四年级数学上册 2.线与角 （含详解）（北师大版）

北师大版小学四年级数学上册期末复习专题讲义线与角【知识点归纳】一．角的概念及其分类1、角的基本概念：从静态角度认识角：由一个点出发的两条射线组成的图形叫角；从动态角度认识角：一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置，则这两条射线组成的图象叫角．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．（1）因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关．（2）角的大小可以度量，可以比较．（3）根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，如∠1，∠α，∠BAD等．2、角的分类：根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．平角：180°的角，当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角．即射线OA绕点O旋转，当终边在始边OA的反向延长线上时所成的角；直角：90°的角，即线OA绕点O旋转，当终边与始边垂直时所成的角，平角的一半叫做直角；锐角：大于0°小于90°的角，小于直角的角叫做锐角；钝角：大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角．周角：360°的角，即射线OA绕点O旋转，当终边与始边重合时所成的角．【典例分析】例1：在可以放大4倍的放大镜中看50°的角，你看到的角的度数是（）A、50°

B、100°

C、200°分析：放大镜只能改变物体的大小，而不能改变物体的形状，改变不了夹角的大小，由此判断．解：放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的．如方的东西再怎么放大也是方的，圆的东西再怎么放大也是圆的，50°的角在放大镜下，只有边延长，而表示形状的角度大小是不变的，还是50°．故选：A．点评：解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变物体的大小．例2：钟面上，6点15分时分针和时针所夹的角是（）A、直角

B、锐角

C、钝角

D、平角分析：当时针指到六点整的时候，时针和分针所夹的角是180°，当分针指到15分时，分针在3上，如时针在6上，则为直角，时针在6和7之间，夹角大于90°且小于180°，可知此角的类别．解：钟面上，6点15分时分针和时针所夹的角，大于90°且小于180°，则此夹角是钝角．故选：C．点评：此题主要考查角的概念及分类．二．角的画法1．画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合．2．在量角器刻度线的地方点一个点．3．以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线．4．画完后在角上标上符号，写出度数．【典例分析】例：画一个66°的角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，然后在量角器66°刻度线的地方点一个点，从射线的端点出发，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是66°的角．分析：画一个66°的角时，先画一条射线，用量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器66度的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可．解：画一个66°的角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，然后在量角器66°刻度线的地方点一个点，从射线的端点出发，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是66°的角．故答案为：射线、0刻度线、点、射线．点评：本题考查了学生运用量角器作角的方法的灵活应用．三．直线、线段和射线的认识1．概念：直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示．

线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示．

射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示．

注意：（1）线和射线无长度，线段有长度．

（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．

2．直线、射线、线段区别：直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；

线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度．【典例分析】例1：下列说法不正确的是（）A、射线是直线的一部分

B、线段是直线的一部分

C、直线是无限延长的

D、直线的长度大于射线的长度分析：根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而进行判断即可．解：A，射线是直线的一部分，A说法正确；B，线段是直线的一部分，B说法正确；C，直线是无限延长的，C说法正确；D，射线和直线无法度量长度，因此D说法错误．故选：D．点评：此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．例2：下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（）A、（1）B、（2）C、（3）D、（4）分析：根据：直线是无限长的，可以向两端无限延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；线段不能无限延伸；据此特点，将图中能延长的线延长，看是否能相交即可．解答：（1）是两条直线，可以无限延伸，延伸之后会相交；（2）一条射线，向D端延长，另一条是直线，能无限延伸，但是不会相交；（3）一条射线，只能向D端无限延伸，另外是一条线段，延长射线后不会相交；（4）两条都是线段，不能延伸，所以不会相交；所以四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（1）．故选：A．点评：此题主要考查直线、射线和线段的特征．四．垂直与平行的特征及性质1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．

2．垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．

3．垂直的判定：垂线的定义．

4．平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．5．平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行．（2）垂直于同一条直线的两直线平行．（3）平行线的定义．【典例分析】例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（）A、平行

B、互相垂直

C、互相平行

D、相交分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；故选：C．点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．例2：不相交的两条直线叫平行线．×．（判断对错）分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．故答案为：×．点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．五．角的度量1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．

角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．3．度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．

量角器的0刻度线和角的一条边对齐．

做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．

看刻度要分清内外圈．【典例分析】例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（）A、50°

B、500°

C、100°分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．故选：A．点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（）A、1：30和2：30

B、3：30和8：30

C、9：00和3：00

D、10：30和1：30分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5=135度，2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5=105度；符合题意；B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30=75度，8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°=75度；C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3=90度，3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3=90度；D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5=135度，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5=135度；所以夹角不同的是A．故选：A．点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．六．画指定度数的角三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．【典例分析】例1：画一个120°的角．分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．解：根据角的画法，作图如下：点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．例2：用一副三角板画一个105°的角．分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，45°+60°=105°；．点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．七．用三角尺画30°，45°，60°，90°角1、30°和60°可以通过30°直角三角形得到．2、45°通过等腰直角三角形可以得到．3、90°的角两个直角三角形尺都可以得到．【典例分析】例：用一副三角板可以画出的角是（）A、160°

B、40°

C、120°分析：先明确一副三角板的六个角共有四个度数，30°，45°，60°，90°．然后进行加减运算，找到符合条件的角．解：利用一副三角板可以画出的角有：30°，45°，60°，90°；30°+45°=75°，30°+90°=120°，45°+60°=105°，45°+90°=135°，60°+90°=150°，30°+45°+90°=165°；45°-30°=15°，一共可以画出11个角．所以符合题意的选项是C．故选：C．点评：此题结合生活实际，既考查了对角的认识，又考查了同学们的完全归纳能力，是一道好题．不要漏角，也不能重复计算．同步测试一．选择题（共10小题）1．用一个3倍的放大镜看一个30°的角，看到的角是（）A．15° B．30° C．90°2．下面说法正确的是（）A．大于90°的角叫做钝角 B．周角是一条射线，只有一条边 C．钟面上2时整，分针和时针成锐角3．如图中，有（）条射线．A．1 B．2 C．34．一条直线和一条射线相比，（）A．直线比射线长 B．直线比射线短 C．直线和射线不能比较长短5．直线外一点到直线L的所有线段中，最短的是（）A．平行线 B．线段 C．垂线段6．量角器上的∠l所表示的角是（）A．60° B．50° C．120° D．150°7．下面第（）幅图可以画出75°角．A． B． C．8．下列不能用三角板画出的角是（）A．45° B．70° C．135°9．下面图形中，（）表示射线MN．A． B． C． D．10．判定一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，至少要量（）A．1个角 B．2个角 C．3个角二．填空题（共10小题）11．一副三角尺中角的度数有、、、．12．130°的角比平角少°；和周角相差°．13．钟面上，3时整，时针与分针组成角；12时，时针与分针组成角．14．经过两点A、B能画条直线．15．如图中，有条直线，条射线，个钝角．16．下面组的两条直线互相平行，组的两条直线互相垂直．17．18时整，时针和分针组成的角是度，是一个角．18．钟面上，当分针走了1分钟的时候，秒针转动的度数是．19．度量角的大小通常用量角器．它是把半圆平均分成份，每份是度．20．量角时，量角器的要和角的重合，刻度线与角的一条边．三．判断题（共5小题）21．角的两条边无限延长，角的大小不变．（判断对错）22．在同一平面内有三条直线a、b、c，已知a与b互相平行、b与c互相平行，则a∥c．（判断对错）23．线段有两个端点，直线没有端点．（判断对错）24．小于等于90°的角叫锐角．（判断对错）25．用三角板或量角器都能测量角的大小．（判断对错）四．计算题（共1小题）26．脱口秀180°﹣25°﹣75°＝180°﹣（37°+63°）＝90°﹣37°＝80°+36°+64°＝178°﹣（78°+54°）＝180°﹣85°＝五．操作题（共3小题）27．用量角器画角．85°、110°、60°．28．在点子图上任意画出一组平行线．29．按要求画．（1）画出直线AC．（2）画出线段CB．（3）画出射线AB．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】因为角的大小和边的长短无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关，据此即可解答．【解答】解：由分析可知，用一个3倍放大镜看一个30°的角，所看到的角仍是一个30度的角；故选：B．【点评】解答此题的关键是明白：影响角的度数大小的因素只有两条边叉开的角度大小一个．2．【分析】根据钝角、周角、锐角的概念对各个选项进行分析，找出正确的选项即可．【解答】解：A：大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角；本选项只说了大于90度，所以说法错误；B：周角是当终边与始边重合时所成的角，而不是一条射线，只有一条边；本选项错误．C：2时整时，分针指向12，时针指向2，中间有2个大格，每个大格之间的夹角是30度，所以2个大格之间的度数是：30°×2＝60°，再根据锐角的含义：小于90°的角是锐角；本选项说法正确．故选：C．【点评】此题注意是考查了角的相关概念，应注意平时基础知识的积累，只要认真，容易解答．3．【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可．【解答】解：如图中，有②③⑤是射线，共有3条射线；故选：C．【点评】此题应根据直线、射线和线段的含义进行解答．4．【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可．【解答】解：由直线、射线和线段的含义可知：一条直线和一条射线无法比较长短；故选：C．【点评】此题应根据直线、射线和线段的含义进行解答．5．【分析】根据点到直线的距离的含义：从直线外的一点向这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短．【解答】解：根据分析可得：直线外一点到直线L的所有线段中，最短的是垂线段；故选：C．【点评】此题考查了点到直线的距离的含义．6．【分析】度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．量角器的0刻度线和角的一条边对齐．做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．看刻度要分清内外圈．【解答】解：∠1的一条边和量角器右边0刻度线对齐，是指的内圈的0刻度，另一条边指向内圈的150，所以是一个150度的角．故选：D．【点评】此题主要考查正确读出角的度数的能力，关键是看清楚角的一边对齐的是量角器的内刻度还是外刻度．7．【分析】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、90°，用它们进行拼组，看是否能得出75度即可．【解答】解：75°可以用45°与30°角画出，B项正确．故选：B．【点评】解决本题的关键是正确记忆三角板上各个角的度数．8．【分析】一副三角板中包含的角的度数有30°、45°、60°、90°，如果把它们相加或相减，还可以得到的度数有：45°﹣30°＝15°，45°+30°＝75°，45°+60°＝105°，60°+60°＝120°，45°+90°＝135°，60°+90°＝150°，30°+45°+90°＝165°，…，把这些度数按照从小到大的顺序排列起来为：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°…，可以发现：这些角度都是15的倍数，因此一副三角板可以画出的角的度数都是15°的倍数，如果不是15°的倍数，则不能用三角板画出，据此可得答案．【解答】解：由分析可知，不是15°的倍数的度数，就不能用一副三角板画出，四个选项中，只有70°不是15°的倍数，因此不能用一副三角板画出70°的角．故选：B．【点评】本题考查了角的拼组，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的倍数这一规律，能迅速而准确的解决这类题目．9．【分析】根据射线的特点：射线一个端点，无限长，进行解答即可．【解答】解：根据射线的特点可得：A、是线段，不符合题意；B、不符合射线的定义，C、表示射线NM，不符合题意；D、表示射线MN，符合题意；故选：D．【点评】此题应根据射线的特点进行解答．10．【分析】根据三角形的分类可知，量出三角形最大的角的度数即可判定一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．【解答】解：可以量出三角形最大的角的度数作出判断，故至少要量1个角，故选：A．【点评】考查了三角形的分类，三角形中只要得到最大的角的度数即可判定一个三角形．二．填空题（共10小题）11．【分析】在一副三角尺中，角的度数分别是30°，45°，60°，90°，据此解答．【解答】解：一副三角尺中角的度数有30°、45°、60°、90°．故答案为：30°；45°；60°；90°．【点评】题考查了学生对一副三角尺中角的度数的掌握情况．12．【分析】根据平角、周角的含义平角：等于180°的角；周角：等于360°的角；由此可知：130°的角比平角少50°；和周角相差230°．【解答】解：130°的角比平角少50°；和周角相差230°；故答案为：50，230．【点评】解答此题应结合题意，并结合钝角、锐角、直角、平角、周角的含义进行解答．13．【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°，解答此题根据某个时刻分针与时针的夹角，则看夹了多少个时刻度数，从而可以求解．【解答】解：3时整时，时针指着3，分针指着12，之间有3个大格是30°×3＝90°，所以3时整时针和分针成直角；12时整，时针指着12，分针指着12，之间有12个大格是360°，所以12时整时针和分针成周角；故答案为：直，周．【点评】在学习角的时候，渗透了钟表的认识，解答此题的关键是看钟面上12个时刻将钟面分成了12份，每份是30度，再看要求的是什么时刻，用时刻数乘30度即可．14．【分析】根据直线的性质：过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线；据此解答即可．【解答】解：由直线的性质可知：经过两点能画1条直线；故答案为：1．【点评】本题考查了直线的性质，属于基本的题型，要求对这些基本的知识点有非常好的把握．15．【分析】根据线段、射线和直线的特点：线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点；大于90°小于180°的角叫做钝角；进行解答即可．【解答】解：图中，有3条直线，12条射线，4个钝角．故答案为：3，12，4．【点评】本题考查了直线、射线、线段的定义，在线段、射线的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．16．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直，那么其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的互相垂直；由此求解．【解答】解：第②、④，这2组中两条直线互相平行；第③、⑤这两组的2条直线互相垂直．故答案为：②、④，③、⑤．【点评】解决本题关键是熟练掌握平行和垂直的定义．17．【分析】钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，所以18时整，分针与时针相差6个整大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×6＝180°，180°的角是平角．据此解答．【解答】解：钟面上18时整，时针指向6，分针指向12，中间有6个大格，时针和分针组成的角是30°×6＝180°角，是平角．故答案为：180，平．【点评】解决本题关键是明确指针的位置，计算出夹角的度数，进而根据平角的含义解答．18．【分析】依据钟面的特点可知，分针走了1分钟，则秒针旋转1圈，即为360°，据此即可进行解答．【解答】解：钟面上，当分针走了1分钟的时候，秒针转动的度数是360°；故答案为：360°．【点评】此题主要考查钟面特点以及角的度量．19．【分析】度量角的大小通常用量角器．量角器又叫半圆仪，它是把一个半圆平均分成180份，每份表示1度．【解答】解：度量角的大小通常用量角器．它是把半圆平均分成180份，每份是1度．故答案为：180，1．【点评】此题是考查量角器的认识，属于基础知识，要记住．20．【分析】用量角器量角时，把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数．【解答】解：量角时，量角器的中心要和角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合．故答案为：中心，顶点，0，重合．【点评】用量角器度量角的大小，量角器的正确、熟练使用是关键．三．判断题（共5小题）21．【分析】角的两条边是射线，可以向一端无限延伸，所以角的大小和边的长短没关系．【解答】解：角的大小和边长无关，所以角的两条边无限延长，角的大小不变．所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查角的定义，注意：角的大小和边长无关．22．【分析】据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，在同一平面内与一条直线互相平行的两条直线互相平行；据此解答．【解答】解：在同一平面内有三条直线a、b、c，已知a与b互相平行、b与c互相平行，则a∥c．原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题考查了垂直于平行的特征及性质，应注意基础知识的积累．23．【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答