2020-2021学年天津市东丽区高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年天津市东丽区高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数的虚部为（）A．－3 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】根据复数的概念直接可得答案.【详解】复数的虚部为故选：A【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.2．掷两枚质地均匀股子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”则与的关系为（）A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等【答案】B【分析】由互斥事件、相互独立事件、对立事件的定义判断即可【详解】解：对于A，C，因为事件A和事件B中有相同的样本点，如（1,2），所以这两个事件既不互斥也不对立，所以AC错误；对于D，因为事件A中含有事件B中没有的样本点，如（1,1），所以两个事件不可能相等，所以D错误，对于B，因为，所以，所以事件A和事件B是相互独立事件，故选：B3．已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则（）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】利用平面向量共线定理可知，即可求解【详解】由，可设，则解得：，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量共线定理，属于基础题.4．在中，已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接求解即可.【详解】在中，已知，，，由余弦定理得：，故选：A5．有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】最后随意拨动最后一个数字是古典概型，按照古典概型的概率公式，即可求解.【详解】由于最后一个数字在0到9这十个数字中任选，是样本点共有10种，其中随意拨动最后一个数字恰好能开锁包含的样本点只有1种，故随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.6．若样本数据，，，标准差为8，则数据，，，的标准差为（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【详解】【分析】由已知结合方差的性质即可直接求解．【解答】解：由方差的性质可知，，因为样本数据，，，标准差为8，即方差为64，则数据，，，的方差为，，即标准差为16故选：．【点评】本题主要考查了方差性质，的的简单应用，属于基础试题．7．在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，若，则AB的长为（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用向量加法与乘法法则，结合公式即可得出结论【详解】设AB的长为x，因为，所以，解得．故选：A【点睛】本题主要考查向量的数量积公式，其中向量代换是解题关键．8．在空间中，下列命题正确的是（）①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两条直线平行．A．①③④ B．①④ C．① D．①②③④【答案】B【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【详解】解：①该命题就是平行公理，即基本性质4，因此该命题是正确的．②如图1，直线平面，，，且，则，．即平面内两条相交直线b、c都垂直于同一条直线a，但b、c的位置关系并不是平行．另外，b、c的位置关系也可能是异面，如果把直线b平移到平面外，此时，b与a的位置关系仍是垂直，但此时b、c的位置关系是异面．③如图2，在正方体中，易知平面ABCD，平面ABCD，但，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上，①④正确，故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，属于基础题．9．如图，正方体的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】显然平面，所以就是平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，再解三角形即可.【详解】解：在正方体中，平面，E、F分别为棱AD、BC的中点，所以，所以平面，所以，所以就是平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，，故选：B.【点睛】思路点睛：按照二面角的平面角的定义先找到平面角，再求角.找角时注意找与二面角的棱垂直的平面与两个半平面的交线就是平面角，求角时一般是解三角形，二面角平面角的范围是，基础题.二、填空题10．若为虚数单位，复数，则________.【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】解：，则．故答案为：5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．11．若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________.【答案】【分析】由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.【详解】由已知得正方体的棱长为，又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以正方体的外接球的半径，所以外接球的表面积，故得解.【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.12．已知向量，，其中，，且，则向量和的夹角是__________．【答案】【分析】利用得，可求出，从而求出向量和的夹角.【详解】∵，∴，解得:，所以夹角为．故答案为：【点睛】本题主要考查了向量垂直数量积为0，向量数量积的定义，属于基础题.13．小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是________km.【答案】【分析】先求出，∠PAB，∠APB，再由正弦定理求出.【详解】由题意得，，∠PAB＝30°，∠APB＝75°－30°＝45°在△ABP中，由正弦定理得所以故答案为：三、双空题14．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是__，第75百分位数是__．【答案】57【分析】先把样本数据从小到大排列，由，得到该组数据的第50百分位数是第5个数与第6个数的平均数；由，得到第75百分位数第8个数．【详解】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，，该组数据的第50百分位数是，，第75百分位数是7．故答案为：5；7．【点睛】本题考查第50百分位数和第75百分位数的求法，考查百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________．【答案】.【分析】①通过平行关系，直线与直线所成角即直线与直线所成角，解三角形即可得解；②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.【详解】作图：连接交于，连接①在正方体中，，易得为等边三角形，由与平行且相等，则四边形为平行四边形，，直线与直线所成角即直线与直线所成角，所以所成角为；②正方体中，平面，所以就是直线和平面所成的角由于，，是等腰直角三角形，所以，所以直线和底面ABCD所成的角的大小.故答案为：①；②.【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹角，通过垂直关系根据定义找出线面角即可求解.四、解答题16．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和.（1）求2个人都译出密码的概率；（2）求2个人都译不出密码的概率；（3）求至多1个人都译出密码的概率；（4）求至少1个人都译出密码的概率.【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率乘法公式可求；（2）先求解两人不能译出密码的概率，结合独立事件概率乘法公式可求；（3）利用对立事件进行求解，“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”；（4）利用对立事件进行求解，“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”.【详解】（1）记“甲独立地译出密码”事件，“乙独立地译出密码”为事件，且，为相互独立事件，且，.2个人都译出密码的概率为.（2）2个人都译不出密码的概率为.（3）“至多1个人译出密码”的对立事件“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为.（4）“至少1个人译出密码”的对立事件“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为.【点睛】解此类问题首先要判断事件的相互独立性，然后利用公式求解；若事件与相互独立，则与，与，与也相互独立，在条件不变的前提下，利用它们的相互独立性求不同类型的概率.17．已知向量，，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）当时，与共线，求的值；（Ⅲ）若，且与的夹角为，求.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由得方程即得解；（Ⅱ）先求出，由题得，解方程即得解.（Ⅲ）先求出，即得.【详解】解：（Ⅰ）∵，∴.即，∴.（Ⅱ）当时，.与共线.所以.（Ⅲ）∵，，∴.∵与的夹角为，∴.∴.∴.【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查平面向量的数量积及运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.【分析】（1）根据7组频率和为1列方程可解得结果；（2）（i）根据前三组频率和为，前四组频率和为可知中位数在第四组，设中位数为，根据即可解得结果；（ii）利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；（3）根据分层抽样可得从成绩在[220，240）的组中应抽取人，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.【详解】（1）由，得；（2）（i）因为，，所以中位数在，设中位数为，所以，解得，所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为；（ii）这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为（3）物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中的人数分别为：人，人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220，240）的组中应抽取人，记为，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，记为，从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：，，共有种，其中这2名学生来自不同组的共有种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为.【点睛】本题考查了利用直方图求中位数、平均数，考查了利用直方图求参数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.19．在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结合三角形的面积公式可求．【详解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sinA≠0，所以，所以tanB，因为0＜B＜π，所以，（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，所以a，c，所以．【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题20．如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，D为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）．【分析】（1）连接交于，连接，则点为中点，根据三角形中位线可得，结合线面平行的判定定理，得直线面；（2）由面，得，正三角形中，中线，结合线面垂直