3.2 勾股定理的逆定理 同步练习

第3章勾股定理3.2勾股定理的逆定理基础过关全练知识点1勾股定理的逆定理1.(2023江苏连云港期末)△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数为()①∠A=∠B-∠C； ②a2=(b+c)(b-c)；③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5； ④a∶b∶c=5∶12∶13.A.1 B.2 C.3 D.42.如图，在△ABC中，AB=BC=CA=4cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为ts，当t=时，△BPQ是直角三角形.3.【数形结合思想】△ABC中，已知AB=9cm，BC=17cm，AC=10cm(1)判断△ABC是不是直角三角形；(2)求△ABC的面积.知识点2勾股数4.观察下列几组有规律的勾股数，并填空：①610；②817；③1026；④1237，则第⑤组勾股数为.

能力提升全练5.(2021湖南常德中考)阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m=a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是()A.②④ B.①②④ C.①② D.①④6.(2023江苏苏州相城月考)如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10.AD为△ABC的角平分线，CD的长度为()A.2 B.52 C.3 D.7.(2022湖北黄冈、孝感、咸宁中考)勾股定理最早出现在我国古代著作《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五.”观察下列勾股数：35；513；725；……，这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：610；817；……，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是(用含m的式子表示).

8.(2023江苏苏州昆山期中)如图，在△ABC中，直线EF、MN分别为线段AB、AC的垂直平分线，交BC于点F、N，若BF=4，FN=3，CN=5，则S△ABC=.

9.(2023江苏连云港期末)如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，DE⊥AB，DE=7，△ABE的面积为35.(1)求AB的长；(2)求△ACB的面积.素养探究全练10.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系，并证明你的结论；(2)若PB=8，PA=6，PC=10，求∠APB的度数.11.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①，则有a2+b2=c2；当△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2>c2.理由：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x.在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2，∴b2-x2=c2-(a-x)2，∴a2+b2=c2+2ax，∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2，所以小明的猜想是正确的(1)请你猜想，当△ABC中∠C为钝角时，a2+b2与c2的大小关系，不用证明；(2)在图③中，作BC边上的高；(3)证明你猜想的结论. 图① 图② 图③

第3章勾股定理3.2勾股定理的逆定理答案全解全析基础过关全练1.C①由∠A=∠B-∠C可得∠B=90°，∴△ABC是直角三角形；②由a2=(b+c)(b-c)可得a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形；③由∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5可得∠C=75°，∠B=60°，∠A=45°，∴△ABC不是直角三角形；④由a∶b∶c=5∶12∶13可得a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形.故选C.2.答案2或16解析若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ=90°或∠BQP=90°.①当∠BPQ=90°时，Q与A重合，CQ=CA=4cm，此时t=4÷2=2；②当∠BQP=90°时，由题意可得△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BPQ=90°-60°=30°，∴BQ=12BP，即8-2t=12t，解得t=故当t=2或165时，3.解析(1)∵AB2+CA2=92+102=181，BC2=172=289，∴AB2+CA2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形.(2)如图，作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，设AD=xcm，则BD=(x+9)cm，∵∠D=90°，∴CD2=BC2-BD2，又∵CD2=AC2-AD2，∴BC2-BD2=AC2-AD2，∴172-(x+9)2=102-x2，解得x=6，∴AD=6，∴CD2=102-62=64，∴CD=8，∴S△ABC=12AB·CD=12×9×8=36(cm答：△ABC的面积是36cm2.4.答案1450解析根据题目给出的前几组数的规律可知第○n组勾股数中的第一个数是2(n+2)，第二个数是(n+1)·(n+3)，第三个数是(n+2)2+1，故第⑤组勾股数是1450.能力提升全练5.C①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确.②∵13=22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确.③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误.④设m1=a2+b2，m2=c2+d2，则m1·m2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.当ad=bc时，ad-bc=0，∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2=4，4不是广义勾股数，故④结论错误.∴正确的是①②.故选C.6.C如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AB2=100，AC2+BC2=62+82=100，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.∵AD为△ABC的角平分线，∴CD=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6.在Rt△BED中，BD2=DE2+BE2，∴(8-CD)2=CD2+(10-6)2，解得CD=3.故选C.7.答案m2+1解析∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2.∴(2m)2+a2=(a+2)2.解得a=m2-1.∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.故答案为m2+1.8.答案24解析∵直线EF、MN分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AF=BF=4，AN=CN=5.∵FN=3，∴BC=BF+FN+CN=12，AF2+FN2=42+32=52=AN2，∴∠AFN=90°，∴AF⊥BC，∴S△ABC=12BC·AF=19.解析(1)∵△ABE的面积为35，DE=7，DE⊥AB，∴12AB×7=35解得AB=10.(2)在△ABC中，AB2=102=100，BC2+AC2=62+82=100，∵AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∴S△ABC=12AC·BC=1答：△ACB的面积为24.素养探究全练10.解析(1)AP=CQ.证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=CB，∴∠ABP+∠PBC=60°.又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°，∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中，AB=CB,∴△ABP≌△CBQ(SAS)，∴AP=CQ.(2)连接PQ，如图所示.∵△ABP≌△CBQ，∴∠BQC=∠BPA.∵BP=BQ，∠PBQ=60°，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ=PB=8，∠BQP=60°，在△PQC中，PQ=8，CQ=AP=6，PC=10，∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2，∴∠PQC=90°，∴∠BQC=90°+60°=150°，∴∠APB=∠BQC=150°.11.解析(1)当△ABC中∠C为钝角时，a2+b2与c2的大小关系