四年级数学下册 同步复习与测试讲义-第2章 认识三角形和四边形 （含解析）（北师大版）

2019-2020学年北师大版小学四年级数学下册同步复习与测试讲义第2章认识三角形和四边形【知识点归纳总结】1.四边形的特点、分类及识别1．四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角，且内角和是360°．

2．四边形的分类：

任意四边形：图形没有平行的边

平行四边形：图形两组平行的边

梯形：图形只有一组平行的边

3．四边形的识别：

根据分类特地进行识别即可．【经典例题】例1：把符合要求的图形序号填在横线里．

A、正方形B、长方形C、平形四边形D、梯形

①两组对边分别平行，有四个直角．A、B

②只有一组对边平行．D

③两组对边分别平行，没有直角C．

分析：①长方形的特征是：两组对边分别平行且相等，四个角都是直角；②正方形的特征：四条边都相等，四个角都是直角；③平行四边形的特征：两组对边分别平行；④梯形的特征：只有一组对边平行，据此解答．

解：由分析可知：①两组对边分别平行，有四个直角的是正方形和长方形；

②只有一组对边平行的四边形是梯形；

③两组对边分别平行，没有直角的是平行四边形；

故答案为：①A、B，②D，③C．

点评：此题根据正方形、长方形、平行四边形、梯形的特征进行解答．例2：正方形、长方形是特殊的平行四边形．√．（判断对错）

分析：四个角都为直角的平行四边形是长方形，四条边都相等的长方形是正方形；也就是说正方形和长方形都是特殊的平行四边形；由此判断即可．

解：根据长方形和正方形的含义可知：正方形和长方形都是特殊的平行四边形；

故答案为：√．

点评：解答此题应根据长方形和正方形的含义进行解答．2.平行四边形的特征及性质平行四边形的概念：

1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形用符号“□ABCD”，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”．

（1）平行四边形属于平面图形．

（2）平行四边形属于四边形．

（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．

（4）平行四边形属于中心对称图形．

2．平行四边形的性质：

主要性质

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．

（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）

（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．

（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．

（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．

注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．【经典例题】例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（）

A、长方形

B、平行四边形

C、梯形

分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；

据此判断即可．

解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．

故选：B．

点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（）

A、周长不变，面积变大

B、周长不变，面积也不变

C、周长变小，面积变小

D、周长不变，面积变小

分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．

解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；

长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．

故选：D．

点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．3.长方形的特征及性质长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．

长方形的性质：

1．长方形的4个内角都是直角；

2．长方形对边相等；

3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．

4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质

长方形的判定：

①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形

②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形

矩形的面积：S矩形=长×宽=ab．

黄金长方形：

宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形．黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等．【经典例题】例：如图中甲的周长与乙的周长相比（）

A、甲长

B、乙长

C、同样长

分析：因为甲的周长=长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长=长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，根据长方形的特征：对边相等；进行解答继而得出结论．

解：甲的周长=长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长=长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，

因为长方形对边相等，所以甲的周长等于乙的周长；

故选：C．

点评：解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答．4.正方形的特征及性质1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．性质：

（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

（2）内角：四个角都是90°；

（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．

（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．

（6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

（7）正方形是特殊的长方形．【经典例题】例：四个角都是直角的四边形一定是正方形．×．（判断对错）

分析：根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此判断即可．

解：因为四边相等，四个角都是直角的四边形是正方形，

所以题干的说法不全面，四个角都是直角的四边形还可能是长方形，

因此题干的说法是错误的；

故答案为：×．

点评：本题主要考查正方形的特征及性质．5.梯形的特征及分类1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．

2．分类：

（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形

（3）一般梯形．【经典例题】例1：只有一组对边平行的四边形是（）

A、三角形

B、长方形

C、平行四边形

D、梯形

分析：根据梯形的定义可知：只有一组对边平行的四边形是梯形，由此即可选择．

解：只有一组对边平行的四边形是梯形，

故选：D．

点评：此题考查了梯形的定义．

例2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（）

A、平行四边形

B、长方形

C、三角形

分析：两个完全一样的直角梯形，可以拼成平行四边形和长方形，但不能拼成三角形；据此解答．

解：由分析可知：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成三角形；

故选：C．点评：结合题意，根据完全一样的两个直角三角形拼组的特点，即可得出结论．6.三角形的特性三角形具有稳定性．

三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【经典例题】例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（）

A、

B、

C、

分析：紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案．

解：A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形，

B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形，

C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形，

故选：C．

点评：此题是考查了三角形三边关系的应用．例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）

A、

B、

C、

分析：不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．

解：根据三角形的特性：三角形具有稳定性；

故选：C．

点评：此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．7.三角形的分类1．按角分

判定法一：

锐角三角形：三个角都小于90°．

直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．

钝角三角形：有一个角大于90°．

判定法二：

锐角三角形：最大角小于90°．

直角三角形：最大角等于90°．

钝角三角形：最大角大于90°．

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．2．按边分

不等边三角形；

等腰三角形；

等边三角形．【经典例题】例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（）

A、锐角三角形

B、直角三角形

C、钝角三角形

D、不能确定

分析：判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．

解：最大角：180×=80（度），

因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；

故选：A．

点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共8小题）1．四条边相等，四个角是直角的四边形是（）A．正方形 B．长方形 C．梯形2．将一个平行四边形沿高剪开，不可能得到（）A．一个三角形和一个梯形 B．一个平行四边形和一个梯形 C．两个三角形3．如图是个四边形，但被挡住了一部分．被挡住的角一定是（）A．锐角 B．直角 C．钝角4．正方形是特殊的（）A．三角形 B．圆 C．平行四边形 D．梯形5．下面三句话中，说法错误的是（）A．梯形的上底与下底互相平行 B．梯形的两腰相等 C．平行四边形的两组对边分别互相平行6．下列几组长度能拼成三角形的是（）A．4cm、5cm、9cm B．3cm、C．4cm、6cm7．下列各图表示的关系正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．当一个四边形只有一组对边平行时，它是（）A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．梯形二．填空题（共7小题）9．数学书相邻的两条边互相，上下的两条边互相．10．两腰相等的梯形叫做．11．张红用一根40厘米长的铁丝围成了一个平行四边形，这个平行四边形的一条边长是15厘米，与它相邻的另一条边是厘米．12．小红用一根14cm长的铁丝围成了一个三边长都为整厘米数的三角形，它的边长可能是6cm、cm、13．和都是特殊的平行四边形．14．如图是长方形，如果宽不变，长减少厘米，长方形就变成正方形；如果长不变，宽增加厘米，长方形也变成正方形．15．等边三角形每个角都是度，它按角分又是三角形．三．判断题（共5小题）16．把一个锐角三角形顺时针旋转90°，它就变成了直角三角形．（判断对错）17．这样的四根小棒可以围成许多不同的平行四边形．（判断对错）18．梯形的两条腰一定不平行．．（判断对错）19．四条边都相等的图形不一定是正方形．（判断对错）20．两组对边相等的四边形一定是长方形．．（判断对错）四．计算题（共1小题）21．计算下面图形的周长．五．应用题（共2小题）22．一块平行四边形菜地，它的两条相交的边的长度分别是28.5米和46米，围这块菜地需要篱笆多少米？23．一个三角形2边的长度如图，第三边最短是几厘米？最长是几厘米？（取整厘米数）六．操作题（共1小题）24．在点子图上按要求画图形．七．解答题（共4小题）25．用一张长10厘米，宽6厘米的长方形纸折成一个最大的正方形，正方形的边长是多少厘米？26．选择正确的番号填空．27．一根27厘米长的铁丝，可以围成边长是几厘米的等边三角形？28．一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰长是多少厘米？底长是多少厘米？

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此判断即可．【解答】解：四条边相等，四个角是直角的四边形是正方形；故选：A．【点评】本题主要考查正方形的特征及性质．2．【分析】沿平行四边形钝角所在的一个顶点，向对边做垂线，这样的高有两条，沿这两条高剪开，都能得到一个三角形和一个梯形；如图2这样剪开，得到两个梯形，且是直角梯形．如图三特殊的一点的平行四边形沿高剪开可以得到两个直角三角形．【解答】解：由以上图形可以看出，将一个平行四边形沿高剪开，可能得到一个三角形和一个梯形、两个梯形或两个直角三角形．故选：C．【点评】本题属于简单的图形切割，在练习本上画一画就可以得到答案．3．【分析】根据长方形、正方形的特征，长方形的对边平行且相等，4个角都是直角；正方形的4条边的长度都相等，4个角都是直角．据此解答即可．【解答】解：这个四边形是长方形，所以挡住的角一定是直角；故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方形、正方形的特征及应用．4．【分析】根据平行四边形的特征，两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，因为正方形的对边分别平行且相等，所以正方形是特殊的平行四边形．据此解答．【解答】解：由分析得：正方形是特殊的平行四边形．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形、正方形的特征及应用，明确：长方形、正方形都是特殊的平行四边形．5．【分析】根据梯形的特征，梯形的上、下底互相平行．A说法正确．等腰梯形的两腰相等，一般梯形的两腰不相等．B说法错误．根据平行四边形的特征，平行四边形再组对边平行且相等．C说法正确．【解答】解：A、梯形的上底与下底互相平行．此种说法正确；B、梯形的两腰相等．此种说法错误；C、平行四边形的两组对边分别互相平行．此种说法正确．故选：B．【点评】此题主要考查梯形、平行四边形的特征．6．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：A、4+5＝9，所以不能围成三角形；B、3+6＝9＜10，所以不能围成三角形；C、4+5＝9＞6，所以能围成三角形；故选：C．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．7．【分析】根据三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边可以分为：不等腰三角形和等腰三角形，其中等边三角形属于等腰三角形；四边形可以分为一般四边形和长方形，其中正方形是长方形的一种特殊情况；由此解答即可．【解答】解：下列各图表示的关系正确的个数有0个；故选：A．【点评】灵活掌握三角形的分类、四边形的分类，是解答此题的关键．8．【分析】根据平行四边形和图形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，正方形和长方形都是特殊的平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫梯形，即可解答．【解答】解：当一个四边形只有一组对边平行时，它是梯形；故选：D．【点评】此题考查了平行四边形和梯形的定义．二．填空题（共7小题）9．【分析】数学书的封面是长方形，根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角．由此解答．【解答】解：根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角．因此，数学书的封面相邻的两条边互相垂直，上下的两条边互相平行．故答案为：垂直，平行．【点评】此题主要考查长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，据此解决问题．10．【分析】根据梯形的分类可知：两腰相等的梯形是等腰梯形，由此填空．【解答】解：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．故答案为：等腰梯形．【点评】此题考查了等腰梯形的定义．11．【分析】根据平行四边形的周长＝邻边之和×2，可得邻边之和＝周长÷2，由此先求得邻边之和，再减去15厘米即可得解．【解答】解：40÷2﹣15＝20﹣15＝5（厘米）答：与它相邻的另一条边是5厘米．故答案为：5．【点评】本题主要考查了平行四边形的周长公式的灵活运用．12．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：3+5+6＝14，3+5＞6，符合构成三角形的条件，所以，它的三边长可能是6cm，3cm，故答案为：3，5．（答案不唯一）【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．13．【分析】根据平行四边形的特征：两组对边平行且相等；则得出：长方形、正方形两组对边平行且相等，有四个角是直角，所以是特殊的平行四边形．【解答】解：长方形和正方形都是特殊的平行四边形；故答案为：长方形，正方形．【点评】此题考查了正方形和长方形与平行四边形的关系，应注意基础知识的积累．14．【分析】根据正方形的特征“四条边都相等”可知：如果宽不变，则长和宽相等时，该长方形变成正方形，即长减少：6﹣4＝2厘米；同理，如果长不变，宽增长到和长相等时，长方形也变成正方形，即宽增加：6﹣4＝2厘米；由此解答即可．【解答】解：长减少：6﹣4＝2（厘米），宽增加：6﹣4＝2（厘米）；故答案为：2，2．【点评】解答此题应根据正方形的特征进行解答．15．【分析】等边三角形又叫做正三角形，其三个内角都相等，即每个内角都是60度，又因为三个角都是锐角，根据锐角三角形的含义得出结论．【解答】解：等边三角形每个角都是60度，它按角分又是锐角三角形．故答案为：60，锐角．【点评】解答此题应结合题意，并根据等边三角形的特征和锐角三角形的含义进行解答．三．判断题（共5小题）16．【分析】根据旋转的特征，一个图形绕某点顺时针旋转90°，某点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形，即旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．【解答】解：一个图形绕某一点顺时针旋转90°，其大小、形状不变，位置发生变化，原题的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题是考查旋转的特征．图形平移、旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．17．【分析】依据平行四边形的意义，即两组对边分别平行或相等的四边形，叫做平行四边形；据此可知：只要是两组对边相等，就能围成一个平行四边形；据此判断即可．【解答】解：如图的四根小棒，因为两组分别相等，所以可以围成平行四边形，因为平行四边形具有易变形的性质，所以能围成许多不同的平行四边形，所以本题说法正确；故答案为：√．【点评】此题关键是根据四边形的特征进行分析、解答．18．【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，平行的这组对边叫做梯形的底，不平行的对边叫做梯形的腰，由此可知：梯形的两条腰一定不平行；由此判断即可．【解答】解：根据梯形的特征可知：梯形的两条腰一定不平行，如果延长，可以相交，所以本题说法正确；故答案为：√．【点评】此题考查梯形的特征及同一平面内两条直线的位置关系的灵活应用．19．【分析】如果一个四边形为正方形，必须保证四条边都相等，四个角都是直角，两个条件缺一不可．【解答】解：四条边相等的图形，四个角不一定都是直角，所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要利用正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角进行判定．20．【分析】根据平行四边形的性质：两组对边平行且相等；可以得出：两组对边相等的四边形一定是平行四边形，但不一定是长方形，因为长方形的四个角都是直角；进而判断即可．【解答】解：两组对边相等的四边形一定是长方形，说法错误，因为两组对边相等的四边形一定是平行四边形，但不一定是长方形，因为长方形的四个角都是直角．故答案为：×【点评】此题考查了长方形的辨析，应注意基础知识的积累．四．计算题（共1小题）21．【分析】根据周长的意义，围成平面图形所有边长的和叫做这个平面图形的周长．（1）根据加法的意义，把围成这个多边形的4条边的长度合并起来即可．（2）已知正六边形的边长是5分米，根据正六边形的周长＝边长×6，据此列式解答．【解答】解：（1）33+17+（15+35）＝50+50＝100（厘米）；答：它的周长是100厘米．（2）5×6＝30（分米）；答：这个正六边形的周长是30分米．【点评】此题考查的目的是理解掌握周长的意义，以及多边形周长的计算方法及应用．五．应用题（共2小题）22．【分析】由题意得：四周的篱笆的长度等于平行四边形的四条边的长度之和，因为平行四边形对边长度相等，所以平行四边形周长＝邻边长度之和×2．据此解答即可．【解答】解：（28.5+46）×2＝74.5×2＝149（米）．答：围这个菜地需要149米长的篱笆．【点评】此题主要考查利用平行四边形的周长＝邻边的和×2进行解决实际问题．23．【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行分析