可得结论．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：过点E作于点H．∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查解直角三角形、平行线的判定、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．（2022·湖南·永兴县永一中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限，，．

(1)求点B的坐标；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点B作轴，垂足为C，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，即可解答；（2）根据已知可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】（1）解：过点B作轴，垂足为C，在中，，，∴∴，∴点B的坐标为；（2）解：∵点A的坐标为，∴，∵，∴，在中，，∴，∴的值为．【点睛】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（2022·河北·石家庄二十三中九年级阶段练习）如图1是一台支架，图2是其侧面示意图，其中，可分别绕点，转动，测量