2019高三数学文北师大版一轮教师用书第8章第7节双曲线

第七节双曲线[考纲]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第125页)[基础知识填充]1．双曲线的定义 (1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线，两焦点之间的距离叫作 其中a，c为常数且a＞0，c＞0. (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝ 其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时， ②当2a＝|F1F2|时， ③当2a>|F1F2|时，2．双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形条件2a＜2c，c2＝a2＋b2，a＞0，b＞0，范围x≥a或x≤－a且y∈Ry≥a或y≤－a且x∈R对称性对称轴坐标轴、对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x实轴、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；a叫做双曲线的实半轴长．线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；b叫做双曲线的虚半轴长．焦距|F1F2|＝2c(c2＝a2＋b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)，e越接近于＋∞时，双曲线开口越大；e越接近于1时，双曲线开口越小3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).[知识拓展]1．巧设双曲线方程 (1)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0) (2)等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0) (3)过已知两个点的双曲线方程可设为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)2．焦点三角形的面积 双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sinθ＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·b2.3．离心率与渐近线的斜率的关系 e2＝1＋eq\f(b2,a2)，其中eq\f(b,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(a,b)))是渐近线的斜率．4．过焦点垂直于实轴的弦长 过焦点垂直于实轴的半弦长为eq\f(b2,a).[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．() (2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．() (3)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.() (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝() A．2 B．eq\f(\r(6),2) C．eq\f(\r(5),2) D．1 D[依题意，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq\r(a2＋3)＝2a，则a2＝1，a＝1.]3．(2017·福州质检)若双曲线E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于() A．11 B．9 C．5 D．3 B[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF24．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为() A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2) D[因为F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，所以F(2,0)． 因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)． 因为P是C上一点，所以4－eq\f(y\o\al(2,P),3)＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1， 所以S△APF＝eq\f(1,2)×|PF|×1＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2). 故选D．]5．(2016·北京高考改编)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq\r(5)，0)，则双曲线的方程为__________.【导学号：00090297】 x2－eq\f(y2,4)＝1[由于2x＋y＝0是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线， ∴eq\f(b,a)＝2，即b＝2a， ① 又∵双曲线的一个焦点为(eq\r(5)，0)，则c＝eq\r(5)， 由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5， ② 联立①②得a2＝1，b2＝4. ∴所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.](对应学生用书第126页)双曲线的定义及应用(1)(2018·长春模拟)已知双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，则△F1PF2的面积为() A．48 B．24 C．12 D．6 (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.【导学号：00090298】 (1)B(2)x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)[(1)由双曲线的定义可得 |PF1|－|PF2|＝eq\f(1,3)|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|×|PF2|＝24. (2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B，动圆M的半径为r，根据两圆外切的条件得 |MC1|＝1＋r |MC2|＝3＋r 所以|MC2|－|MC1|＝2 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．] [规律方法]1.应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用． 2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立与|PF1|·|PF2[变式训练1](1)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2 A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3) C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3) (2)已知F1，F2为双曲线eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为() A．eq\r(37)＋4 B．eq\r(37)－4 C．eq\r(37)－2eq\r(5) D．eq\r(37)＋2eq\r(5) (1)A(2)C[(1)由e＝eq\f(c,a)＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2A 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A |F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝eq\f(4a2＋2a2－4a2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4). (2)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a 要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值， 当A，P，F1三点共线时，取得最小值， |AP|＋|AF1|＝|PF1|＝eq\r(37)， ∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝eq\r(37)－2eq\r(5).故选C．]双曲线的标准方程(1)(2017·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为() A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1 C．eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1 (2)(2016·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq\r(5)，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为() A．eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1 C．eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D．eq\f(3x2,5)－eq\f(3y2,20)＝1 (1)D(2)A[(1)根据题意画出草图如图所示 eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(不妨设点A在渐近线y＝\f(b,a)x上)). 由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又点A在双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x上， ∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3). 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝eq\r(3)， ∴双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1. 故选D． (2)由焦距为2eq\r(5)得c＝eq\r(5).因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2). 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1， 所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.] [规律方法]1.确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上；“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点位置不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． 2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．[变式训练2](1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为__________.【导学号：00090299】 (2)设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________． (1)eq\f(x2,4)－y2＝1(2)eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1[(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，eq\r(3))，∴λ＝16－4×(eq\r(3))2＝4， ∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1. (2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8. 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3. 故曲线C2的标准方程为eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1，即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.]双曲线的简单几何性质(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，则E的离心率为() A．eq\r(2) B．eq\f(3,2) C．eq\r(3) D．2 (2)(2017·石家庄调研)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为__________． (1)A(2)x±y＝0[(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝eq\f(b2,a). 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)得 tan∠MF2F1＝eq\f(\r(2),4). 所以eq\f(|MF1|,2c)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(b2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(c2－a2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)， 整理得c2－eq\f(\r(2),2)ac－a2＝0，两边同除以a2得e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0. 解得e＝eq\r(2)(负值舍去)． (2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))). 因为A1B⊥A2C，所以eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝B． 因此该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即x±y＝0.] [规律方法]1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件． 2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a))).抓住双曲线中“六点”“四线”“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．[变式训练3](1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则