第25讲 人教版新八年级开学考试卷（测试范围：实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式组、统计、三角形、三角形全等）（教师版）

人教版新八年级开学考试卷测试范围：实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式组、统计、三角形、三角形全等一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列实数中，是无理数的是（）A． B． C． D．【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；B、属于无理数，故此选项符合题意；C、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）关于x，y的二元一次方程3x﹣2y＝5的解有（）A． B． C． D．【分析】二元一次方程的解有无限多个，能够使二元一次方程两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解．【解答】解：将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝5，左边＝右边，所以是该方程的解．将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝6，左边≠右边，所以不是该方程的解．将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝2，左边≠右边，所以不是该方程的解．将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝﹣25，左边≠右边，所以不是该方程的解．故选：A．【点评】本题关键是掌握二元一次方程的解的定义．3．（3分）下面统计调查中，适合采用全面调查的是（）A．调查市场上某种食品防腐剂是否符合国家标准 B．调查某城市初中生每周“诵读经典”的时间 C．对某品牌手机的防水性能的调查 D．疫情期间对国外入境人员的核酸检测【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A、调查市场上某种食品防腐剂是否符合国家标准，适合抽样调查，故本选项不合题意；B、调查某城市初中生每周“诵读经典”的时间，适合抽样调查，故本选项不合题意；C、对某品牌手机的防水性能的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；D、疫情期间对国外入境人员的核酸检测，适合全面调查，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．（3分）点P（﹣5，2）是第几象限内的点（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点P的横坐标小于0纵坐标大于0，再根据各象限内，点的坐标特征进行判断即可．【解答】解：∴点P的横坐标小于0纵坐标大于0，∴点P一定在第二象限．∴点P（﹣5，2）在第二象限，故选：B．【点评】此本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号特点．5．（3分）下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，ac2＞bc2【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、当a＞b＞0时，＜，原说法错误，故此选项不符合题意；B、当a＞0，b＜0，a＜|b|时，a2＜b2，原说法错误，故此选项不符合题意；C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，原说法正确，故此选项符合题意；D、当c＝0时，虽然a＞b，但是ac2＝bc2，原说法错误，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．（3分）要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这100名考生是总体的一个样本 B．每位考生的数学成绩是个体 C．1000名考生是总体 D．100名考生是样本的容量【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、这100名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不合题意；B、每位考生的数学成绩是个体，故本选项符合题意；C、1000名考生的数学成绩是总体，故本选项不合题意；D、样本的容量是100，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是确定总体、个体和样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”．7．（3分）如图，下列说法不正确的是（）A．直线m与直线n相交于点D B．点A在直线n上 C．DA+DB＜CA+CB D．直线m上共有两点【分析】根据三角形的三边关系、结合图形判断即可．【解答】解：A、直线m与直线n相交于点D，本选项说法正确，不符合题意；B、点A在直线n上，本选项说法正确，不符合题意；C、在△ABC中，AB＜CA+CB，∴DA+DB＜CA+CB，本选项说法正确，不符合题意；D、直线m上有无数个点，本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（）A．36° B．46° C．54° D．64°【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，故选：A．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．9．（3分）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】先根据全等三角形的判定定理画出图形，再得出选项即可．【解答】解：如图所示：能与△DEF全等（△DEF除外）的三角形有△ABC，△AGB，△HEF，共3个，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．10．（3分）如图，所给出图形中的x的值等于（）A．45 B．55 C．65 D．75【分析】依据四边形内角和为360°，即可得到x的值．【解答】解：由题可得，2x°+140°+90°＝360°，解得x＝65，故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和，关键是利用四边形内角和为360°列方程求解．11．（3分）数学课上，小明用尺规在黑板上作∠AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“♡、☺、☆、⊕”代表的内容错误的是（）已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使♡；（2）分别以点D，E为圆心、以☺为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由☆；（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由⊕．A．♡表示“OD＝OE” B．☺表示“大于DE的长” C．☆表示“SAS” D．⊕表示“全等三角形的对应角相等”【分析】根据作已知角的平分线的步骤判断即可．【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使OE＝OD，（2）分别以点D，E为圆心、以大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由SSS；（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由全等三角形的对应角相等．故选：C．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的作法等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．12．（3分）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对（a，b）表示，如z＝1+2i表示Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（）A．Z（2，0） B．Z（﹣1，2） C．Z（2，1） D．Z（2，﹣1）【分析】根据题中的新定义解答即可．【解答】解：由题意，得z＝2﹣i可表示为Z（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）线段AB两端点的坐标分别为A（2，4）、B（5，2），若将线段AB平移，使得点A的对应点为C（3，﹣2），则平移后点B的对应点的坐标为（6，﹣4）．【分析】各对应点之间的关系是横坐标减2，纵坐标减4，那么让点A的横坐标减2，纵坐标减4即为平移后点A的对应点的坐标．【解答】解：∵A（2，4），点A的对应点为点C（3，﹣2）．∴变化规律是坐标加1，纵坐标减6，∵B（5，2），∴平移后点B的对应点的坐标为（6，﹣4），故答案为（6，﹣4）．【点评】考查坐标与图形变化﹣平移；得到一对对应点的变换规律是解决本题的关键．14．（3分）如果mn＜0，且m＞0，那么点P（m，n）在第四象限．【分析】根据mn＜0，且m＞0，可以判断出n＜0，再结合各象限内点的坐标符号即可判断．【解答】解：∵mn＜0，且m＞0，∴n＜0，∴P（m，n）在第四象限，故答案为：四．【点评】此题主要考查了点的坐标，解题关键是根据已知条件判断出点P纵坐标的符号．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，且DC＝15，则点D到AB的距离DE的长为15．【分析】根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解．【解答】解：∵ED⊥AB，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，∴DE＝CD，∵CD＝15，∴DE＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．（3分）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是28cm．【分析】如图，过点C作CD⊥OB于点D，构造全等三角形△AOB≌△BDC（AAS），由全等三角形的对应边相等得到OB＝CD．【解答】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，∵∠O＝∠ABC＝∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2（同角的余角相等）．在△AOB与△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS）．∴OB＝CD＝28cm．故答案是：28．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．17．（3分）不等式组的最小整数解为﹣3．【分析】先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．【解答】解：，解①得x≤2，解②得x＞﹣4，不等式组的解集为﹣4＜x≤2，不等式组的最小整数解为﹣3，故答案为﹣3．【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．（3分）若满足方程组的x，y的值都不大于1，则a的取值范围是﹣3≤a≤1．【分析】解方程组得出，结合x，y的值都不大于1知，继而分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解方程组得，∵x，y的值都不大于1，∴，解得﹣3≤a≤1，故答案为：﹣3≤a≤1．【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（6分）计算：（1）（﹣）×（﹣24）；（2）．【分析】（1）直接利用乘法分配律计算得出答案；（2）直接利用二次根式的性质和立方根的性质、乘方分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）；＝18﹣20+21＝19；（2）原式＝﹣4+2﹣3＝﹣5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．（6分）解不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式4x﹣3＞1，得：x＞1，解不等式3（x+1）＜x+9，得：x＜3，则不等式组的解集为1＜x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（10分）如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD和A′D′分别是边BC和B′C′上的中线，且AD＝A′D′．求证：∠C＝∠C′．【分析】依据BD＝B'D'，AB＝A'B'，AD＝A'D'，即可判定△ABD≌△A'B'D'，再根据∠B＝∠B'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，可判定△ABC≌△A'B'C'，由全等三角形的性质可得出结论．【解答】证明：∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC＝B'C'，∴BD＝B'D'，在△ABD和△A'B'D'中，，∴△ABD≌△A'B'D'（SSS），∴∠B＝∠B'，在△ABC和△A'B'C'中，，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），∴∠C＝∠C′．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键．22．（10分）某校学生会调查了七年级部分学生对“垃圾分类”的了解程度．（1）在确定调查方式时，学生会设计了以下三种方案，其中最具有代表性的方案是方案③；方案①：调查七年级部分男生；方案②：调查七年级部分女生；方案③：到年级每个班去随机调查一定数量的学生；（2）学生会采用最具有代表性的方案进行调查后，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图1、图2），请你根据图中信息，回答下列问题：①本次调查学生人数共有120名；②补全图1中的条形统计图，图2中“了解一点”的圆心角度数为216°；③根据本次调查估计该校八年级500名学生中，比较了解“垃圾分类”的学生大约有多少名．【分析】（1）根据选择“样本”的代表性，普遍性、可操作性做出选择；（2）①从两个统计图中可以得到“不了解”的人数为12人，占调查人数的10%，可求出调查人数；②先求出“了解一点”所占的百分比，再求出所在的圆心角的度数；③样本估计总体，样本中“比较了解”的所占的比为，该校八年级学生总数乘以即可求解．【解答】解：（1）根据选择“样本”的广泛性、代表性和可操作性可得，最具有代表性的方案是方案③，故答案为：方案③；（2）①1本次调查学生人数共12÷10%＝120（名），故答案为：120；②（120﹣12﹣36）÷120＝72÷120＝60%，360°×60%＝216°，故答案为：216°；③500×＝150（名），答：比较了解“垃圾分类”的学生大约有150名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解统计图中各个数据之间的关系，是解决问题的关键，两个统计图联系起来寻找数据之间关系是常用的方法．23．（10分）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？【分析】（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，根据“改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，根据该公司自筹的改造资金不超过320万元且国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出改造方案的数量．【解答】解：（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，依题意，得：，解得：．答：改造一条A类生产线需要资金50万元，改造一条B类生产线需要资金75万元．（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，依题意，得：，解得：2≤m≤4．∵m为正整数，∴m＝2，3，4．答：共有3种改造方案．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．24．（12分）在平面直角坐标系中，点M的坐标为（4﹣2a，a﹣2），将点M向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到点N，且点N位于第三象限．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，求出M，N两点的坐标．【分析】（1）构建不等式组求解即可；（2）求出整数a的值，可得结论．【解答】解：（1）由题意N（7﹣2a，a﹣5），∵点N在第三象限，∴，∴3.5＜a＜5；（2）∵3.5＜a＜5，a是整数，∴a＝4，∴M（﹣4，2），N（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会根据不等式组解决问题．25．（12分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，0），C（0，c），且|a+b|+（c﹣b）2＝0，△ABC的面积为16，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连接PA，PB．（1）直线写出A、B、C三点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，D为AC上的动点（不与A、C两点重合）问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？并求出此时点D的坐标．（3）如图2，若PA＞AB，以PA为边作等边△APQ，使△APQ与△ABP位于AP的同侧，直线BQ与y轴、直线PA交于点E、F，请找出线段PE、EQ、OE之间的数量关系（等量关系），请说明理由．【分析】（1）由非负性判断出a＝c＝﹣b，进而得出OA＝OB＝OC，再由△ABC的面积求出OA＝OB＝OC＝4，即可得出结果；（2）构造全等三角形得出DM＝DN，进而得出OM＝ON＝2，用BM＝PN建立方程即可得出结果；（3）先判断出∠AQG＝∠APO，得出AE＝AG，∠PAE＝∠QAG，进而判断出△AEG是等边三角形，得出EG＝2OE，即可得出结论．【解答】解：（1）∵|a+b|+（c﹣b）2＝0，∴a+b＝0，c﹣a＝0，∴a＝c＝﹣b，∴|a|＝|b|＝|c|，∴OA＝OB＝OC，∵△ABC的面积为16，∴（OA+OB）•OC＝OA