112　子集和补集　教学设计-2024-2025学年高一上学期数学

教案标题：子集与补集【教学目标】1．通过实例理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．通过实例理解补集的含义，能求给定子集的补集；3．能使用Venn图表达集合的包含关系与求补集的运算，体会图形对理解抽象概念的作用．【教学重点】子集和补集的概念【教学难点】子集和补集的概念及其表示【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【核心素养】数学抽象，数学运算．【教学过程】一、创设情境，引入课题为了丰富学生的课余生活，某学校开设了多个社团，其中最受学生欢迎的是话剧社，刚刚入学的高一新生中有42名同学申请加入。经过筛选，最终有20人成功加入了话剧社。问题1在这段材料中，涉及到哪些集合？预设：所有申请加入话剧社的学生组成的集合，所有成功加入话剧社的学生组成的集合，所有申请加入却未成功加入话剧社的学生组成的集合，该学校开设的所有社团组成的集合等。问题2如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．那么集合与集合有什么关系？预设：集合的每一个元素都属于集合，预设：集合比集合更大总结：集合之间不能直接比大小，要用更严格的语言去描述“集合中每一个元素都是集合中的元素”，在数学中有相应的概念．问题3如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．所有申请加入话剧社但没有成功加入的学生组成的集合记为集合。（注意这里的记法与问题2中不同），那么集合，集合与集合之间有什么关系？预设：集合与集合都是集合的子集，预设：集合的每一个元素都不属于集合，集合的每一个元素都不属于 预设：集合与集合没有公共元素，预设：集合可分为集合和集合两部分，总结：同学们对于集合，集合与集合之间的关系的描述都是正确的，无论在数学中还是在生活中都有很多类似的关系，我们要用更严格的语言去描述“集合与集合都是集合的子集，则集合中的任一元素，或者；或者，二者中有且仅有一个成立”，这在数学中也有相应的概念．二、归纳探索，形成概念（一）子集回顾问题2如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．那么集合与集合有什么关系？再看另外两个例子，观察下列各组集合，考虑两个集合间的关系：（1），；（2），．问题4这三个例子有什么共同的特点？预设：这三个例子都满足：集合的每个元素都是集合的元素。我们抽象出如下的定义：如果集合的每个元素都是集合的元素，就说包含于或者说包含，记作（或），读作包含于（或者说包含）．若包含于则称是的一个子集。并且规定：空集包含于任一集合，是任一集合的子集．包含关系可以分为如下两类：（1）如果并且，就说两个集合相等，记作，（2）如果，但，就说是的真子集，记作，我们还经常采取这样的方式直观地描述集合是集合的真子集，这类表示集合间关系的示意图叫做韦恩图。（二）补集回顾问题3如果我们把所有成功加入话剧社的学生组成的集合记为集合A，所有申请加入话剧社的学生组成的集合记为集合．所有申请加入话剧社但没有成功加入的学生组成的集合记为集合。（注意这里的记法与问题2中不同），那么集合，集合与集合之间有什么关系？再看两个例子，观察下列各组集合，考虑两个集合间的关系：（1），，．（2），，．问题5这三个例子有什么共同的特点？预设：集合与集合都是集合的子集，集合可分为集合和集合两部分。总结：每一个例子中，所讨论的对象都是集合的元素和子集，集合的元素可以，可以按照属于集合与不属于分为两类。这几个例子中，集合都是由中所有不属于的元素组成的集合。数学中有如下定义：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合的元素和子集，就可以约定把集合叫作全集（或基本集）若是全集的子集，中不属于的元素组成的子集叫作的补集，记作，即．当可以由上下文确知时，的补集也可以记作．补集也可以用维恩图来表示：三、巩固概念，适当延展（一）例题研讨例1请判断：在下列各组中，集合是不是集合的子集？（1），；（2），；（3），；（4），．首先回忆子集的定义，然后请四名同学作出判断，在（2）、（3）、（4）小题中，都满足集合是集合的子集。追问，集合是不是集合的子集？第（2）、（3）小题中，集合真包含于集合，集合是集合的真子集，追问，集合与集合的是否相等？第（4）小题中，集合与集合相等．例2请你写出数集N、Z、Q、R之间的包含关系．请学生首先回忆一下，这些字母分别代表什么集合？N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．从而，我们可以直接写出答案：NZQR．请学生画出相应的韦恩图：例3设，请写出的所有子集．先请学生自己思考，半分钟后请学生举手回答．提示学生有序思考问题．解：按照子集中元素的个数分类（1）不含有任何元素的子集：；（2）只含有1个元素的子集：，，；（3）只含有2个元素的子集：，，；（4）含有3个元素的子集：追问：共有多少个子集？预设：8个拓展：集合共有多少个子集？（留作课下探究的问题）例4设，，，求和．首先回忆补集的概念，然后请同学分析这几个集合分别由哪些元素组成，将集合，，分别用列举法写出，然后得出结论．解：，，，因此，，．练习把区间看成全集，写出它的下列子集的补集：；；；．本题中的全集由区间形式给出，而A、B、C、D四个集合的形式不统一，。本题可以借助数轴来解决。我们可以先将A、B、C、D四个集合表示出来，然后根据补集的定义来直接写出答案：，，，．追问，这里把区间看成全集，，，能否推广，得到一个关于补集的性质？预设：，（二）拓展内容介绍一些关于子集与补集的相关结论，根据时间选择一部分进行解释（可借助韦恩图）或证明．1．子集的相关结论对于集合，，，有（1）；（2）；（3）若，则；（4）传递性：若，，则； 若，，则．2．补集的相关结论若，都是集合的子集，则有（1）；（2）；（3）；（4）若，则．四、归纳小结，提高