数学自主练习：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1,n∈N*)，验证n=1时等式的左边为（）A。1B。1+aC。1+a+a2D。1+a+a2+a3思路解析：当n=1时，左边=1+a+a2。答案:C2。用数学归纳法证明不等式(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边（)A.增加了一项B.增加了两项C.增加了B中的两项但减少了一项1k+1D。以上均不正确思路解析:在n=k+1时，用k+1替换n,再与n=k时比较.答案:C3.用数学归纳法证明“＜n（n∈N*且n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立,推证n=k+1时，左边应增加的项数是()A。2k—1B.2k-1C。2k思路解析：增加的项数为（2k+1—1）-(2k-1）=2k+1—2k=2k。答案:C4。凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f（n+1）与f（n）之间的关系为__________。思路解析：设凸n+1边形为A1A2……AnAn+1,连结A1An,则凸n+1边形的对角线是由凸边形A1A2…An的对角线再加A1An，以及从A即f(n+1）=f（n）+1+n-2=f(n）+n-1。答案:f(n+1）=f（n）+n—15。已知数列{an}是首项为a1公比为q的等比数列(1)求和：=____________;=_____________。（2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论为__________________________。思路解析：(1），。（2)归纳猜想：左边结构为，右边为a1(1-q)n。答案:（1)a1(1-q）2a1（1-q)3(2）=a1（1-q)n6.已知:数列｛an}的通项公式an=,数列{bn}的通项公式满足bn=（1—a1）（1—a2）…（1-an）.求证:bn=。思路分析:本题可用数学归纳法证明.证明：（1）当n=1时，b1=1-a1==—3.而=—3，∴等式成立。(2）假设当n=k时成立，即bk=,则当n=k+1时,bk+1=(1—a1)（1—a2)…（1-ak）（1-ak+1）=bk（1—ak+1）=∴当n=k+1时，命题成立.由（1）（2)可知，当n为任意正整数时,bn=都成立。我综合我发展7.已知x＞-1且x≠0，n∈N＊,且n≥2，求证：（1+x)n＞1+nx。思路分析：本题为与自然数n有关的不等式，可用数学归纳法证明;在证明时可结合不等式的性质加以变形.证明：（1）当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2，∵x≠0,∴1+2x+x2＞1+2x，∴左边＞右边,不等式成立.（2）假设当n=k时，不等式成立，即(1+x)k＞1+kx成立,则当n=k+1时，左边=（1+x）k+1=（1+x)k(1+x）.∵x＞—1,∴1+x＞0.∴(1+x)k(1+x)＞(1+kx)（1+x)=1+（k+1)x+kx2.∵x≠0，∴1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x。∴（1+x)k+1＞1+（k+1)x成立,即当n=k+1时不等式成立。由(1）(2)可知，不等式对于所有的n≥2都成立。8。设n∈N*，证明4×6n+5n+1除以20的余数为9.思路分析：本题研究余数问题实质上是20的倍数再加9.也可看作是4×6n+5n+1-9被20整除.整除性问题可用数学归纳法证明。证明：（1)当n=1时，4×61+52=24+25=49=2×20+9命题成立.（2)假设当n=k时命题成立,即4×6k+5k+1被20除余9，即4×6k+5k+1—9被20整除，则当n=k+1时，4×6k+1+5k+2-9=6×(4×6k+5k+1-9)-6×5k+1+5k+2+45=6×（4×6k+5k+1—9）+45—5k+1。∵6×(4×6k+5k+1—9）被20整除，只需证45-5k+1被20整除。①当n=1时，451—51+1=45—25=20被20整除成立;②假设当n=k时成立，即45—5k+1被20整除,则当n=k+1时,45-5k+2=(45—5k+1）×5—180能被20整除，∴当n=k+1时成立.∴45—5k+1都能被20整除.∴当n=k+1时原命题成立.由(1）(2)可知命题成立.9.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.(1)求数列{bn｝的通项bn；（2）设数列{an}的通项an=lg(1+）,记Sn为{an｝的前n项和，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.思路分析:本题为综合性问题，在比较Sn与的大小时，不易比较，可通过观察、归纳、猜想证明解答.解：（1）设数列{bn}的公差为d，由题意得(2)由bn=2n-1，知Sn=lg（1+1）+lg(1+)+…+lg(1+)=lg［（1+1)(1+）(1+)…(1+）］，。∴要比较Sn与的大小,可先比较（1+1）(1+)(1+)…(1+)与的大小。取n=1、2、3时,得出(1+1）(1+）…(1+)＞①成立，于是猜想①式恒成立，下面给出证明：（i)当n=1时