专题培优课　构造法求数列的通项公式

专题培优课构造法求数列的通项公式【考情分析】构造法求数列的通项公式是高考的一个热点内容，主、客观题均可出现．关键能力·题型剖析题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型角度一an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1[2024·江西景德镇模拟]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝4an－6，则a2023＝()A．－42023＋2 B．－42023－2C．－42022＋2 D．－42022－2[听课记录]题后师说形如an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)求an的一般步骤角度二an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．[听课记录]题后师说形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)求an的一般步骤角度三an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)例3[2024·江西宜春模拟]已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝()A．－3×2n－1 B．3×2n－1C．5n＋3×2n－1 D．5n－3×2n－1[听课记录]题后师说形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)求an的一般步骤巩固训练1(1)[2024·重庆万州模拟]若数列{an}满足a1＝1，1an+1＝2an＋1，则a9A．1210-1B．129-1C．210－1(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，则数列{an}的通项公式an＝()A．(n＋1)·2n－1 B．n·2n＋1C．n·2n D．n·2n－1(3)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1－2an＝n＋1，则an＝________．题型二形如an＋1＝pan＋qan－1(a≥2，n∈N*)例4已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[听课记录]题后师说形如an＋1＝pan＋qan－1求an的一般步骤巩固训练2已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝()A．47B．48C．49D．410题型三形如an＋1＝pa例5(多选)已知数列{an}满足a1＝35，an＋1＝3an1+2an(n∈N*A．数列{1an－B．an<1C．∃k∈N*，ak>ak＋1D．1a1+1a2＋…[听课记录]题后师说形如an＋1＝panqan+r巩固训练3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an3-an(n∈N*)，则a1．[2024·河南许昌模拟]已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则{an}的通项公式为()A．an＝2n－1 B．an＝2n－1－1C．an＝2n D．an＝2n－12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则S10＝()A．410-15B．411-15C．410－13．已知数列{an}的首项a1＝1，且1an+1＝3an＋2，则数列{an4．已知数列{an}满足2an－an－1＝3·2n－1(n≥2)，且a2＝32a1，则an＝________专题培优课构造法求数列的通项公式关键能力·题型剖析例1解析：由an＋1＝4an－6，得an＋1－2＝4(an－2)，而a1－2＝－1，因此数列{an－2}是首项为－1，公比为4的等比数列，则an－2＝－1×4n－1，即an＝－4n－1＋2，所以a2023＝－42022＋2.故选C.答案：C例2解析：∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴an+1-n+1∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.例3解析：在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得an+15n+1＝25×an5n+35①，令bn＝an5n，则①式变为bn＋1＝25bn＋35，即bn＋1－1＝25(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝a15－1＝－35，公比为25，所以bn－1＝－35×(25)n－1，即bn＝1－35×(25)n－1，所以an5n＝答案：D巩固训练1解析：(1)因为a1＝1，1an+1＝2an＋1，所以1an+1＋1＝2(1an＋1)，又1a1＋1＝2，所以数列{1an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以1an＋1＝2n，(2)an＋1＝2an＋2n⇒an+12n＝an2n-1＋1，所以{an2n-1}是首项为1，公差为1的等差数列，故an2n-1＝1＋(n－1)＝n，(3)an＋1－2an＝n＋1⇒an＋1＋(n＋3)＝2(an＋n＋2)，所以数列{an＋n＋2}是以1＋1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，因此an＋n＋2＝4·2n－1⇒an＝2n＋1－n－2.答案：(1)B(2)D(3)2n＋1－n－2例4解析：由an＋1＝2an＋3an－1，可得an＋1＋an＝3(an＋an－1)，即an+1+a所以{an＋1＋an}是以a1＋a2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，则an+13n+1+1不妨令cn＝an3n，则cn＋1＋13c所以cn＋1－14＝－13(cn－14)，即c又由c1－14＝a13所以数列{cn－14}是首项为112，公比为－13所以cn－14＝112×(－13)n－1所以an＝3n巩固训练2解析：数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＋an－1＝4(an－1＋an－2)(n≥3)，整理得an+an-1an-1+an-2＝4(常数)，数列{an＋an＋1}是以4为首项，4为公比的等比数列；所以an＋an＋1＝4×4n－1＝4n.所以a9答案：C例5解析：对于A，依题意an≠0，由an＋1＝3an2an+1两边取倒数可得1an+1＝2an+13an＝13·1an+23，两边同时减去1，整理得1an+1－1＝13(1an对于B，1an－1＝23(13)n－1＝23n，∴1an＝23n对于C，易知1an＝23n＋1关于n单调递减，∴数列{1an}是递减数列，又an>0，∴数列{an对于D，1a1+1a2＋…＋1an＝(231＋1)＋(232＋1)＋…＋(23n＋1)＝2(131+132＋…＋13n)答案：ABD巩固训练3解析：由an＋1＝an3-an得1an+1＝即1an+1-12＝3(1an-则1an-12＝(1a1-12)3所以1an＝12·3n－1＋12＝3n-1+12，得an＝2答案：23n-1+1(n∈随堂检测1．解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.故选D.答案：D2．解析：因为an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝3≠0，所以an+an-1an-1+an-2＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为3，则数列{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为42＝16，首项为3.所以答案：A3．解析：∵1an+1＝3an＋2，等式两边同时加1整理得1an+1＋1＝3(1an＋1)，又∵a1＝1，∴1a1＋1＝2，∴{1an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列．∴1a