2024-2025学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式的实际应用巩固练习含解析新人教A版必修第一册

PAGE第2课时基本不等式的实际应用课后训练巩固提升A组1.当x<0时,y=12x+4x的最大值为(A.-4 B.-8 C.-83 D.-16解析:∵x<0,∴-x>0,∴y=--12x+(-4x)≤答案:C2.函数y=xx+1的最大值为(A.25 B.12 C.22解析:当x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2x>0,则y≤x2x=12,当且仅当x=故函数y=xx+1的最大值为答案:B3.当a>0时,关于代数式2aa2+1,A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值C.有最小值也有最大值 D.无最小值也无最大值解析:∵a>0,∴2aa2+1=2a+1a≤22a·1a=1,当且仅当a=1答案:A4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为()A.3 B.4 C.5 D.6解析:由题意可知,yx=-x+25x+12≤-2x×25x+12,当且仅当x=25x时,等号成立答案:C5.若对x>0,y>0,有(x+2y)2x+1y≥m恒成立,则mA.m≤8 B.m>8 C.m<0 D.m≤4解析:∵(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥4+答案:A6.若函数y=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a=解析:y=x+1x-2=x-2+1∵x>2,∴x-2>0.∴y=x-2+1x-2+2≥2(x当且仅当x-2=1x-2,即x=3时,“=又y在x=a处取最小值,∴a=3.答案:37.已知a>0,b>0,1a+2b=2,则a+2b解析:∵a>0,b>0,1a+∴a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab≥12(5+4)=92,当且仅当2ba=2a答案:98.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上和.

解析:设两数为x,y,即4x+9y=60,1x+1y=1x+1当且仅当4xy=9yx,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时答案:649.(1)求函数y=14x-5+4(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;(3)已知x>0,y>0,且1x+9y=1,解:(1)∵x>54,4x-5>∴y=14x-5+4x=14x-5当且仅当4x-5=14x-5,即x=3∴y的最小值为7.(2)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=12·2x·(a-2x)≤1当且仅当x=a4时取等号,∴y的最大值为a(3)方法一:∵1x+∴x+y=(x+y)1x+9y=∵x>0,y>0,∴yx+9xy≥当且仅当yx=9xy,即y=3又1x+9y=1,∴x=∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.方法二:由1x+9y=1,∵x>0,y>0,∴y>9.x+y=yy-9+y=y+y-9+9y-9=y+9y-9∵y>9,∴y-9>0,∴y-9+9y-9+10≥2(y当且仅当y-9=9y-9,即y=12时又1x+9y=1,∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.10.某房地产开发公司安排在一楼区内建立一个长方形公园ABCD,公园由形态为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|=x(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=2010则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·2010x=80102x+5x(2)80102x+5x+4160≥8010=1600+4160=5760.当且仅当2x=5x,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.B组1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.1ab≤14 B.1a+1b≤1 C.ab≥2解析:4=a+b≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),即ab≤2,ab≤4,故1ab≥14,1a+1b=aa2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.答案:D2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,则实数t的取值范围是()A.t>1 B.t<1 C.t<2 D.t>2解析:由基本不等式,得4xy≤4·x+y22=1,当且仅当x=y=12时,等号成立,所以4xy的最大值为因此实数t的取值范围是t>1.答案:A3.若正数x,y满意x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.245 B.285 C.5 D解析:由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=9故3x+4y的最小值是5.答案:C4.已知正数x,y满意x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1 B.3 C.6 D.12解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=3-∴2x+y=2x+3-x22x=当且仅当3x2=32x,即答案:B5.函数y=x2+2x+2x+1(解析:由题意得,y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1≥2,答案:(0,2)6.设a>1,b>0,若a+b=2,则2a-1+解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0,则2a-1+1b=2a-1+1b[(a-1)+b]=当且仅当2ba-1=a-1b,且a+b=2,即a=3-2,b=答案:3+227.已知正常数a,b和正变数x,y满意a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值是18,求a解:∵x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayx≥a+b+2ab=(a+b)又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.8.某企业打算投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预料销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为32Q+3Q×150%+所以年销售收入为32Q+3Q×150%+xQ×5