142　充要条件高一上学期数学学案（自主预习题型研析当堂温习分层练习）（人教2019A版专用）

充要条件（人教2019A版专用）目录目录【自主预习】 2【题型研析】 2【题型一】充要条件的判断与探求 2【题型二】充要条件的证明 5【题型三】充要条件的应用 9【当堂温习】 11【分层练习】 14考试要求：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.素养要求：针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.自主自主预习一、逆命题的概念将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.二、充要条件命题真假若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题推出关系p⇔q条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件三、条件关系判定的常用结论：条件p与结论q的关系结论p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件q⇒p，且pqp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件题型研析题型研析【题型一】充要条件的判断与探求一、单选题1．（2425高二上·上海·开学考试）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2324高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（2324高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（

）A．集合与集合是同一个集合B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件C．对于任何两个集合A，B，恒成立D．，，则4．（2324高一上·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（

）A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件三、填空题5．（2425高一上·上海·随堂练习）实数，满足“”是“”的条件．6．（2425高一·上海·课堂例题）生活中，我们还常用“水滴石穿”“有志者，事竟成”“坚持就是胜利”等语句来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些语句里，“石穿”“事成”“胜利”分别是“水滴”“有志”“坚持”的条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步.参考答案：1．A【分析】利用充分、必要条件的概念计算即可.【详解】由可以得出，满足充分性，而可得，不满足必要性，即A正确.故选：A2．B【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B3．ABD【分析】根据集合、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，集合，集合，所以两个集合不是同一个集合，所以命题是假命题.B选项，当“为空集”时，可能，此时都不是空集，所以命题是假命题.C选项，根据交集和并集的定义可知，恒成立，命题是真命题.D选项，由于集合的元素不相同，所以两个集合不相等，所以命题是假命题.故选：ABD4．AB【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】依题，四个命题的关系图可化为：.则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确；，甲是丙的充分不必要条件，B正确；若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件，C错误；，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误.故选：AB5．充分不必要【分析】根据两个方程的解集作判断即可.【详解】由，得此时，充分性成立；由，得或，此时不一定成立，必要性不成立.故答案为：充分不必要.6．必要非充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.【详解】由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”,如“石穿”可能推出“化学腐蚀”；由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利”如“水滴”可以推出“石穿”；综上所述,“石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚持”必要非充分条件.故答案为:必要非充分.解题策略：判定条件关系：(1)分清楚条件是什么，结论是什么；(2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(或举反例)；(3)下结论.探求充要条件的两种方法：(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的.(2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，从必要性和充分性两方面说明.【题型二】充要条件的证明一、解答题1．（2324高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？(1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形；(2)：与全等，：与的周长相等；(3)：x是2的倍数，：x是6的倍数；(4)：集合，，，：集合；(5)：，：．2．（2324高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件.3．（2425高一上·全国·课后作业）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．4．（2425高一上·全国·课后作业）若集合，．证明：集合与不可能相等．5．（2324高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）.6．（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是．参考答案：1．(1)是的必要不充分条件；(2)是的充分不必要条件；(3)是的必要不充分条件；(4)是的充要条件；(5)是的必要不充分条件.【分析】（1）举出菱形则正向无法推出，根据正方形性质可知反向可以推出，则得到与的关系；（2）根据全等的定义则得到正向可以推出，反向无法推出，则得到与的关系；（3）根据数的性质即可判断出与的关系；（4）根据集合之间的关系和充要条件的判断即可得到答案；（5）根据交集含义即可判断出与的关系.【详解】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形；反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件；（2）若与全等，则与的周长相等，反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等；故是的充分不必要条件；（3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如；反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件；（4）若，则，又由，则，同理可得：，则有；反之，若，一定有，，故是的充要条件；（5）当且时，有，但与不一定相等，反之，若，一定有，故是的必要不充分条件.2．证明见解析【分析】利用充分必要条件的判断方法，结合初中几何知识即可得证.【详解】①先证明充分性：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：四边形ABCD的对角线互相平分；证明：设AC与BD交于点，如图示：四边形ABCD是平行四边形，，且，，，，四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证；②再证必要性：已知：四边形ABCD的对角线互相平分，求证：四边形ABCD是平行四边形；证明：由已知可得，且，，，，且，，四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证；综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件.3．证明见解析【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性.【详解】证明：充分性：因为，所以，代入方程，得，即．所以方程有一个根为1．必要性：因为方程有一个根为1，所以满足方程，所以，即．故关于的方程有一个根为1的充要条件是．4．证明见解析【分析】利用反证法，这两集合相等当且仅当两个端点相等，列出方程组导出矛盾即可得证.【详解】假设集合，则且，即且，这不可能．故假设不成立，即集合与不可能相等．5．证明见解析【分析】根据充分性与必要性定义证明即可.【详解】先证明充分性：由，得，整理得，，所以，即是等边三角形.然后证明必要性：由是等边三角形，则，所以.综上所述，是是等边三角形的充要条件.6．证明见解析【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解.【详解】证明：充分性：当时，多项式可化为，即，所以，则，所以，即，为等边三角形，即充分性成立；必要性：由为等边三角形，且，所以，则，，所以，即必要性成立．故为等边三角形的充要条件是．解题策略：一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.【题型三】充要条件的应用一、单选题1．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2223高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（

）A．已知集合，全集，若，则实数的集合为B．“”是“”的必要不充分条件C．命题，成立的充要条件是D．“”是“”的充分必要条件4．（2324高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2425高一上·全国·课后作业）已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是．6．（2223高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是．参考答案：1．D【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以.故选：D.2．A【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A3．BD【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可；对B，根据充分必要条件的定义来判断即可；对C，问题转化为求在区间有解即可；对D，由化简即可判断.【详解】对A，，若，则，当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确；对B，“”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为，，故C不正确；对D，，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确.故选：BD4．AB【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则.故选：AB5．【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可【详解】因为p是q的必要而不充分条件，所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，即或，故或故答案为：或6．3【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值.【详解】由得，故，因为“”是“”的充要条件，所以，解得，所以实数m的取值是3.故答案为：3.解题策略：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.当堂当堂温习一、单选题1．（2324高一上·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2324高一上·广东佛山·阶段练习）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．4．（2223高一上·广东深圳·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（

）A． B． C．1 D．4三、填空题5．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的条件.6．（2223高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为.参考答案：1．D【分析】根据充分必要条件的定义一一判断求解.【详解】对A，由，取，则，由，取，则，所以是的既不充分也不必要条件，A错误；对B，由取，则，由，取，则，所以是的既不充分也不必要条件，B错误；对C，由，取，则，由，取，则，所以是的既不充分也不必要条件，C错误；对D，因为，所以，即，当时，取，则，所以是“”的一个充分不必要条件，D正确；故选:D.2．C【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围.【详解】因为是的充分不必要条件，所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”，所以，可得.故选：C.3．BD【分析】先化简不等式，进而根据集合间的关系求解.【详解】由可得，设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集，则BD选项符合．故选：BD．4．ACD【分析】根据题意，可得或，再结合选项，即可得答案.【详解】解：因为“或”是“”的必要不充分条件，所以或所以或，即或.故选：ACD.5．充要【分析】判断“”和“”之间的推出关系，即可得答案.【详解】当时，可得，当时，也可得出，故“”是“”的充要条件，故答案为：充要6．【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】解不等式得，因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，所以，.故答案为：.分层分层练习【基础篇】一、单选题1．（2324高一上·北京·期中）“”是的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．（2324高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2324高一上·上海·期末）的一个充要条件是（

）A． B．C．， D．，4．（2425高一·上海·课堂例题）设有非空集合A、B、C，若“”的充要条件是“且”，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件二、多选题5．（2223高一下·四川达州·期中）“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（

）A． B． C． D．6．（2223高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件C．“且”是“”的充要条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（

）A． B． C． D．三、填空题8．（2425高一上·上海·课后作业）若集合，，则“”是“”的条件．9．（2324高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是．10．（2324高一上·江苏·课前预习）四种条件关系：（1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的条件.（2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的条件.（3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的条件.（4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的条件.四、解答题11．（2324高一下·湖南衡阳·阶段练习）设集合．(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．12．（2324高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合.(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.参考答案：1．D【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可.【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立；当时，满足，但不满足，故必要性不成立；所以“”是的既不充分又不必要条件，故选：D.2．D【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案.【详解】，由于是的充要条件，，所以，解得，故整数.故选：D3．A【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意；由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件；选项C和D都为的既不充分也不必要条件.故选：A.4．B【分析】根据集合关系，利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】解：若“”的充要条件是“且”，则，则，不一定，但，一定得到，则“”是“”的必要非充分条件．故选：B．5．CD【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.【详解】若关于的不等式对恒成立，当时，不等式为，满足题意；时，则必有且解得，故的范围为，故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，考查选项知满足条件.故选：6．ABD【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假.【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件；由可得或，所以“”是“”的不必要条件.综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确；对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确；对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误；对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.故选：ABD7．CD【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即，对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，.故选：CD.8．充分不必要【分析】利用集合的性质证明充分性，举反例否定必要性即可.【详解】由题意得，故充分性成立，易得当时，满足，但不满足，故必要性不成立.故答案为：充分不必要9．【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限，则满足，解得，即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是.故答案为：.10．充分不必要必要不充分充分必要既不充分也不必要.【解析】略11．(1)或(2)或【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.【详解】（1）当时，可得，故可得或，而，所以或（2）由“”是“”的充分不必要条件可得；当时，，解得，符合题意；当时，需满足，且和中的等号不能同时取得，解得；综上可得，m的取值范围为或.12．(1)(2)【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可；（2）利用集合间的基本关系计算即可.【详解】（1）∵是的必要不充分条件，∴是A的真子集.①当时，，②当时，∴，解得.∴实数的取值范围为.（2）由，则①当时，，②当时，可得或，解得或.∴实数的取值范围为.【能力篇】一、单选题1．（2324高一上·新疆喀什·期末）“”是“等式”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件二、多选题2．（2324高一上·广东深圳·阶段练习）下列叙述中正确的是（

）A．“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“有实数解”的充要条件D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件三、填空题3．（2324高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合，，存在实数使得“”是“”的条件.四、解答题4．（2425高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件．(1)，；(2)是直角三角形，是等腰三角形；(3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形；(4)或，；(5)，：方程有实数根．参考答案：1．A【分析】由题意，解得或，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为，即，解得或，所以能推出，不能推出，所以“”是“等式”的充分不必要条件，故选：A.2．ABD【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合选项即可求解.【详解】对于选项A，当时，不是反比例函数，当是反比例函数时，，所以“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于选项B，“”时，，当时，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于选项C，“有实数解，等价于，故“”是“有实数解”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，“方程有一个正根和一个负根”等价于，解得，所以，“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项D正确.故选：ABD.3．②，③【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意；②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意；③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得；当，需满足，，，解集为；综上所述，实数的取值范围.故答案为：②，③.4．(1)必要非充分条件(2)既非充分又非必要条件(3)必要非充分条件(4)充要条件(5)充分非必要条件【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可.（2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可.（3）利用矩形的性质判断即可.（4）解根式方程证明即可.（5）利用一元二次方程的判别式判断即可.【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件．（2）∵是直角