人教B版必修一课后作业第二章　函数章末复习课

学习目标1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．1．知识网络2．重要技能(1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等．(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出函数图象，要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象．(3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题．课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作．3．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．(3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．(4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质．类型一函数概念及性质命题角度1函数三要素例1某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b(k≠0)，当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，∴y＝－2x＋24.依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x∈N＋，,y＝－2x＋24≥0.))解得定义域为{x∈N＋|0≤x≤12}．(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N＋.所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7920.故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.反思与感悟建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束．跟踪训练1如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；(2)求△APM面积的最大值及此时点P位置．解(1)根据题意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，0<x<1，,\f(3,4)－\f(x,4)，1≤x＜2，,\f(5,4)－\f(1,2)x，2≤x＜\f(5,2).))f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2，eq\f(5,2))＝(0，eq\f(5,2))．(2)易知f(x)在(0,1)上为增函数，在[1，eq\f(5,2))上为减函数，∴当x＝1时，f(x)max＝eq\f(3,4)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).命题角度2函数的性质及应用例2已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.(1)证明由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)可得f(x＋y)－f(x)＝f(y)．在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)．∵x1>x2，∴x1－x2>0.又x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)－f(x2)<0.由定义可知f(x)在R上是减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数；∴f(x)在[－3,3]上也是减函数；∴f(－3)最大，f(3)最小．又f(1)＝－eq\f(2,3)，∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×(－eq\f(2,3))＝－2.∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)＝f(1)－f(3)－f(1)＝－f(3)＝2.即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.(3)解由(2)知f(－3)＝2，f(x)－f(－x)>2即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，由(1)知f(x)在R上为减函数，∴f(x)>f(－3－x)⇔x<－3－x，解得解集为{x|x<－eq\f(3,2)}．反思与感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．跟踪训练2函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．类型二函数图象的画法及应用例3对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．图象关于y轴对称．(2)f(x)＝x2－2|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＝x－12－1，x≥0，,x2＋2x＝x＋12－1，x<0.))画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值．单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．反思与感悟画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．跟踪训练3已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝eq\f(1,2)的所有解的和．解当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x.又∵f(x)为奇函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.即x∈[－1,1]时，f(x)＝x.又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f(x)在[－3,5]上的图象如下：在同一坐标系内画出y＝eq\f(1,2)的图象，由图可知在[－3,5]上共有四个交点，∴f(x)＝eq\f(1,2)在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，∴eq\f(x1＋x4,2)＝1，eq\f(x2＋x3,2)＝1.∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.类型三二次函数的图象及性质例4已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值是1，且g(x)＋f(x)是奇函数，求f(x)的表达式．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则g(x)＋f(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3为奇函数，故有(a－1)x2＋bx＋c－3＝－[(a－1)x2－bx＋c－3]，∴(a－1)x2＋bx＋c－3＝－(a－1)x2＋bx－(c－3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,c－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝3.))∴f(x)＝x2＋bx＋3＝(x＋eq\f(b,2))2＋3－eq\f(1,4)b2，∵f(x)在区间[－1,2]上的最小值为1，∴需分下列3种情况讨论：①当－1≤－eq\f(b,2)≤2，即－4≤b≤2时，3－eq\f(b2,4)＝1，b2＝8，b＝±2eq\r(2)，∵b＝2eq\r(2)＞2，∴b＝－2eq\r(2)，∴f(x)＝x2－2eq\r(2)x＋3.②当－eq\f(b,2)＞2，即b＜－4时，f(x)的最小值是f(2)．∴f(2)＝7＋2b＝1，b＝－3，舍去．③当－eq\f(b,2)＜－1，即b＞2时，f(x)的最小值是f(－1)．∴f(－1)＝4－b＝1，b＝3.∴f(x)＝x2＋3x＋3.综上所述，f(x)＝x2－2eq\r(2)x＋3，或f(x)＝x2＋3x＋3.反思与感悟(1)对于二次函数，根据题目条件选择恰当的解析式的形式．(2)二次函数是典型的轴对称图形，用好对称轴是解决问题的一个关键．(3)研究二次函数在给定区间上的最值问题，往往需要讨论对称轴与区间的关系．在分类讨论时，要按照一定顺序，注意不重不漏．跟踪训练4已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；(2)是否存在实数a，当a＞1时，f(x)的定义域和值域都是[1，a]，若存在，求出a，若不存在，说明理由．解(1)∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x2－2x＋3)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，∴f(x)的顶点坐标为(1,1)，单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)．(2)假设存在实数a满足条件．∵x＝1是f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)的对称轴，故[1，a]是函数f(x)的递增区间且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,fa＝a.))∵f(a)＝eq\f(1,2)a2－a＋eq\f(3,2)，∴eq\f(1,2)a2－a＋eq\f(3,2)＝a，∴a＝1或a＝3.又a＞1，∴a＝3.∴存在实数a＝3，使f(x)的定义域和值域均为[1，a]．1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点()A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有答案C解析若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1，))则f(x)的最大值，最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对答案A解析当x∈[1,2]时，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(1)＝8.当x∈[－1,1]时，f(x)max＝f(1)＝8，f(x)min＝f(1)＝6.∴x∈[－1,2]时，f(x)max＝10，f(x)min＝6.3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,x2－x－3，x>1，))则f(eq\f(1,f3))的值为()A.eq\f(15,16)B．－eq\f(27,16)C.eq\f(8,9)D．18答案C解析∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，∵eq\f(1,3)<1，∴f(eq\f(1,f3))＝f(eq\f(1,3))＝1－(eq\f(1,3))2＝eq\f(8,9).4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A．－3 B．－1C．1 D．3答案C解析f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.5．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－eq\f(3,2))与f(a2＋2a＋eq\f(5,2))的大小关系是()A．f(－eq\f(3,2))>f(a2＋2a＋eq\f(5,2))B．f(－eq\f(3,2))<f(a2＋2a＋eq\f(5,2))C．f(－eq\f(3,2))≥f(a2＋2a＋eq\f(5,2))D．f(－eq\f(3,2))≤f(a2＋2a＋eq\f(5,2))答案C解析因为a2＋2a＋eq\f(5,2)＝(a＋1)2＋eq\f(3,2)≥eq\f(3,2)，又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以f(a2＋2a＋eq\f(5,2))≤f(eq\f(3,2))＝f(－eq\f(3,2))．1．集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能．2．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．3．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．4．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．课时作业一、选择题1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实数根 B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.2．函数f(x)＝eq\f(\r(4－x),x－3)的定义域为()A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3,4]C．[－2,2] D．(－1,2]答案B解析f(x)中的x需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x≥0，,x－3≠0，))解得x≤4且x≠3，故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．3．若函数f(x)＝eq\f(x,2x＋12x－a)为奇函数，则a等于()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案A解析由题意得f(－x)＝－f(x)，则eq\f(－x,－2x＋1－2x－a)＝eq\f(x,－2x＋12x＋a)＝－eq\f(x,2x＋12x－a)，则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，所以2－2a＝－(2－2a)，所以a＝1.4．若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为()A．0＜a≤eq\f(1,5) B．0≤a≤eq\f(1,5)C．0＜a＜eq\f(1,5) D．a＞eq\f(1,5)答案B解析当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－eq\f(a－1,a)，∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，∴图象开口朝上，a＞0且－eq\f(a－1,a)≥4，得0＜a≤eq\f(1,5).当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．综上知，0≤a≤eq\f(1,5).5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥2，,fx＋3，x<2，))则f(1)－f(3)等于()A．－7B．－2C．7D．27答案C解析由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，f(3)＝32＋1＝10，故f(1)－f(3)＝17－10＝7.6．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()答案A解析函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C、D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.7．函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，则()A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2答案D解析设x1<x2，f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.∵x2－x1>0，又已知x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在R上是增函数．∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.二、填空题8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．答案[0，＋∞)解析利用函数f(x)是偶函数，得k－1＝0，k＝1，所以f(x)＝－x2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．9．如果函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>0，,fx，x<0))是奇函数，则f(x)＝________.答案2x＋3解析设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.∵g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.10．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是________．答案(－3,1)解析因为函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数．要使f(3－m2)>f(2m)，只需3－m2>2m，解得－3<m<1.三、解答题11．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．解f(x)＝4(x－eq\f(a,2))2－2a＋2，①当eq\f(a,2)≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±eq\r(2).∵a≤0，∴a＝1－eq\r(2).②当0<eq\f(a,2)<2，即0<a<4时，f(x)min＝f(eq\f(a,2))＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a＝－eq\f(1,2)∉(0,4)，舍去．③当eq\f(a,2)≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±eq\r(10).∵a≥4，∴a＝5＋eq\r(10).综上所述，a＝1－eq\r(2)或a＝5＋eq\r(10).12．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．解(1)设AM＝y，AD＝x，则x2＋4xy＝200，∴y＝eq\f(200－x2,4x).故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)(0<x<10eq\r(2))．(2)令t＝x2，则Q＝38000＋4000(t＋eq\f(100,t))，且0<t<200.∵函数u＝t＋eq\f(100,t)在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增，∴当t＝10时，umin＝20.故当x＝eq\r(10)时，Qmin＝118000(元)．13．已知函数f(x)＝eq\f(mx2＋2,3x＋n)是奇函数，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．解(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq\f(mx2