12一定是直角三角形吗(备作业)2021-2022学年八年级数学上册（北师大版）

1.2一定是直角三角形吗一、单选题1．下列各组数据，是勾股数的是（）A．，， B．32，42，52C．0.5，1.2，1.3 D．12，16，20【答案】D【解析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．A、，不能构成直角三角形，故错误；

B、92+162≠252，不能构成直角三角形，是整数，故错误；

C、0.52+1.22=1.32，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；

D、122+162=202，能构成直角三角形，故正确．

故选D．【点睛】考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．A.,则a2+c2=b2,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意；B.52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；C.∠A：∠B：∠C=3：4：5，设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故C选项错误，符合题意；D.∠A∠B=∠C，则∠A=∠B+∠C，∠A=90°，△ABC是直角三角形，故D正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5【答案】C【解析】由三角形的内角和定理求解可判断由勾股定理的逆定理可判断由三角形的内角和定理求解可判断设则利用勾股定理的逆定理可判断解：故不符合题意；故不符合题意；不是直角三角形，故符合题意，设则故不符合题意，故选：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．4．已知a，b，c是三角形的三边长，且(a−5)2A．以a为斜边的直角三角形 B．以c为斜边的直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形【答案】B【解析】根据绝对值、偶次方的非负性质，分别求出a，b，c的值；利用勾股定理的逆定理，判断△ABC的形状，即可得到答案.∵(a−5)2根据绝对值、偶次方的非负性质，

∴c=13，b=12，a=5，

∵52+122=132，

∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．

故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的性质，掌握勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的非负性质是解题的关键.5．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（）A． B． C．D．【答案】D【解析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．6．下列说法中正确的是（）A．在中，.B．在中，.C．在中，，.D．、、是的三边，若，则是直角三角形.【答案】D【解析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理逐项分析即可.A.因为不一定是直角三角形，故不正确；B.没说明哪个角是直角，故不正确；C.在中，，则，故不正确；D.符合勾股定理的逆定理，故正确.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.7．下列命题①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【解析】分别利用勾股数的定义、勾股定理以及等腰直角三角形的边的关系分别判断得出即可．解：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，是真命题；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这三角形的三个内角度数为：45°，60°,75°，因此这个三角形不是直角三角形，原命题是假命题；③如果一个三角形的三边是12、25、21，因为，故此三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命题；故选：C．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题关键．8．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有()A． B．C． D．【答案】B【解析】根据梯形的面积的两种求法，构建关系式即可解决问题．解：根据题意得，，

∴a2+b2=c2，

故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的证明、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．9．给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若，，是勾股数，且最大，则一定有；④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数.其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】根据勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数的定义分别判断各说法即可.①由于，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；③若，，是勾股数，且最大，则一定有，故③说法正确；④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，所以，所以，，一定是勾股数故④说法正确.故选C.【点睛】此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是64，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，且a>b.那么下列结论：（1）a2+b2=64，（2）a－b=2，（3）ab=30，（4）a+b=2.正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系和勾股定理得出a与b的关系式，依次判断所给关系式即可．解：根据题意，大正方形的面积是64，小正方形的面积为4，∴大正方形的边长为8，小正方形的边长为2；∵，∴，故（2）正确；直角三角形的两直角边长分别为，∴，故（1）正确；∵，∴，∴，故（3）正确；∴，∴，故（4）正确；∴正确的结论有4个；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、直角三角形的性质以及完全平方公式变形求值问题，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解答本题的关键．11．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为，右图中空白部分的面积为，则下列表示的等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】左图中空白部分的面积=两个边长分别为a、b的正方形的面积+两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积，右图中空白部分的面积=一个边长为c的正方形的面积+两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积，据此解答即可．解：，．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形和正方形的面积等知识，解题的关键是理解图形提供的信息，正确表示出．12．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM=S△CGN，S△AHN=S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论．解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD，∴AH2＋DH2=AD2=21即（3DH）2＋DH2=21解得：DH=，∴AH=由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN∵AH∥CF∴∠HEN=∠FCM∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF∴AEM≌CGN，AHN≌CFM∴S△AEM=S△CGN，S△AHN=S△CFM∴S四边形MFGN=S△CFM－S△CGN=S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×=∵S△FGN=2S△CGN∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN=S△MNF＋2S△CGN=S△MNF＋S△FGN=S四边形MFGN=故选B．【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键．二、填空题13．若三角形的三边长是6，8，，当的值为________时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【解析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.①最长边为8时，8262=，则=28；②最长边不是8时，82+62=，则=100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.14．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是________.【答案】直角三角形【解析】利用勾股定理的逆定理进行计算即可得到答案.因为=+，则此三角形是直角三角形，故答案为直角三角形.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.15．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是_____三角形．【答案】直角因为AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，所以AC2+AB2=BC2，所以△ABC是直角三角形．故答案为直角.16．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．

【答案】或.【解析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=62t，BQ=t，∴62t=2t，解得t=；当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴t=2（62t），解得t=，∵0<t≤3，∴t=或t=故答案为或.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键．17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB的长为__，BC的长为__，CD的长为__，AD的长为__；（2）连接AC，通过计算△ACD的形状是__；△ABC的形状是__．【答案】（1），5，2，2；（2）等腰三角形，直角三角形【解析】（1）利用勾股定理计算即可．（2）根据等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理判断即可．解：（1）由题意AB＝BCCDAD故答案为，5，2，2（2）∵AC∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，∵AB＝，AC＝，BC＝5，∴AB2+AC2＝25＝BC2，∴∠BAC＝90°∴△ABC是直角三角形，故答案为等腰三角形，直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是_____．【答案】【解析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段OB的长度，然后根据OA＝OB即可求出OA的长度，接着可以求出数轴上点A所表示的数．∵OC＝3，BC＝1，∴BO＝,∵OA＝OB，∴OA＝，∴数轴上点A表示的数是；故答案为：．【点睛】本题考查了根据勾股定理求直角三角形第三边，并在数轴表示无理数，正确的计算OB的长是本题的关键，并且要注意点A的符号问题．19．如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且．若与的距离为3，与的距离为5，则的面积为___________．【答案】17【解析】先过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，由于EF⊥l2，l1∥l2∥l3，易知EF⊥l1⊥l3，那么∠ABE＋∠EAB＝90°，∠AEB＝∠BFC＝90°，而∠ABC＝90°，可得∠ABE＋∠FBC＝90°，根据同角的余角相等可得∠EAB＝∠FBC，根据AAS可证△ABE≌△BCF，于是BE＝CF＝3，AE＝BF＝5，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB2，进而可求△ABC的面积．过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图，∵EF⊥l2，l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1⊥l3，∴∠ABE＋∠EAB＝90°，∠AEB＝∠BFC＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，在△ABE和△BCF中，∠AEB＝∠BFC，∠EAB＝∠FCB，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF＝3，AE＝BF＝5，在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2，∴AB2＝34，∴S△ABC＝AB•BC＝AB2＝17．故答案是17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，并证明△ABE≌△BCF．20．如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为______．【答案】2.5或1【解析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情况，利用勾股定理，构建方程求解即可．如图，设BM=x，在Rt中，AB=10，AC=6，BC=，，，O是AB的中点，OA=OB，在和中，（ASA）PA=BQ=61=5，OQ=OP，MQ=MP，解得x=2.5．当点P在AC的延长线时，同法可得，解得x=1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．21．曾任美国总统的加菲尔德曾经给出了一种勾股定理的证明方法.如图，该图形整体上拼成了一个直角梯形，所以它的面积有两种表示方法，既可以表示为_______，又可以表示为_______.对比两种表示方法可得________，化简，可得.【答案】；；.【解析】因为梯形的上底为a，下底为b，高为（a+b），则它的面积可表示为（a+b）•（a+b）；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即（ab×2+c2）；则（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）．由题可知梯形面积为（a+b）（a+b）；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即（ab×2+c2）．因此（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）即a2+b2=c2．【点睛】主要应用了梯形的面积公式和三角形的面积公式．22．如图在中，，，，为等边三角形，点为围成的区域(包括各边)内的一点，过点作，交直线于点，作，交直线于点，则平行线与间距离的最大值为_________.【答案】【解析】当点E与点D重合时，EM与AB间的距离最大，由为等边三角形和，可得∠DBA＝90o,则DB的长度即为EM与AB间的距离，根据勾股定理即可求得.当点E与点D重合时，EM与AB间的距离最大，∵，，，为等边三角形，∴∠ABC=30o,∠CBD=60o,BC=,∴∠ABD=90o,BD=BC=,∴EM与AB间的距离为BD的长度.故答案是：.【点睛】考查了勾股定理，解题关键根据题意得到当点E与点D重合时，EM与AB间的距离最大和求得.三、解答题23．如图所示的一块地，AD＝9m，CD＝12m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．【答案】这块地的面积是216平方米．【解析】连接AC，运用勾股定理求出AC，再根据勾股定理逆定理可证△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．解连接AC，则在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，∴AC＝15，在△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.答：这块地的面积是216平方米．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．24．如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.【答案】见解析试题分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.试题解析：解：∵OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=OB2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.25．在解答“判断由长为，2，的三条线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的，你认为小明的解答正确吗？请说明理由．解：设a=，b=2，c=．∵a2+b2=（）2+22=，c2=()2=，∴a2+b2≠c2，∴这三条线段组成的三角形不是直角三角形．【答案】见解析试题分析：根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．试题解析：小明的做法不正确，理由是：∵（）2+（）2=22，∴这三条线段组成的三角形是直角三角形26．观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？第1组:3=2×1+1，4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1；第2组:5=2×2+1，12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1)+1；第3组:7=2×3+1，24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1；第4组:9=2×4+1，40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1)+1；…；第7组:a，b，c.【答案】第7组：a=15，b=112，c=113.第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.试题分析：通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数及第n组勾股数．试题解析：∵第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第七组勾股数是a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113；第n组勾股数是2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，P为BC边上任意一点．(1)求证：AP2＋PB·PC＝16.(2)若BC边上有100个不同的点(不与点B，C重合)P1，P2，…，P100，设mi＝APi2＋PiB·PiC(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．【答案】(1)16;(2)1600试题分析：（1）作AD⊥BC于D，由等腰三角形的三线合一性质和勾股定理得出AP2+BP•PC=AB2即可；

（2）根据勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BDBPi）2=AD2+BD22BD•BPi+BPi2，PiB•PiC=PiB•（BCPiB）=2BD•BPiBPi2，从而求得mi=AD2+BD2，即可求解．试题解析：(1)过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2.∵AP2－PD2＝AD2，∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16.(2)由(1)知mi＝APi2＋PiB·PiC＝16，∴m1＝m2＝…＝m100＝16，∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600.28．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．【答案】见解析．【解析】首先连结，作延长线于，则，根据，易证，再根据，，两者相等，整理即可得证．证明：连结，作延长线于，则即，∴∴即有：∴【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．29．如图，在和中，，，．

（1）若，，，求的大小；（2）猜想线段与的关系，并证明你的猜想．【答案】（1）；（2），，见解析【解析】（1）用勾股定理逆定理判断即可；（2）证≌，再延长交于点，证即可．解：（1）∵，，，∴，∵，∴，∴．（2）猜想：，，∵，∴，∵，，∴≌，∴，如图，延长交于点，

∵≌，∴，∴∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，解题关键是熟练运用三角形全等的判定定理进行证明，熟练的导角．30．勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4【解析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形，正方形，正方形的边长，求出其面积，代入，进一步整理可得解．解：（1）∵∴，∴小正方形的边长=又大正方形的边长为∴正方形的面积为，4个全等直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;∴经过整理可得（2）∵大正方形的面积是13，∴∵，且∴∴(负值舍去)∴∴小正方形的面积为1；（3）∵正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，∴，，∴正方形的边长为，∴正方形的面积为．而正方形的边长为，正方形的边长为，∴正方形的面积为，正方形的面积为，∴，整理得，，∴（负值舍去）【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．31．阅读理解：（问题情境）教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？（探索新知）从面