寒假作业08乘法公式（18道经典题型4道中考真题）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业08乘法公式1.平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差，即：(a+b)(ab)=a2b2.注：=1\*GB3①字母a、b仅是一个表达式，既可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式.=2\*GB3②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，再利用公式，特别需要注意“”的处理.2.完全平方和公式：等于两式平方和加2倍的积，即：.3.完全平方差公式：等于两式平方和减2倍的积，即：.注：=1\*GB3①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；=2\*GB3②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式.拓展：利用可推导出一些变式：=1\*GB3①；=2\*GB3②.注：在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来.1．下列计算中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】、，正确，故A不符合要求；、，错误，故B符合要求；C、，正确，故C不符合要求；、，正确，故D不符合要求.故选B．2．计算时，下列变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故选D．3．如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后拼成如图2所示的梯形，通过计算图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，两个图形中阴影部分的面积相等，，故选D．4．若，则的值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】（xy）2+4xy1=x22xy+y2+4xy1=x2+2xy+y21=（x+y）21，当x+y=3时，原式=321=8．故选C．5．计算的结果为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】.故选A.6．的计算结果的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】，∵，，，，，…，∴可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，又，∴的个位数字为6，故选B．7．若代数式是关于x的完全平方式，则实数．【答案】【解析】∵代数式是关于x的完全平方式，，∴，故答案为．8．已知，则的值是．【答案】7【解析】∵，∴，则，故答案为7.9．化简：=_______.【答案】【解析】.10．已知，，求下列代数式的值．(1)；(2).【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2）．11．已知是完全平方式，为常数，则的值为(

)A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【解析】∵是完全平方式，∴，解得：或，故选C．12．四个全等的直角三角形纸片围成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接四条线段，，，，得到如图所示的图形，已知每个直角三角形纸片的两条直角边长分别，（即，），图中阴影部分的面积为S，则S的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵四个全等的直角三角形纸片围成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴．∵，∴，∴．13．已知，，，则代数式的值是．【答案】3【解析】∵，，，∴，则．故答案为：3．14．综合与探究：图1是一个长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系：________；(2)若，，求的值；(3)若x满足，求的值．【解析】（1）观察图2，可得四块小长方形的面积为或，∴.故答案为．（2）根据（1）可得，因为，，所以．（3）设，，则，．因为，所以．15．阅读与思考：我们已经学了两数和（差）的平方公式：，我们把和这样的式子叫做完全平方式．下面就二项式添上一个单项式成为一个完全平方式进行分析：因为，现分三种情况：①将看作看作，那么可添加中间项，即添加为添加为；②将看作看作中间项，那么可添加，由于不是单项式，所以不符合题意，舍去；③……任务：(1)上面材料中的分析过程，主要运用的数学思想是________．A．数形结合

B．整体思想

C．分类讨论

D．方程思想(2)请参照①②的解答过程，写出③中另一种情况，并总结添加一个单项式成为完全平方式可添加的所有单项式．【解析】（1）题目中分①②③三种情况讨论，主要运用的数学思想是分类讨论，故选C.（2）根据①②的分析过程可得③的情况为：把看作中间项，1看作，那么可添加，即，∴添上一个单项式成为一个完全平方式可添加的所有单项式为，；16．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；；②若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，已知，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，故答案为：．17．【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，杨辉三角是公元1261年，我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵．由于杨辉在书中引用了贾宪著的“开方作法本源”图和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”．在欧洲，这个三角形叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间．【问题解决】如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数等．(1)根据上面的规律，写出的展开式；(2)利用上面的规律计算：．【解析】（1）；（2）．18．阅读下列材料，完成相应的任务：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式．即用方法甲计算某图形面积表示为A，用方法乙计算同一图形面积表示为B，进而得到等式，我们称这一方法为“算两次”．初步感知：运用“算两次”的方法计算图1中最大正方形的面积，可得等式：_________．方法应用：如图2，将四个直角边为、斜边为的等腰直角三角形拼成正方形．用“算两次”的方法计算正方形的面积，可得：，，则与之间满足的等式为_________．任务：(1)补全由图1得到的等式：；(2)写出由图2得到的等式：；(3)将四个直角边分别为，斜边为的直角三角形按图3的方式拼成正方形和正方形，请用“算两次”的方法验证等式“”．【解析】（1）由面积公式可得：，故答案为.（2）由等面积法可得：，故答案为.（3），，根据题意，得，所以．19．（2023年四川省巴中市中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．当代数式的值为1时，则x的值为（

）A．2 B． C．2或4 D．2或【答案】C【解析】由规律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故选C．20．（2023年四川省攀枝花市中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：①

②

③

④

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选．21．（2023年江苏省宿迁市中考真题）若实数m满足，则．【答案】【解析】,,.故答案为．22．（2023