浙江省杭州市二中钱江校区2023-2024学年高一下学期寒假作业检测（开学考试）数学试卷

杭州二中钱江学校高一数学寒假作业检测一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，利用集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，分类讨论，可得结论．【详解】由题意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，①m＜0，x，∴2，∴m，∴m＜0；②m＝0时，C＝R,成立；③m＞0，x，∴1，∴m≤1，∴0＜m≤1，综上所述，m≤1，故选：B．【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．2.三角函数值，，的大小顺序是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到上的正弦值，借助正弦函数在的单调性比较大小．【详解】解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．∴sin1≈sin57°，sin2≈sin114°＝sin66°．sin3≈171°＝sin9°∵y＝sinx在上是增函数，∴sin9°＜sin57°＜sin66°，即sin2＞sin1＞sin3．故选B．【点睛】本题考查了正弦函数的单调性及弧度角的大小估值，是基础题．3.设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.a＜b＜c D.b＜a＜c【答案】D【解析】【详解】∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大单调增，所以又因为所以b<a所以b<a<c.故选D．4.已知函数的图象与直线有三个交点的横坐标分别为，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出的图像，结合图像利用对称性即可求得结果.【详解】先作出函数的图象，如图，令，可得和，所以由对称性可得，故，故选：C．5.设，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据半角公式得出正切值，继而得出其正弦值和余弦值，再根据的取值范围和题意判断出，并得出的余弦值，最后根据恒等变换公式计算即可.【详解】，因为，，且，又，得.因为，则，又，所以，，.故选：A.6.设函数，，其中，.若，，且最小正周期大于，则A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.7.设,且,则下列关系中一定成立的是A3c＞3b B.3b＞3a C.3c+3a＞2 D.3c+3a＜2【答案】D【解析】【分析】画出的图象，利用数形结合，分析可得结果.【详解】作出的图象，如图所示，要使，且成立，则有且，，，又，，即，故选D.【点睛】通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．8.已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.[﹣2，1] B.[﹣5，0] C.[﹣5，1] D.[﹣2，0]【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，再分离参数利用函数单调性求最值即可求解【详解】由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x对恒成立，从而且对恒成立，又单调递增∴a≥﹣2单调递减，所以a≤0，即a∈[﹣2，0]，故选D．【点睛】本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、恒成立的思想以及问题转化的能力，属于中档题．二、多选题：本题共4小题，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.存在函数满足：对任意都有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】分别取、可得、，A错误；同理，取、可得、，B错误；利用三角恒等变换将整理为关于的二次函数可判断C；同理可判断D.【详解】A：取时，，，取时，，，故A不正确；B：取时，，，取时，，，故B错误；C：，令，则，C正确；D：令，则，D正确.故选：CD10.下列不等式中，正确的是（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用诱导公式及三角函数的单调性判断A、B，利用三角函数线证明当时，即可判断C、D.【详解】对于A：，，所以，故A错误；对于B：因为，且在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，故B正确；对于C、D：首先证明当时，构造单位圆，如图所示：则，设，则，过点作直线垂直于轴，交所在直线于点，由，得，所以，由图可知，即，即，所以，，故C正确，D错误；故选：BC11.关于函数，下列描述正确的有（）A.在区间上单调递增 B.的图象关于直线对称C.若则 D.有且仅有两个零点【答案】ABD【解析】【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选：ABD．12.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则实数的值可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】因为，可得，分段求解析式，结合图象可得．【详解】解：因为，，函数图象如下所示：，时，，，，时，，，，；，时，，，，，当，时，由解得或，若对任意，，都有，则．故选：．【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，解答的关键是根据函数的性质画出函数图象，数形结合即可得解；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的单调减区间是______．【答案】【解析】【分析】根据对数函数的定义域及复合函数单调性的判断即可求得单调递减区间．【详解】因为所以解得因为为单调递减函数，所以由复合函数单调性判断可知应该取的单调递增区间，即结合定义域可得函数的单调减区间是【点睛】本题考查了复合函数单调区间的求法，注意对数函数的真数大于0，属于基础题．14.已知，，且，则的最小值为___.【答案】【解析】【分析】由等式可得出，以及，代入可得出，利用基本不等式可求得结果.【详解】，，且，得，以及，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时注意对定值条件进行化简变形，考查计算能力，属于中等题.15.函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，则k的取值范围是_____；②若f（x）的值域为R，则k的取值范围是_____．【答案】①.[0，）②.k【解析】【分析】（1）根据的定义域为，对分成三种情况分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.（2）当值域为时，由求得的取值范围.【详解】函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，可得kx2+4kx+3＞0恒成立，当k＝0时，3＞0恒成立；当k＞0，△＜0，即16k2﹣12k＜0，解得0＜k；当k＜0不等式不恒成立，综上可得k的范围是[0，）；②若f（x）的值域为R，可得y＝kx2+4kx+3取得一切正数，则k＞0，△≥0，即16k2﹣12k≥0，解得k．故答案为：(1).[0，）(2).k【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.16.函数在闭区间上的最大值是1，则__________．【答案】【解析】【分析】令，即求在上的最大值，需要根据对称轴的位置进行分类讨论即可求出结果.【详解】，令，则，对称轴，若，即时，在处取得最大值，即，解得，与矛盾，故不合题意，舍去；若，即时，在处取得最大值，即，即，解得或，因为，所以；若，即时，在处取得最大值，即，解得，与矛盾，故不合题意，舍去；综上：.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据条件求出集合，最后根据交集的定义计算可得；（2）依题意可得，则问题转化为关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，结合二次函数的性质计算可得.【小问1详解】由，即，解得，所以当时，所以【小问2详解】因为，所以，关于的方程，因为，所以关于的方程必有两个不相等的实数根，依题意关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，所以，解得，所以实数取值范围为.18.设集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，结合列出关于实数的不等式（组），解出即可得出实数的取值范围；（2）求出集合，由题意得知，且有，解该不等式组即可得出实数的取值范围.【详解】（1）集合，.①当时，，解得，符合要求；②当时，若，，则，解得.综上，实数的取值范围是；（2）集合，或，若中只有一个整数，则必有，，解得，因此，实数的取值范围是．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围，同时也考查了利用交集与补集的混合运算求参数，解题时要结合题意列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.(2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为：.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知函数的最小正周期是．（1）求函数的单调递增区间；（2）若对任意的，都有，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的余弦公式化简，再根据周期公式求出，即可得到函数解析式，最后根据余弦函数的性质求出单调递增区间；（2）由的取值范围求出的范围，即可求出的值域，由恒成立得到关于的不等式组，解得即可.【小问1详解】因为，又且函数的最小正周期是，所以，解得，所以，令，解得，所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】当，则，所以，则，因为对任意的，都有，即对任意的，都有，即对任意的，都有，所以，解得，即的取值范围为.21.已知函数为自然对数的底数）.（1）当时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数的零点个数为1个，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数单调性证明，再利用零点存性定理即可知零点个数.（2）将转化为，构造函数，转化为，即，即，求解即可.【小问1详解】函数的定义域为.当时，函数在上单调递减，证明如下：任取，且，∵，∴，∴，即.所以函数在上单词递减.又∴在区间上存在零点，且为唯一的零点.∴函数的零点个数为1个【小问2详解】可化为.可化为.可化为.令，可知在R单调递增，所以有，即令，可知在上单调递增.即在上单调递增，，所以实数a的取值范围是.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.22.已知函数，其中为实数．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（且）使得，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知当时，，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值；（Ⅱ）因为在上为增函数，分，，三种情况讨论即可（Ⅲ）因为，则在上为减函数，在上为增函数，所以，令，分，两种情况具体讨论即可．【详解】解：(Ⅰ)当时，所以当时有最小值为；当时，由得，所以当时，函数的最小值为（Ⅱ）因为在上为增函数，若