高考文科数学人教A版95椭圆第1课时

§9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2知识拓展点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)(5)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(6)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．(√)题组二教材改编2．[P68A组T3]椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于()A．4 B．8C．4或8 D．12答案C解析当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.3．[P42A组T5]过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1答案A解析由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq\f(x2,λ＋5)＋eq\f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq\f(9,λ＋5)＋eq\f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.4．[P42A组T6]已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).题组三易错自纠5．若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆，则m的取值范围是()A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)答案C解析由方程表示椭圆知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))解得－3<m<5且m≠1.6．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq\f(4,5)，则k的值为()A．－21 B．21C．－eq\f(19,25)或21 D.eq\f(19,25)或21答案C解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq\r(5－k)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(5－k),3)＝eq\f(4,5)，得k＝－eq\f(19,25)；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq\r(k－5)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq\f(4,5)，解得k＝21.7．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1答案A解析∵△AF1B的周长为4eq\r(3)，∴4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，∵离心率为eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2)，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选A.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆答案A解析由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2 B．4C．8 D．2eq\r(2)答案B解析椭圆方程变形为eq\f(y2,1)＋eq\f(x2,\f(1,4))＝1，∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.3．(2017·承德模拟)椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.eq\f(7,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．4答案A解析F1(－eq\r(3)，0)，∵PF1⊥x轴，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，±\f(1,2)))，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).4．(2017·呼和浩特模拟)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．答案6＋eq\r(2)6－eq\r(2)解析椭圆方程化为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝eq\r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2).思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二椭圆的标准方程命题点1利用定义法求椭圆的标准方程典例(1)(2018·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1答案D解析设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)答案A解析由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．命题点2利用待定系数法求椭圆方程典例(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为__________．答案eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴椭圆方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．答案eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1解析方法一椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.方法二∵所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(eq\r(3)，－eq\r(5))在所求椭圆上，∴eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．跟踪训练设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为______________．答案x2＋eq\f(3,2)y2＝1解析设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋eq\f(y2,b2)＝1，∴F1(－eq\r(1－b2)，0)，F2(eq\r(1－b2)，0)．∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，则A(eq\r(1－b2)，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，∴(－2eq\r(1－b2)，－b2)＝3(x0＋eq\r(1－b2)，y0)．∴x0＝－eq\f(5,3)eq\r(1－b2)，y0＝－eq\f(b2,3).∴点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3))).将Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3)))代入x2＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝eq\f(2,3).∴椭圆E的方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.题型三椭圆的几何性质典例(1)(2017·安庆模拟)P为椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是()A．[0,15] B．[5,15]C．[5,21] D．(5,21)答案C解析eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝(eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→)))·(eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(NF,\s\up6(→)))＝(eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→)))·(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(NE,\s\up6(→)))＝eq\o(PN,\s\up6(→))2－eq\o(NE,\s\up6(→))2＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|2－4，因为a－c≤|eq\o(PN,\s\up6(→))|≤a＋c，即3≤|eq\o(PN,\s\up6(→))|≤5，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是[5,21]．(2)(2018届晋豫名校调研)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，点A在椭圆上，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝c2，则椭圆的离心率e等于()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(5)－1,2) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析由于eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，F1(－c,0)，F2(c,0)，∴eq\o(AF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b2,a)))，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2c，－\f(b2,a)))，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝eq\f(b4,a2)＝c2，得b2＝ac，即a2－c2＝ac，即1－e2＝e，∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，∵0<e<1，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2)，故选C.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练(1)(2017·德阳模拟)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．答案eq\r(3)解析由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知eq\f(2b2,a)＝3.所以b2＝3，即b＝eq\r(3).(2)(2018届武汉调研)已知A，B分别为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝eq\r(1－mn)x的距离为1，则该椭圆的离心率e为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(2),2)答案B解析由椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<3)，得A(－3,0)，B(3,0)．设P(x0，y0)，则Q(x0，－y0)，∴m＝eq\f(y0,x0＋3)，n＝eq\f(－y0,x0－3)，mn＝－eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－9)，又∵yeq\o\al(2,0)＝－eq\f(b2,9)(xeq\o\al(2,0)－9)，∴mn＝eq\f(b2,9)，点A到直线y＝eq\r(1－mn)x的距离为d＝eq\f(3\r(1－mn),\r(1－mn＋1))＝eq\f(3\r(1－\f(b2,9)),\r(2－\f(b2,9)))＝1，解得b2＝eq\f(63,8)，∴c2＝9－eq\f(63,8)＝eq\f(9,8)，∴c＝eq\f(3,2\r(2))，∴e＝eq\f(c,3)＝eq\f(\r(2),4)，故选B.1．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5答案A解析由题意知|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.2．(2018·开封模拟)曲线C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线C2：eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等答案D解析因为ceq\o\al(2,1)＝25－9＝16，ceq\o\al(2,2)＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\r(2)C．2 D.eq\f(\r(2),2)答案D解析由题意得，椭圆的右焦点F为(c,0)，上顶点B为(0，b)．因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c－12＋1＝2，,1＋b－12＝2，))解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得a＝2eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故选D.＝2eq\r(3)，则∠F1PF2等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案D解析因为eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，O为坐标原点，|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|PO|＝eq\r(3)，又|OF1|＝|OF2|＝eq\r(3)，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝eq\f(π,2).5．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝9，则|PF1|·|PF2|的值为()A．8 B．10C．12 D．15答案D解析由椭圆方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝eq\o(PF2,\s\up6(→))－eq\o(PF1,\s\up6(→))，所以|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PF2,\s\up6(→))－eq\o(PF1,\s\up6(→))|，两边同时平方，得|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2－2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.6．(2017·湖南百校联盟联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案A解析∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为eq\f(bc,a)，即|OC|＝eq\f(bc,a)，∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，代入椭圆方程得eq\f(a＋c2,4a2)＋eq\f(c2b2,a2b2)＝1，∴5e2＋2e－3＝0，又0<e<1，∴e＝eq\f(3,5).故选A.7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c＝8，,\f(c,a)＝0.8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,c＝4，))又b2＝a2－c2，∴b2＝9，当焦点在x轴上时，椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.8．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．答案eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1解析设切点坐标为(m，n)，则eq\f(n－1,m－2)·eq\f(n,m)＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝20，∴椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1.

9．(2017·湖北重点中学联考)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与椭圆C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－eq\r(2)，0)，且四边形ABCD的面积为eq\f(16,3)，则椭圆C1的离心率e为________．答案eq\f(\r(2),2)解析联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(y2,a2)＋\f(x2,b2)＝1，))两式相减得eq\f(x2－y2,a2)＝eq\f(x2－y2,b2)，又a≠b，所以x2＝y2＝eq\f(a2b2,a2＋b2)，故四边形ABCD为正方形，eq\f(4a2b2,a2＋b2)＝eq\f(16,3)，(*)又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(\r(2),2).10．(2017·湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．答案eq\f(7\r(3),3)解析由圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径eq\r(3)，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d＝eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(－3y2－2y＋5)＝eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)))2＋\f(16,3))，∵－1≤y≤1，∴当y＝－eq\f(1,3)时，d取最大值eq\f(4\r(3),3)，∴P，Q两点间的最大距离为dmax＋eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3).11．(2017·陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解(1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以＝eq\f(1,2)|yP|×2c＝eq\f(1,2)×4×6＝12.12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，m>0.∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，∴m>eq\f(m,m＋3)，∴a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).13．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)答案A解析∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝eq\r(3)c，由椭圆定义可得|MF1|＋|M