2.2 命题与证明 同步练习

第2章三角形2.2命题与证明基础过关全练知识点1定义1.下列语句中哪句话是定义()A.连接A、B两点 B.等角的余角相等吗?C.内错角相等，两直线平行 D.整数与分数统称为有理数知识点2命题与互逆命题2.下列语句是命题的是()A.作直线AB的垂线 B.在线段AB上取点CC.垂线段最短吗? D.同旁内角互补3.命题“如果a<0，b<0，那么ab>0”的逆命题是()A.如果a<0，b<0，那么ab<0 B.如果ab>0，那么a<0，b<0C.如果a>0，b>0，那么ab<0 D.如果ab<0，那么a>0，b>04.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.(1)能被2整除的数也能被4整除；(2)两个锐角互余；(3)若xy=0，则x=0；(4)两直线平行，同旁内角互补.5.写出下列命题的逆命题.(1)若a=b，则a3=b3；(2)个位数是0的数能被2整除；(3)如果一个三角形有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角.知识点3真、假命题及证明6.以下命题的逆命题为真命题的是()A.若a=b，则a2=b2 B.同旁内角互补，两直线平行C.直角三角形没有钝角 D.对顶角相等7.下列选项中，可以用来说明命题“若|x|>2，则x>2”是假命题的反例是()A.x=-3 B.x=-2 C.x=3 D.x=28.已知：如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O，∠1=∠B，∠A+∠2=90°.求证：AB∥CD.证明：∵∠1=∠B(已知)，∴CE∥BF(同位角相等，两直线平行)，，∴∠AFC+∠2=90°(等式性质)，∵∠A+∠2=90°(已知)，∴∠AFC=∠A(同角的余角相等)，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).

请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∴∠AOE=90°(垂直的定义)；②∴∠AFB=90°(等量代换)；③∵AF⊥CE(已知)；④∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°(平角的定义)；⑤∴∠AOE=∠AFB(两直线平行，同位角相等).横线处应填写的过程，顺序正确的是()A.⑤③①②④ B.③④①②⑤ C.⑤④③②① D.⑤②④9.真、假命题的思考.一天，老师在黑板上写下了三个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②若a2=b2，则a=b；③若∠α和∠β的两边所在的直线分别平行，则∠α=∠β.小明和小丽的对话如下：小明：“命题①是真命题，好像可以证明.”小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.”(1)结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为命题①是真命题，请证明；如果你认为命题①是假命题，请增加一个适当的条件，使之成为真命题；(2)请在命题②③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请举出反例.知识点4公理与定理10.给出下列语句：(1)经过两点有且只有一条直线；(2)平行于同一条直线的两条直线平行；(3)在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；(4)两点之间，线段最短；(5)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；(6)同位角相等，两直线平行.其中是公理的有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个11.下列定理中，没有逆定理的是()A.两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行B.对顶角相等C.同旁内角互补，两直线平行D.两直线平行，内错角相等知识点5证明与图形有关的命题12.如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A=∠C，③AD∥BC.(1)请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；(2)判断这个命题是不是真命题，并说明理由.13.如图所示，若DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB.[变式1]若把原题设中“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是真命题吗?说明理由.[变式2]若把原题设中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是真命题吗?说明理由.知识点6反证法14.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补(填空).已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截.求证：∠1+∠2=180°.证明：假设∠1+∠2180°.

∵l1∥l2，∴∠1∠3.∵∠1+∠2180°，∴∠3+∠2≠180°，这和矛盾，

∴假设∠1+∠2180°不成立，即∠1+∠2=180°.

能力提升全练15.(2022上海中考)下列说法正确的是()A.命题一定有逆命题 B.所有的定理一定有逆定理C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题16.(2020湖北宜昌中考)能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是() A B C D17.(2022江苏无锡中考)请写出命题“如果a>b，那么b-a<0”的逆命题：.

18.(2023广东中山期中)命题“同角的余角相等”，将该命题改写成“如果……，那么……”的形式为.

素养探究全练19.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形探索这两个角的关系.(1)如图①，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的数量关系是；

证明：(2)如图②，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的数量关系是；

证明：(3)综合上述，我们可以得到一个真命题：.

图①图②

第2章三角形2.2命题与证明答案全解全析基础过关全练1.DA、B、C选项中的语句不是对某一概念的含义加以描述说明或作出明确规定，而D选项中的语句把有理数的含义进行了描述.故选D.2.D选项A和B是作图语言，选项C是问句，都不是命题；只有选项D，对事情作出了判断，是命题.3.B交换原命题的条件与结论即可得到其逆命题.4.解析(1)如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除.(2)如果两个角都是锐角，那么这两个角互余.(3)如果xy=0，那么x=0.(4)如果两直线平行，那么同旁内角互补.5.解析(1)逆命题：若a3=b3，则a=b.(2)逆命题：能被2整除的数的个位数是0.(3)逆命题：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么这个三角形的另一个内角是钝角.6.B“若a=b，则a2=b2”的逆命题为“若a2=b2，则a=b”，此逆命题为假命题，故A选项错误；“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，此逆命题为真命题，故B选项正确；“直角三角形没有钝角”的逆命题为“没有钝角的三角形是直角三角形”，此逆命题为假命题，故C选项错误；“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此逆命题为假命题，故D选项错误.7.A当x=-3时，|x|=3>2，而-3<2，∴“若|x|>2，则x>2”是假命题.故选A.8.A本题先理解题意，理清证明过程，进而正确排序.先证CE∥BF，得∠AOE=∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE=90°，进而得∠AFB=90°，利用平角定义得∠AFC+∠AFB+∠2=180°，进而得出∠AFC+∠2=90°，结合∠A+∠2=90°可以得出∠AFC=∠A，从而证得AB∥CD.横线处填写的序号为⑤③①②④.9.解析(1)命题①是假命题，增加“在同一平面内”这个条件，即可成为真命题.(2)命题②是假命题，反例：当a=1，b=-1时，a2=b2，但a≠b.命题③是假命题，反例：如图，∠α和∠β的两边所在的直线分别平行，但∠α≠∠β.10.B(1)(4)(5)(6)是公理.共4个.11.B相等的角不一定是对顶角.12.解析(1)如果AB∥CD，∠A=∠C，那么AD∥BC.(答案不唯一)(2)这个命题是真命题.理由：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠A=∠C，∴∠B+∠A=180°，∴AD∥BC.13.证明∵DE∥BC，∴∠1=∠2.∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CD∥FG，∵CD⊥AB，∴FG⊥AB.[变式1]解析是真命题.理由：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥FG，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴DE∥BC.[变式2]解析是真命题.理由：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥FG，∴∠2=∠3，∵DE∥BC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3.14.答案≠；=；≠；平角为180°；≠解析反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理导出矛盾，从而得出假设不成立；③由此肯定所证明的命题正确.能力提升全练15.A命题一定有逆命题，但定理不一定有逆定理，且真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题.故选项A说法正确.16.C如图，延长AB到C，∵∠1>90°，∠α+∠β=∠1，∴∠α+∠β>90°，所以“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题.故选C.17.答案如果b-a<0，那么a>b解析该命题的条件为“a>b”，结论为“b-a<0”.交换命题的条件和结论得其逆命题.故答案为如果b-a<0，那么a>b.18.答案如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等解析命题“同角的余角相等”的题设是两个角都是同一个角的余角，结论是这两个角相