2024八年级数学上册第十七章特殊三角形练素养1.等腰三角形中作辅助线的常用方法习题课件新版冀教版

冀教版八年级上第十七章特殊三角形集训课堂练素养1.等腰三角形中作辅助线的常用方法

几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使

隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”

中的“一线”或平行线证线段相等，利用截长补短法证线段

和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关

系等，将不在同一个三角形中的线段转移到同一个三角形

(或两个全等三角形)中，然后运用等腰(或全等)三角形的性

质来解决问题.方法1构造“三线合一”图形1.

如图，在△

ABC

中，

AC

＝2

AB

，

AD

平分∠

BAC

交

BC

于点

D

，

E

是

AD

上一点，且

EA

＝

EC

.

求证：

EB

⊥

AB

.

1234567【证明】如图，过点

E

作

EF

⊥

AC

于点

F

，则∠

AFE

＝90°.∵

EA

＝

EC

，

EF

⊥

AC

，∴

AF

＝

FC

.

∵

AC

＝2

AB

，∴

AF

＋

FC

＝2

AF

＝2

AB

.

∴

AF

＝

AB

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

FAE

.

又∵

AE

＝

AE

，∴△

ABE

≌△

AFE

(SAS).∴∠

ABE

＝∠

AFE

＝90°.∴

EB

⊥

AB

.

1234567方法2作平行线构造等腰三角形2.

[2024·邯郸第二十五中学月考]如图，点

E

在△

ABC

的边

AC

的延长线上，点

D

在

AB

边上，

DE

交

BC

于点

F

，

DF

＝

EF

，

BD

＝

CE

.

求证：△

ABC

是等腰三角形.1234567【证明】如图，过点

D

作

DG

∥

CE

交

BC

于点

G

，则∠

E

＝∠

FDG

.

在△

ECF

和△

DGF

中，

∴△

ECF

≌△

DGF

(ASA).∴

CE

＝

GD

.

1234567又∵

BD

＝

CE

，∴

BD

＝

GD

.

∴∠

B

＝∠

DGB

.

∵

DG

∥

AC

，∴∠

DGB

＝∠

ACB

.

∴∠

B

＝∠

ACB

.

∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等腰三角形.12345673.

[新考法·动点探究法]如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，点

P

从点

B

出发沿线段

BA

移动，同时，已知点

Q

从点

C

出

发沿线段

AC

的延长线移动，点

P

，

Q

移动的速度相同，

PQ

与直线

BC

相交于点

D

.

(1)求证：

PD

＝

QD

；1234567

1234567

(2)过点

P

作直线

BC

的垂线，垂足为

E

.

P

，

Q

在移动的

过程中，线段

DE

是否为长度保持不变的线段？请说明

理由.1234567方法3补形法构造等腰三角形4.

如图，

AD

∥

BC

，

AE

平分∠

BAD

，点

E

是

CD

的中点.

求证：(1)

AB

＝

AD

＋

BC

；1234567

1234567(2)

AE

⊥

BE

.

【证明】由(1)知△

ADE

≌△

FCE

，∴

AE

＝

FE

.

又∵

BA

＝

BF

，∴根据等腰三角形三线合一的性质可知

AE

⊥

BE

.

1234567方法4

倍长中线法构造等腰三角形5.

如图，在△

ABC

中，

AD

为中线，点

E

为

AB

上一点，

AD

，

CE

交于点

F

，且

AE

＝

EF

.

求证：

AB

＝

CF

.

1234567【证明】如图，延长

AD

至点

G

，使

DG

＝

AD

，连接

CG

.

∵

AD

为中线，∴

BD

＝

CD

.

又∵∠

ADB

＝∠

GDC

，

DG

＝

AD

，∴△

ABD

≌△

GCD

(SAS).∴

AB

＝

CG

，∠

G

＝∠

EAF

.

∵

AE

＝

EF

，∴∠

EAF

＝∠

EFA

.

又∵∠

EFA

＝∠

CFG

，∴∠

G

＝∠

GFC

.

∴

CG

＝

CF

.

∴

AB

＝

CF

.

1234567方法5延长(或截取)法构造等腰三角形6.

如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝2∠

B

，

CD

平分∠

ACB

交

AB

于点

D

.

求证：

AC

＋

AD

＝

BC

.

1234567【证明】方法一：如图①，延长

CA

至点

E

，使

EA

＝

AD

，连接

ED

，则∠

E

＝∠

ADE

.

∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ADE

＝2∠

E

.

又∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

E

＝∠

B

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ECD

＝∠

BCD

.

又∵

CD

＝

CD

，∴△

CDE

≌△

CDB

(AAS).∴

CE

＝

CB

.

∵

CE

＝

AC

＋

AE

＝

AC

＋

AD

，∴

AC

＋

AD

＝

BC

.

1234567∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ACE

＝2∠

E

.

又∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

B

＝∠

E

.

∴

BC

＝

EC

，∠

B

＝∠

ACE

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

，方法二：如图②，延长

DA

到点

E

，使

AE

＝

AC

，连接

CE

，则∠

E

＝∠

ACE

.

∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BCD

＝∠

B

＋∠

ACD

.

又∵∠

DCE

＝∠

ACE

＋∠

ACD

＝∠

B

＋∠

ACD

，∴∠

ADC

＝∠

DCE

.

∴

DE

＝

CE

.

∴

AC

＋

AD

＝

AE

＋

AD

＝

DE

＝

CE

＝

BC

.

1234567∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

ECD

.

又∵

CA

＝

CE

，

CD

＝

CD

，∴△

ACD

≌△

ECD

(SAS).∴

AD

＝

DE

，∠

BAC

＝∠

DEC

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∠

DEC

＝∠

B

＋∠

BDE

，∴∠

BDE

＝∠

B

.

∴

DE

＝

BE

.

∴

AC

＋

AD

＝

CE

＋

DE

＝

CE

＋

BE

＝

BC

.

方法三：如图③，在

BC

上截取

CE

＝

CA

.

1234567方法6

截长补短法构造等腰三角形7.

[2024·河南郑州惠济外国语中学月考]【问题初探】(1)如图①，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

.

点

D

在△

ABC

外，连接

AD

，

BD

，

CD

，且∠

BDC

＝∠

BAC

.

过

A

作

AE

⊥

BD

于点

E

，则线段

BE

，

CD

，

DE

之间满足的数量关系是

.BE

＝

CD

＋

DE

1234567∴∠

ABF

＝∠

ACD

.

又∵

AB

＝

AC

，

BF

＝

CD

，∴△

ABF

≌△

ACD

(SAS).∴

AF

＝

AD

.

【点拨】如图①，在

BD

上截取

BF

＝

CD

，连接

AF

.

∵∠

BAC

＝∠

BDC

，∠

AOB

＝∠

COD

，∵

AE

⊥

DF

，∴

FE

＝

DE

.

∵

BE

＝

BF

＋

EF

，∴

BE

＝

CD

＋

DE

.

1234567【类比分析】(2)如图②，△

ABC

为等边三角形，△

ACD

是等腰直角三角

形，其中

AC

＝

AD

，∠

CAD

＝90°，

AE

是

CD

边上的中

线，连接

BD

交

AE

于点

F

.

证明：

BF

＝

AF

＋

DF

.

1234567【证明】如图②：在

BF

上截取

BH

＝

DF

，连接

AH

，

∵△

ABC

为等边三角形，∴

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝60°，∵

AC

＝

AD

，∠

CAD

＝90°，∴∠

BAD

＝∠

BAC

＋∠

CAD

＝60°＋90°＝150°，

AB

＝

AD

.

又∵

BH

＝

DF

，1234567∴△

ABH

≌△

ADF

(SAS).∴

AH

＝

AF

.

∵

AE

是

CD

边上的中线，

AC

＝

AD

，∴

AE

平分∠

CAD

.

∴∠

DAE

＝45°.∴∠

AFH

＝∠

ADB

＋∠

DAE

＝15°＋45°＝60°.∴△

AHF

是等边三角形.∴

AF

＝

HF

.

∴

BF

＝

HF

＋

BH

＝

AF

＋

DF

.

1234567

1234567【点