初中数学教案分式与分式运算

授课教师肖君学生姓名夏瑞林上课时间

学科数学年级八年级课时计划第______次

提交时间学管师汤玲教学主管

分式的概念及基本性质

一、同步知识梳理

1.分式的概念

A

形如会/,8是整式，且8中含有字母，8#0)的式子叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式

的分母。

2.与分式有关的“三个条件”

A

(1)分式会无意义的条件是8=0；

A

(2)分式不有意义的条件是8#0；

(3)分式施为零的条件是Z=0且BW0.

二、同步题型分析

题型一：考查分式的定义

例1指出下列各式中，哪些是分式？

f43c212a2a1

2x--l,—,—+-b.

2x-l(5b+c'73a32

题型二：考查分式有意义的条件

2

例2(1)当x______时，分式47r43-1有意义；当x______时，分式」3+x一有意义.

3x+22x—3

(2)下列各式中，无论x取何，分式都有意义的是()

x3x+lJ

A.-----B.-----CD2

2x+\2x+l-v2,2X+1

题型三：考查分式的值为0的条件

例3当m为何值时，分式的值为0?

,、m-2⑶*

(1)-----(2)-----

m+3m+1

三、课堂达标检测

1.梯形的面积为S,上底长为m,下底长为“，则梯形的高写成分式为.

2.下列各式」一，-(x+y),止",-3x2,0回中，是分式的有___________________；是整式的

x+l5a-b

有_____________________

一时，分式上办无意义；当产____________时，分式49r3-4-1无意义.

3.当产_________

1—2x3x-4

x2-9x2—1

4.当X=__________时，分式已~-的值为零；当k____________时，分式=-----^的值为零.

x-3x~+x-2

.八j4x+3的值为1；当x____________时，分式一一的值为负数.

5.当产_时，分式-----

x-6X+1

3x+yc1④一一(此处兀为常数)中，是分式的有(

6.下列各式①一，)

X52-aK-2

A.①®B.③④C.D.①②®®

7.分式-----中，当x=-a时，下列结论正确的是()

2x-l

A.分式的值为零B.分式无意义

C.若aw—L时，分式的值为零

D.若时，分式的值为零

22

8.下列各式中，可能取值为零的是()

m2+1m2-1m+lm2+\

A.B.C.D.

m2-1m+1m2-1m+l

9.使分式无意义，。的取值是（）

a2-l

A.0B.1C.—1D.±1

10.已知.'2,x取哪些值时：

-3-4x

（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义.

1、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

2、分式的约分

（1）约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

（2）分式约分的依据：分式的基本性质.

（3）分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.

（4）最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.

3、分式的通分

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分数的通分。

※分数通分的方法及步骤：

答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公

分母做分母的分数。

分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。

4、最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幕的积作公分母，它叫做最简公分母。

※找最简公分母的步骤：

（1）系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的因式

（2）取分母中各个公因式的最高次基作为最简公分母的因式

（3）如果分母是多项式，则应先把分母分解因式，然后再判断最简公分母。

派回顾分解因式找公因式的步骤：

（1）找系数：找各项系数的最大公约数;

（2）找字母：找相同字母的最低次塞;

题型一：分式基本性质简单应用

例1填空

(1)二L-U-；⑵笑神；⑶至=，±；⑷工-/白

a+carisen\2a"b()1+3r+3x[^x+y)\)

题型二：利用分式基本性质进行系数改变

11

-x------y

例2不改变分式的值，使分式彳一甲一的各项系数化为整数，则分子、分母应同时乘以()

-X+—V

39

A.10B.9C.45D.90

题型三：化简求值题

【例3】已知：,+'=3,求2X』，+2)’的值.

Xyx+2xy+y

【例4】己知：x-l=2,求/+」的值.

XJ

【例5】若|x-y+l|+(2x-3)2=0,求击的直

题型四：约分

22

皿c,、x+6x+9m-3m+2

例6(1)——------(2)

A--9ITT-m

题型五：通分

/、。—16

例7(1)-4—：（2）--------------

6ab29a~bca，+2。+1a2-I

三、课堂达标检测

1.不改变分式的值，使分式分子的首项与分式本身都不含“一”号:

T⑵

2a-b

04x+2

2.不改变分式的值，把分式中分子、分母各项系数化成整数为.

0.5x-l

ahc

3.分式的最简公分母是

/—4。+44。“-8。+43ci—6

4.下列各式中，正确的是()

-x+yx-y-x-vy-X-yr+yj+y-x+y_x-y

A.---------=——-B.cD.

-x-yx+yx-yx-y-x-yx-yx-yx+y

5.下列各式中，正确的是)

a+maa+bah—\h-1

A.--------=-B.----------二0C.D.

b+mba+bac-\c-19-y2x+y

6.约分:

6m2n⑶8(E

(1)⑵^4；⑷・一w—

3mn2-32xyz5x-yx2+5x-14

7.通分：

(1)^和—3~~彳—;(2)----和——；(3)----y'和------;(4)----和-----

2ab'5crb~cIxy3厂2ab~8bc2y-1y+1

2a2-2a-3

8.己知4=*,则—丝上的值等于多少？

3a2-la+l2

\x

9.己知x+—=3,求一［——s—的值•

XX+x~+1

课后作业

一、选择题

1.分式手，有意义的条件是（）

X+y

A.x#0B.产0

C.xWO或产0D.xWO且产0

2.若分式.+1）6二〜的值是零,则x的值是（）

（x+l）（x+2）

A.——1B.——1或2

C.2D.一一2

3.若分式Jx—i3的值为负数，则X的取值范围是（）

x

A.x>3B.x<3

C.xV3且xWOD.x>——3且xWO

4.根据分式的基本性质，分式二L可变形为（）

a-b

-a-ba+ba-ba+b

5.下列各式中，正确的是（）

；r+y_x+y.

A.B..C

T-yx+y，x-yx-y，T-yx-y，x-yx+y

6.下列各式中，正确的是（）

a+maa+b八八ab-1b-1x-y_1

AA.-----=一D.

------=0C.=~22~

b-\-mba+b-------------ac-1c-l龙一yx+y

二、填空题

r什2.ci~-2a—3

7.右a=一,则f---------的值等于

3cr-la+\2

a2+ab

8.计算

x—22x-3工的最简公分母为

9.公式

a—ly(1-x)3x—1

—19

10.」X■==一，则？处应填上一，其中条件是

X+1X—1

三、解答题

11.（学科综合题）已知a2-4a+9b2+6b+5=0,求的值.

ab

12.（巧解题）已知X2+3X+1=0,求X2+!的值.

x

1r-

13.（妙法求解题）已知x+±=3,求一的值.

x%4+%2+1

分式的运算

一、同步知识梳理

1、分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.用字母表示为:

acac

—x—二——

bdbd

2、分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：

ac_ad_ad

—：—=—x—=—

hdhche

目上上,」

aga__aa"

3、分式的乘方法则：分式乘方是把分子分母各自乘方.用公式表示为：一1一（n

是正整数）

二、同步题型分析

题型一分式的乘法

x+2x2—6x+9

例1计算：（1）3\•（-1一）;

4z-yx—3x~-4-

题型二分式的除法

2

z、、m/、a2b_2axz、a-2a-4

例2计算：（1）—4-——;（2）----------------------

3cd6cd。+3ci~+6cl+9

题型三：分式的乘方运算

，、2

（3c）

题型四：分式的乘方、乘除混合运算

x+21x—3

例4计算:

x2-6x+93-xx+2

例5计算：3孙2+（一土）3.（UZ）2.

XX

三、课堂达标检测

22

1.计算（上）2・0匚）3+（-上）4得

yxx

A.x5B.xsyC.y5D.xys

2

计算上+上的结果是

2.（-2）（）

yxx

x2Xx2

A.一yB.------C.一D.—

yyy

3。、/a2b

3.计算12a22.（_方）+（_《_）x的值等于

A.-9。B.9ac.—36。D.36。

、、f2x2y5m2n二5xym

4.计算：二工•5.计算：（六）2+（一

3mrr4xy23〃6x~4x

4f—91116-m2m-4m2-4

6.计算:------------;----------•---------7.计算:-------------------y------------•----------

2x—14x—22x—316+8m+m2m+8m+2

8.课堂上，吴老师给大家出了这样一道题：求当x等于（1）7-272；（2）9+26时，请分别计算代数

r2_2r+12x-2

式23三三的值•小明一看，''太复杂了，怎么算呢？"你能帮小明解决这个问题吗？请你

x2-lx+]

写出具体过程.

2

5光+6y,-X+3x+2、2

10.先化简，再求值:其中x=—2.

12-7x+x2x2-2x+8

一、同步知识梳理

1、分式加减法法则

（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分

aca±c

——土一二------

（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变.分子相加减.用字母表示为：b~bb

（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分.变为同分母的分式后再加减.用字母表示

为：

a,cad,bead±bc

一土—=—±—=---------

bdbdbdbd

二、同步题型分析

题型一简单分式的加减

例1计算:

⑴二」31z、2aa+b

;(2)----------1-----------(3)----+----

3x3x2ab4。~b-aa-b

题型二复杂的分式的加减

12222V2

例2计算：（1）-4^-+-^-+-^；（2）X-J+-2-.

m~-93-mm+3y+x

题型三分式的混合运算

例3计算：（1一一1!一）十上3」-a-.

a-22a—4

z.,22,x+y、、x-y

例4计算：［r---------（------x-y）］+------.

3xx+y3xx

题型四分式的化简求值

例5已知》=3—后，求代数式（_^——广」—）十七2的值.

x-3xx-6x+9x

三、课堂达标检测

arrn—m

1.直接写出结果：(1)a^b--=_________；(2)m一一.

hm-nn

3-x

2.计算:

2x-4

.ab.1

3.计算:(----+-----)+-----

a-bb-aa+b

八1、a

4.计算:(1+---)+-------=

a-l2a—2

X-1|

5.计算三」+0一上）的结果为()

XX

1

D.----

x2-Ix-1x+1

6.计算（1+工）+（1一,）的结果为

)

aa

i*12

Cl—1Q+1Cl

2—九

7•计算:+|X+1-

x—\

2Q+2.3

8.计算:

ci-\+8Q-92。+18

x+2x-l)X

9.计算:

x2—2xX2-4X+44-X

io.求f一（1+土^匕）的值,其中。=-5+而,6=3-711

a2b-ab22ab

O22

―,,3.［、./aci、/aci.>»/+

11.已知a=-、b=-2，求(------------------+(----------z------7)+1的伯•

4a-b-2ab+b~a+bcr-b〜

一、同步知识梳理

一、整数指数幕的应用

1.整数指数募的运算性质：

（1）=。"""（m,n是正整数）；

⑵（""）"=优""（m,n是正整数）；

（3）（。份"=优优（n是正整数）；

二、分式运算的应用

1.分式的化简、求值

先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形

使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧

妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.

2.分式的证明

证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附

加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.

二、同步题型分析

题型一整数指数幕的运算

例1计算：(—0.25)7+(—0.25)°.

2

例2计算：（q）、（0.上产

xxy-x

例3用科学记数法表示下列各数：（1）0.000002=:（2）0.0000108=,

-4

例4计算：(1)(SxlO-^xCSxlO)；(2)(6X10-3)2+(6X1()T)2.

题型二分式的化简、求值与证明

丫一［7X1

例1先化简代数式（二」+）+-T—1然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值.

x+1X—1X-1

2x-3xy+2y...

例2已知一+—=5,求--------------的值±.

xyx+2xy+y

2

X

例3（广东竞赛）己知X求的值.

x?-3x+1X4-9X2+\

1

例4-，、一abc,,/土

4-求------------的值.

ab+ac+be

.〃c+ba+c求(a+〃)(c+〃)(a+c)的伯

例5

ahabc

abc

例6已知abc=l,求证：---------+---------+---------=1

Q〃+Q+1bc+b+TQC+C+1

课后作业

一、填空（

I%!-]丫2_Q

1若分式口一的值为零，则X的值等于________,若分式一~二值为零，则*=

x—Ix—4-x+3

当乂=w,分式无意义

2函数v=立亘的自变量x的取值范围是，(x+x1)-1=

x-\

na-b()3孙()

□------------------------------------

ab2a2bx2-2xx—2

4已知x2-3x+l=0,贝1」工2+」=,x--=

XX

211cniii2b~3ab—2。.［犬+y—z

5若--------=2,贝lj----------------------=____________已知x:y:z=3:4:6W0,贝lj-------------

aba+ab—bx-y+z

7若代数式立有意义，则x的取值范围是___________

x+2x+4

*分式二?五可三节的最简公分母是

1X2

9若X+—=3,则分式1―--的值是_________

XX+X+1

二、选择（

1计算±1+1一_1]的结果是（）

aIa）

11

A-------B1C-------D-1

a+1ci—1

2已知a、b为实数，且ab=l,设M=一3一+―2-,N=」一+」一则M、N的关系是（）

a+16+1o+lZ?+1

AM>N,BM=NCM<ND不确定

3一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成，则甲、乙两人合作完成需要（）

A（―+-）小时B小时c―L•小时D小时

ahaha+ba+b

4把分式匕』中的x、y都扩大2倍，那么分式的值

孙

A扩大2倍B扩大4倍C缩小一半D不变

54+'-+-!-等于()

x2x3x

13「115

AA—B—C—D—

2x2x6x6x

\a\-a

6若a<0,则-----=()