湖大自控第二章

自动控制原理2012年9月唐求电气与信息工程学院第二章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型2-1控制系统的复数域数学模型2-2控制系统的结构图和信号流图3数学模型的实验测定法42-32-4被控对象:数学上怎么来描述？被控对象位置速度加速度微分描述变化：2-1控制系统的时域数学模型被控对象的基本描述：微分方程被控对象输出y(t)输入r(t)2-1控制系统的时域数学模型求解微分方程，是整个控制理论的数学基础（1）（2）（3）匀速运动匀加速运动一般运动2-1控制系统的时域数学模型一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立三、线性定常系统与叠加原理四、线性微分方程式的求解2-1控制系统的时域数学模型（1）

确定系统的输入变量和输出变量。一、建立系统微分方程的一般步骤一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。（2）

建立初始微分方程组。将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化。2-1控制系统的时域数学模型ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1．RC电路+-uruc+-CiR输入量：输出量：（1）

确定输入量和输出量（2）

建立初始微分方程组（3）消除中间变量,使式子标准化RC电路是一阶常系数线性微分方程。ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=ur2-1控制系统的时域数学模型2．机械位移系统系统组成：质量m输入量弹簧系数k阻尼系数fF(t)输出量y(t)初始微分方程组:F=maF(t)–FB(t)–FK(t)=ma根据牛顿第二定律mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系统的时域数学模型中间变量关系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中间变量得:mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系统的时域数学模型试写出以ur(t)为输入量、uc(t)为输出量的电路微分方程。i(t)LRur(t)uc(t)C解：设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为消除中间变量，可得：2-1控制系统的时域数学模型3．RLC电路

系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。1.系统微分方程的一般表达式（标准形式）为：+dtm+bmr(t)

=b0dm-1r(t)dtm-1

b1+···dmr(t)

+dr(t)dtbm-1

+dnc(t)dn-1c(t)dc(t)anc(t)+···dtna0dt

n-1a1+dt

an-1+三、线性定常系统与叠加原理式中，c(t)——系统输出量

r(t)——系统输入量

ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)为微分方程的系数2-1控制系统的时域数学模型2.根据系统微分方程对系统进行分类：1）线性系统：方程中只含有变量c(t)，r(t)及其各阶导数2）非线性系统：参数与变量有关,或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项a)线性定常系统：a0,…,an;b0,…,bm为常数b)线性时变系统：a0,…,an;b0,…,bm为时间的函数2-1控制系统的时域数学模型3.线性系统满足叠加原理：线性系统r1(t)c1(t)线性系统r2(t)c2(t)线性系统ar1(t)+br2(t)ac1(t)+bc2(t)叠加原理的意义：对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，把这些输出叠加起来，则可能求得总的输出。2-1控制系统的时域数学模型四、线性微分方程式的求解求解方法：1）解析法

2）拉普拉斯变换法

3）计算机求解。

拉普拉斯变换法求解微分方程的步骤：

1、考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉氏变换，变成变量S的代数方程；

2、由变量S的代数方程求出系统输出量的拉氏变换式；

3、对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换，得到系统微分方程的解。2-1控制系统的时域数学模型r(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=0

+2c

(t)=r(t)

+2d2c(t)dt2dc(t)dt用一个例子来说明采用拉氏变换法解线性定常微分方程的方法。例

已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。解：将方程两边求拉氏变换得：求拉氏反变换得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1

C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11c(t)=e–t

sint2-1控制系统的时域数学模型输出响应曲线c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-1控制系统的时域数学模型一、拉普拉斯变换及其主要性质二、传递函数的定义及求取

拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型—传递函数。三、典型环节的传递函数2-2控制系统的复数域数学模型一、拉普拉斯变换及其主要性质:

1．拉普拉斯变换的定义：设函数f(t)当t0时有定义，且积分在s的某个域内收敛，则它的拉氏变换定义为：2．拉普拉斯变换的主要性质：1）线性性质：若

、

是常数，2-2控制系统的复数域数学模型2）微分性质:2-2控制系统的复数域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型3）积分性质:4）位移性质:5）延迟性质:6）初值定理:7）终值定理:2-2控制系统的复数域数学模型3.拉氏逆变换:4.卷积定理:2-2控制系统的复数域数学模型5.典型函数的拉氏变换:2-2控制系统的复数域数学模型6.部分分式展开定理:一般，函数F(s)是复变数s的有理代数分式，即可以表示成如下形式：2-2控制系统的复数域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型输出拉氏变换二、传递函数的定义及求取系统的结构图输入输入拉氏变换输出传递函数的定义：

零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=2-2控制系统的复数域数学模型零初始条件:

系统的输入量、输出量及其各阶导数在t=0时的值均为零。求取系统传递函数的步骤:1）列写系统微分方程（非线性方程需线性化）；2）设全部初始条件为零，对微分方程两边取拉氏变换；3）求输出量与输入量的拉氏变换之比——系统传递函数。2-2控制系统的复数域数学模型式中，c(t)——系统输出量

r(t)——系统输入量

ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)为常系数设线性定常系统的微分方程为:2-2控制系统的复数域数学模型对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得系统传递函数的一般表达式为(a0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm

)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an（n≥m）2-2控制系统的复数域数学模型例

求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：输出量：输入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i

++uc根据基尔霍夫定律：得RCducdt+uc=urLCd2ucdt2+拉氏变换：RCsUc(s)+

LCs2Uc

(s)

+

Uc

(s)=Ur(s)传递函数为:G

(s)=1LCs2+

RCs

+

1Uc

(s)Ur(s)=2-2控制系统的复数域数学模型dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例求液位控制系统的传递函数.将上式两边求拉氏变换：设解：得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Qi(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa

=bh02传递函数为H(s)Abs+1b=Qi(s)2-2控制系统的复数域数学模型传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数一般为复变量S的有理分式。（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即G(s)=K＊(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)式中：n>=mK＊—为根轨迹增益S=S1,S2···,Sn—传递函数的极点S=Z1,Z2···,Zm—传递函数的零点传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。2-2控制系统的复数域数学模型首1标准型（即零、极点形式）：首1标准型在根轨迹法中使用较多尾1标准型：尾1标准型在频率法中使用较多系统的根轨迹增益—jnjimiKpszsKsRsCsG

)()()()()(

*11*-Õ-Õ====2-2控制系统的复数域数学模型（5）传递函数与微分方程一一对应。

微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性）传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）（6）不同物理系统（机械、电气、液压）可用形式相同的传递函数来描述——相似原理，能用相同数学模型描述的系统——相似系统。

应用意义：可用模拟机进行系统研究2-2控制系统的复数域数学模型（7）传递函数的拉氏反变换为系统的脉冲响应。系统的输入是单位脉冲信号

(t)时，系统的输出称为脉冲响应。2-2控制系统的复数域数学模型一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。三、典型环节的传递函数2-2控制系统的复数域数学模型K=-R1R2比例环节实例(a)-∞++urR1ucR2由运算放大器构成的比例环节(b)线性电位器构成的比例环节K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)1．比例环节2-2控制系统的复数域数学模型C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例环节系数拉氏变换:比例环节的传递函数:微分方程:K比例环节方框图KR(S)C(S)特点:输出不失真,不延迟,成比例地R(s)C(s)G(s)==K复现输入信号的变化.2-2控制系统的复数域数学模型-∞++R1R2urucC惯性环节实例(a)运算放大器构成的惯性环节R1CS+1R1/R2G(s)=–(b)RC电路构成的惯性环节1

RCS

+1G(s)=2．惯性环节r(t)RCc(t)2-2控制系统的复数域数学模型惯性环节的微分方程:

+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—比例常数—时间系数式中KT拉氏变换：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=惯性环节方框图R(S)C(S)1+TsK单位阶跃信号作用下的响应:R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反变换得:c(t)=K′

(1–e)tT-2-2控制系统的复数域数学模型单位阶跃响应曲线特点:输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化.r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.6322-2控制系统的复数域数学模型积分环节实例(a)由运算放大器构成的积分环节-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–(b)电机构成的积分环节+-UdMθSKG(s)=2-2控制系统的复数域数学模型3．积分环节R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)

=r(t)dc(t)dtT微分方程：—积分时间常数传递函数：拉氏变换：积分环节方框图R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S积分环节的单位阶跃响应：2-2控制系统的复数域数学模型单位阶跃响应曲线输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作用和记忆功能.特点:r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T2-2控制系统的复数域数学模型4．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：—微分时间常数微分环节方框图单位阶跃响应函数：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)2-2控制系统的复数域数学模型单位阶跃响应曲线理想脉冲实际中是不可能实现的，实际的物理装置中常用近似理想微分环节。r(t)t0c(t)c(t)r(t)2-2控制系统的复数域数学模型G(s)=-RCs(a)近似理想微分环节实例-Δ∞++RucCur运算放大器构成的微分环节+-uc+-CRur(b)RC电路构成的微分环节RCsRCS+1

G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts2-2控制系统的复数域数学模型实用微分环节的单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线

C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-特点:输出量反映了输入量的变化率，而不反映输入量本身的大小.r(t)r(t)t0c(t)c(t)12-2控制系统的复数域数学模型采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-Δ∞++由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。

传递函数：单位阶跃响应：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)2-2控制系统的复数域数学模型单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-2控制系统的复数域数学模型5.振荡环节微分方程：

+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—时间常数—阻尼比ζT传递函数：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=

—无阻尼自然振荡频率振荡环节方框图S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)单位阶跃响应：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e2-2控制系统的复数域数学模型单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-2控制系统的复数域数学模型1

ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：（1）弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统

（2）他激直流电动机

（3）RLC电路1

LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=2-2控制系统的复数域数学模型R(s)C(s)G(s)==e

-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs

6．时滞（延时）环节—延时时间数学模型：时滞环节方框图传递函数：时滞环节作近似处理得1+τs1G(s)=eτs1=1+τS+2!2S2+···1τ2-2控制系统的复数域数学模型阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ2-2控制系统的复数域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型典型环节（1）比例环节：（2）积分环节：（3）微分环节：（4）惯性环节：（5）振荡环节：（6）延时环节：（7）一阶微分环节：（8）二阶微分环节：控制系统结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。2-3控制系统的结构图与信号流图将组成控制系统的各个环节的函数方框按信号流向联接起来就可得到系统结构图(方框图)。控制系统中每个环节的功能和信号流向可用函数方框表示：X2(s)=G(s)X1(s)X1(s)X2(s)G(s)2-3控制系统的结构图与信号流图一、建立结构图的一般方法例

设一RC电路如图所示。画出系统的动态结构图。+-uruc+-CiR

RC电路解：初始微分方程组：ur=Ri+ucduci=dtc取拉氏变换：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)即=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1CS用方框表示各变量间关系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1CS根据信号的流向，将各方框依次连接起来，即得系统的结构图。Uc(s)I(s)1CS

由图可见，系统的结构图一般由四种基本符号构成：信号线、比较点、方框和引出点。

2-3控制系统的结构图与信号流图G1(s)H(s)G2(s)R(s)N(s)C(s)+_典型反馈控制系统方框图1）信号线：带单向箭头，表示信号流向2）引出点：信号从引出点分开，大小和性质相同3）比较点：两个或两个以上的信号相加减4）方框：对信号进行数学变换，方框中写入环节的传递函数2-3控制系统的结构图与信号流图绘制结构图的一般步骤为:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各方框连接起来。2-3控制系统的结构图与信号流图例：试绘制如图所示无源网络的结构图uc(t)ur(t)R1R2Cii1i2Ur(s)R1R2Uc(s)I(s)I1(s)I2(s)Cs—1解：1）化为复阻抗形式2-3控制系统的结构图与信号流图2）根据基尔霍夫定律写出下列方程3）根据上述方程绘制对应元件的方框图R2I(s)Uc(s)I1(s)I(s)I2(s)R1I1(s)Cs—1I2(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)I1(s)R1—R1—1I1(s)2-3控制系统的结构图与信号流图4）根据信号传递关系用信号线连接各方框图R2I(s)Uc(s)I1(s)R1I1(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)—R1—1R2I(s)Uc(s)I1(s)I(s)I2(s)R1I1(s)Cs—1I2(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)I1(s)R1—R1—1I1(s)2-3控制系统的结构图与信号流图列方程组例

绘制双T网络的框图2-3控制系统的结构图与信号流图

绘图：

ur(s)为输入，画在最左边。2-3控制系统的结构图与信号流图uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？列方程：2-3控制系统的结构图与信号流图

可见选择不同的中间变量，结构框图也不一样，但是整个系统的输入输出关系并不改变的。2-3控制系统的结构图与信号流图二、结构图的等效变换和简化系统的结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的结构图进行化简可求出传递函数。1．结构图的等效变换等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。变换原则：变换前后变量关系保持等效2-3控制系统的结构图与信号流图（1）串联两个环节串联的变换如图：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n个环节的串联

G

(s)=∏

Gi

(s)

n

i=12-3控制系统的结构图与信号流图R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=（2）并联两个环节的并联等效变换如图：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)等效n个环节的并联

G

(s)=Σ

Gi

(s)

n

i=12-3控制系统的结构图与信号流图++G2(s)R(s)C(s)G1(s)

E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±

G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反馈连接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)环节的反馈连接等效变换：根据框图得：则另：得：等效R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)2-3控制系统的结构图与信号流图G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±2-3控制系统的结构图与信号流图用Ф(s)表示闭环传递函数:R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=Ф(s)=称

为开环传递函数；称

为前向通路传递函数；称

单位反馈，即有：称

为开环传递函数；称

为前向通路传递函数；称

单位反馈，即有：（4）比较点和引出点的移动1)

比较点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换：

b比较点之间交换：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa2-3控制系统的结构图与信号流图2）比较点相对方框的移动F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±2-3控制系统的结构图与信号流图

3)引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)2-3控制系统的结构图与信号流图78序号原结构图等效原结构图等效法则

1串联等效

2并联等效

3反馈等效2-3控制系统的结构图与信号流图79

4等效单位反馈5比较点前移6比较点后移7引出点前移

80

8引出点后移9交换和合并比较点10交换比较点和引出点（一般不采用)11负号在支路上移动

例：试简化如图所示系统的结构图，并求出系统传递函数C(s)/R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)解：1）将支路H2(s)的引出点后移G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)1/G4(s)2-3控制系统的结构图与信号流图2）简化上图虚线框内的各环节G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)1/G4(s)G1(s)G2(s)H1(s)

R(s)C(s)H2(s)/G4(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)2-3控制系统的结构图与信号流图3）简化上图虚线框内的各环节G1(s)G2(s)H1(s)

R(s)C(s)H2(s)/G4(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)G1(s)H1(s)

R(s)C(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)2-3控制系统的结构图与信号流图4）最后简化得系统的传递函数为G1(s)H1(s)

R(s)C(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)+G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)=2-3控制系统的结构图与信号流图先移动引出点和比较点，消除交叉连接，再进行等效变换，最后求得系统的传递函数。G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移动aG2(s)+_G2(s)H(s)例

简化系统的结构图，求传递函数。解：G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交换比较点a求得系统的传递函数:R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)等效变换后系统的结构图：2-3控制系统的结构图与信号流图例

求RC串联网络的传递函数。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2

RC串联网络动态结构图解：错！C2S1R1注意：比较点与引出点的位置不作交换！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系统传递函数：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=2-3控制系统的结构图与信号流图框图简化的一般方法：移动引出点或比较点；进行方框运算；将串联、并联、反馈连接的框图合并。2-3控制系统的结构图与信号流图88注意对比较点和引出点进行移动位置，消除交叉回路。在移动中一定要注意以下几点：①必须保持移动前后信号的等效性；②相邻比较点可以互相换位和合并；③相邻引出点可以互相换位；④比较点和引出点之间一般不宜交换位置。

2-3控制系统的结构图与信号流图89例：试化简下述系统结构图，求传递函数C(s)/R(s)显然化简该结构图需要移动比较点和引出点，需要注意得是，引出点和比较点之间是不宜随便移动的。因此我们将比较点前移，将引出点后移。2-3控制系统的结构图与信号流图90将两个比较点合并，并将求出的等效传递函数：得到图为得到系统等效传递函数：2-3控制系统的结构图与信号流图三、控制系统的信号流图：y2=ay11、定义一组线性代数方程式变量间传递关系的图形表示，由节点、支路和支路增益组成。y1y2ax1x2x3x4x5x61abcdefg1典型的信号流图2-3控制系统的结构图与信号流图x1x2x3x4x5x61abcdefg1每个节点所标志的变量等于所有流入该节点的信号的代数和2-3控制系统的结构图与信号流图2、关于信号流图的一些术语：x1x2x3x4x5x61abcdefg11）输入节点（源节点）2）输出节点（阱节点）3）混合节点4）前向通路:5）回路:6）不接触回路:2-3控制系统的结构图与信号流图信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。起点和终点在同一个节点，而且信号通过任一节点不多于一次的闭合通路。3、信号流图的绘制：1）由系统微分方程绘制信号流图步骤：含有积分或微分的线性方程经过拉普拉氏变换变成复频域的代数方程，然后绘制信号流图。2）由系统结构图绘制信号流图2-3控制系统的结构图与信号流图2-3控制系统的结构图与信号流图例：画出如图所示无源网络系统的信号流图，设电容初始电压为u1(0)。解：a）由基尔霍夫定律写出下列微分方程uc(t)ur(t)R1R2Cii1i2u1(t)b）求拉氏变换，得：c）根据上述方程画出对应的信号流图：UrUcI11–1R11UcIR2I2U1u1(0)sC-CII1I211I1U1R12-3控制系统的结构图与信号流图d）沿信号流向将各信号流图连接得系统的信号流图：UrUcI11–1R11UcIR2I2U1u1(0)sC-CII1I211I1U1R1UrI11–1R11UcIR21R1I2U1u1(0)sC-C12-3控制系统的结构图与信号流图R(s)C(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)2-3控制系统的结构图与信号流图例：由系统结构图绘制信号流图。X2X1X3X4X6X5X7X9X8ΣLiΣLiLj

ΣLiLj

LzΔ=1––++···4．梅逊公式梅逊公式：—特征式△—各回路增益之和。—两两互不相接触回路增益之乘积的和。—所有三个互不相接触回路增益之乘积和。Φ(s)=Σnk=1Pk

ΔkΔΣLiΣLiLj

ΣLiLj

LzΣLiΣLiLj

ΣLiLj

Lz2-3控制系统的结构图与信号流图△k

—将△中与第k条前向通道相接触的回路所在项去掉之后的剩余部分，称为余子式。Pk—第k条前向通路总增益。例：求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)。RG1(s)1-H(s)CG2(s)G4(s)1G3(s)ee1e2解：1321=D=D=D

)()()()(1

221++=D\sHsGsHsG接触且前向通路和所有回路个单独回路互相接触，2-3控制系统的结构图与信号流图2-3控制系统的结构图与信号流图R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H12-3控制系统的结构图与信号流图G4(s)G3(s)例

系统的动态结构图如图所示，求闭环传递函数。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系统有5个回路，各回路的传递函数为L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj

=0ΣLiLj

Lz

=0Δ

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1将△、Pk

、△k代入梅逊公式得传递函数：G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2=2-3控制系统的结构图与信号流图L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例

求系统的闭环传递函数。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–

G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–

G3H1G1G2

(1–

G3H1)=2-3控制系统的结构图与信号流图L5=G1(s)G2(s)L4=G1(s)G2(s)L3=G1(s)G2(s)L2=–G2(s)L1=–G1(s)例求系统传递函数。___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++解:(1)用梅逊公式L1___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L2___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L3___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L4___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L5Δ3=1Δ4=1P4=–G1(s)G2(s)P3=-G1(s)G2(s)P2=G2(s)P1=G1(s)Δ1=1Δ2=1系统的传递函数R(s)C(s)1+G1(s)

+

G2(s)–

3G1(s)G2(s)G1(s)+G2(s)–

2G1(s)G2(s)=2-3控制系统的结构图与信号流图（2）用等效变换法系统动态结构图变换为：_R(S)C(S)_++_++G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)1+G1(s)+G2(s)–3G1(s)G2(s)G1(s)+G2(s)–2G1(s)G2(s)=2-3控制系统的结构图与信号流图四、闭环系统的传递函数(一)系统的开环传递函数(二)系统的闭环传递函数研究控制系统的性能，主要的传递函数为：(三)系统的误差传递函数2-3控制系统的结构图与信号流图_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+N(s)（一）系统的开环传递函数闭环控制系统的典型结构：开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值E(s)B(s)

Gk(s)=E(s)B(s)

=G1(s)G2(s)H

(s)=G

(s)H

(s)

2-3控制系统的结构图与信号流图（二）系统的闭环传递函数1