104三元一次方程组-2020-2021学年七年级数学下册课堂帮帮帮（苏科版）

三元一次方程组知识点一、三元一次方程组的概念1. 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程；2. 三元一次方程组必须同时满足的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次.知识点二、解三元一次方程组1. 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．2. 解三元一次方程组的一般步骤（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．例：解三元一次方程组3x-A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数【分析】利用加减消元法判断即可．【解答】解：解三元一次方程组3x-4y=14x-6y-z=2故选：C．【点评】此题考查看解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．巩固练习一．选择题（共12小题）1．方程组x+y-A．x=7y=-8z=9 B．C．x=2y=3z=3 D【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：x+y-②+③得：x+y＝﹣1④，把④代入①得﹣1﹣z＝8，解得：z＝﹣9，把z＝﹣9代入②得：y＝10，把z＝﹣9代入③得：x＝﹣11，则方程组的解为x=-故选：D．【点评】此题了考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列说法正确的个数是（）①多项式3ab﹣a+2是关于a，b的二次三项式；②方程x+2y＝5有2组非负整数解；③5.5°＝5°50′；④已知x+2y-z=4x-y+z=-1，则x+yA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据多项式概念判断①即可；根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断；根据度分秒的换算即可判断③；根据方程组的解即可判断④．【解答】解：①多项式3ab﹣a+2是关于a，b的二次三项式，故①正确；②方程x+2y＝5的非负整数解是x＝3，y＝1或x＝5，y＝0或x＝1，y＝2，故②错误；③5.5°＝5°30′，故③错误；④已知x+2y-z=4①x-y+z=-1②，则①+②得，2x+y＝故选：A．【点评】本题考查了解三元一次方程，多项式的概念、二元一次方程的解、度分秒的换算等知识，属于基础题．3．解三元一次方程组x-A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③【分析】观察发现：第三个方程不含z，故前两个方程相加消去z，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．【解答】解：解三元一次方程组x-y+z=-3①故选：A．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．解方程组2x+y=292y+z=292z+x=32得A．18 B．11 C．10 D．9【分析】先由①×2﹣②得出4x﹣z＝29④，再由④×2+③得到9x＝90，即可求得x＝10．【解答】解：2x+y=29①①×2﹣②得：4x﹣z＝29④，④×2+③得：9x＝90，解得x＝10，故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组，先转化为二元一次方程组，求出二元一次方程组的解，再求出第三个未知数的值．5．关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则kA．-34 B．34 C．43【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k．【解答】解：解方程组x+y=5kx-y=9k得：x=7k∵关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6∴代入得：14k﹣6k＝6，解得：k=3故选：B．【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键．6．已知y＝ax2+bx+c当x＝﹣2时，y＝9；当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5，则a+b﹣c的值是（）A．5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】把x与y的三对值代入计算求出a，b，c的值，进而求出所求．【解答】解：把x＝﹣2，y＝9；x＝0，y＝3；x＝2，y＝5代入得：4a-解得：a=1b=-1则a+b﹣c＝1﹣1﹣3＝﹣3．故选：B．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．已知方程组2x+y-z=-35x-2y-z=3，则x2﹣2A．1 B．2 C．4 D．9【分析】方程组利用加减消元法消去z求出x﹣y的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：2x+y-②﹣①得：3x﹣3y＝6，整理得：x﹣y＝2，则原式＝（x﹣y）2＝4，故选：C．【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及完全平方公式，熟练掌握方程组的解法及完全平方公式是解本题的关键．8．解方程组2x-A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项【分析】分析方程组中各未知数系数的特征，判断即可．【解答】解：解方程组2x-y+7z=53x+y+5z=7故选：B．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9．方程组a-b+c=0，A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19【分析】方程利用加减消元法消去c，即可作出判断．【解答】解：a-②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，故选：B．【点评】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．解方程组2x-3y+2z=2①3x+4y-2z=5②4x+5y-4z=2③A．①+②①×2+③ B．①+②②×2-③ C【分析】分别按下列操作完成后，即可做出判断．【解答】解：A．①+②得5x+y＝7，①×2+③得8x﹣y＝6，故A正确；B．①+②得5x+y＝7，②×2﹣③得：2x+3y＝8，故B错误；C．①+②得5x+y＝7，①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，故C错误；D．①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，①×2+③得8x﹣y＝6，故D错误；故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．11．已知x，y，z为3个非负数，且满足3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，若S＝2x+y﹣z，则S的最大值与最小值的和为（）A．5 B．234 C．274 D【分析】联立已知等式，用S表示出x，y，z，由x，y，z为非负数确定出S的范围，即可求出最值．【解答】解：由3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，S＝2x+y﹣z，解得：x＝S﹣2，y=15-4S3，z由题意得：S﹣2≥0，15-4S3≥0，3-S解得：2≤S，S≤154，S≤3，即2≤S≤则S的最大值为154，最小值为2，之和为23故选：B．【点评】此题考查了解三元一次方程组，用S表示出x，y，z是本题的突破点．12．已知实数x，y，z满足x+y+z=74x+y-2z=2，则代数式3（x﹣z）+1A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【分析】将方程组x+y+z=7①4x+y-2z=2②②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z【解答】解：方程组x+y+z=7①②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1得：﹣5+1＝﹣4，即代数式3（x﹣z）+1的值是﹣4，故选：B．【点评】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．二．填空题（共8小题）13．三元一次方程组x+y=10y+z=20z+x=40的解是x=15【分析】将方程组三方程相加求出x+y+z的值，即可确定出解．【解答】解：x+y=10①①+②+③得：2（x+y+z）＝70，即x+y+z＝35④，把①、②、③分别代入④得：z＝25，x＝15，y＝﹣5，则方程组的解为x=15y=-5故答案为：x=15y=-5【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．14．已知方程组x+y-5z=0x-y+z=0，则x：y：z＝2：3：【分析】先解方程组，用含z的代数式表示x、y，再求x：y：z．【解答】解：x+y-①+②，得2x﹣4z＝0，∴x＝2z．①﹣②，得2y﹣6z＝0，∴y＝3z．∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．故答案为：2：3：1．【点评】本题考查了三元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．15．如果x+y=5y+z=6x+z=7，则x+y+z＝9【分析】方程组三方程相加即可求出x+y+z的值．【解答】解：x+y=5①①+②+③得：2（x+y+z）＝18，即x+y+z＝9，故答案为9．【点评】此题考查三元方程组的问题，关键是把三个方程相加解答．16．三元一次方程组x+y+z=13y+z=10x+y-2z=-5的解是x=3【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：x+y+z=13①①﹣③得：3z＝18，解得：z＝6，把z＝6代入②得：y＝4，把y＝4，z＝6代入①得：x＝3，则方程组的解为x=3y=4故答案为：x=3y=4【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元与加减消元法．17．已知a﹣3b+c＝8，7a+b﹣c＝12，则5a﹣4b+c＝18．【分析】两式相加，得关于a、b的关系式，再与第一个式子相加得结论．【解答】解：由题意：a﹣3b+c＝8①，7a+b﹣c＝12②，②+①，得8a﹣2b＝20．所以4a﹣b＝10③．所以①+③，得5a﹣4b+c＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了三元一次方程组．根据要求整式的系数特点，利用整体代入是解决本题的关键18．对于方程组x-y+z=-3x+y-2z=9，若消去z可得含x、y的方程是3x﹣y＝3（含x【分析】①×2+②得出3x﹣y＝3即可．【解答】解：x①×2+②得：3x﹣y＝3，故答案为：3x﹣y＝3．【点评】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组．19．已知有理数x，y，z满足条件：|x﹣z﹣2|+|3x﹣6y﹣7|+（3y+3z﹣4）2＝0，则xyz＝1．【分析】已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，可组成方程组，求x、y、z的值，即可求得xyz的值．【解答】解：根据非负数的性质，得x①×3﹣②，得6y﹣3z+1＝0④④+③，得9y＝3，解得y=1把y=13代入④得z＝把z＝1代入①得x＝3．∴xyz＝3×13×1故答案为1．【点评】考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，三元一次方程组的解法，代数式求值，综合题，难度较大．20．已知x，y，z为三个非负实数，满足x+y+z=302x+3y+4z=100，若s＝3x+2y+5z，则s的最小值为90【分析】把x+y+z=302x+3y+4z=100看作为关于x和y的二元一次方程组，然后利用加减消元法可得到x＝z﹣10，y＝﹣2z+40，把x＝z﹣10，y＝﹣2z+40代入s＝3x+2y+5z中得S＝4z+50，再根据x，y，z为三个非负实数，即z﹣10≥0，﹣2z+40≥0，z≥0，解得10≤z≤20【解答】解：x+y+z=30①①×3﹣②得3x﹣2x+3z﹣4z＝﹣10，解得x＝z﹣10，①×2﹣②得2y﹣3y+2z﹣4z＝﹣40，解得y＝﹣2z+40；∵x＝z﹣10，y＝﹣2z+40；∴S＝3（z﹣10）+2（﹣2z+40）+5z＝4z+50，∵x，y，z为三个非负实数，∴z﹣10≥0，﹣2z+40≥0，z≥0，∴10≤z≤20，当z＝10时，S有最小值，最小值＝40+50＝90．故答案为90．【点评】本题考查了三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．也考查了一次函数的性质．三．解答题（共5小题）21．解方程组：（1）2x+y=42y+1=5x（2）2x+y=10x-y+z=4【分析】（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．【解答】解：（1）2x+y=4①由①得：y＝4﹣2x③，把③代入②得：2（4﹣2x）+1＝5x，解得：x＝1，把x＝1代入③得：y＝2，∴方程组的解为x=1y=2（2）2x+y=10①②+③得：2x﹣y＝2④，①+④得：4x＝12，解得x＝3，把x＝3代入④得：y＝4，把x＝3，y＝4代入②得：z＝5，∴方程组的解为x=3y=4【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法、代入消元法解方程组．22．下表给出了代数式ax2+bx+c与x的一些对应值：x…01234…ax2+bx+c…3m﹣10n…（1）利用表中所给数值求出a，b，c的值；（2）直接写出：m＝0，n＝3；（3）设y＝ax2+bx+c，则当x取何值时，y＜0．【分析】（1）根据题意得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求得结果；（2）当x＝1代数式x2+bx+c的值为0可计算出m，同理求得n＝0；（3）根据抛物线的性质得抛物线开口向上，然后找出x轴下方的抛物线所对应的自变量的范围即可；【解答】解：（1）根据题意得c=34a+2b+c=-19a+3b+c=0，解得∴a，b，c的值分别为1，﹣4，3．（2）当x＝1时，x2﹣4x+3＝1﹣4+3＝0，当x＝4时，x2﹣4x+3＝16﹣16+3＝3；∴m＝0，n＝3，故答案为0，3；（3）因为抛物线y＝x2﹣4x+3的开口向上，当1＜x＜3时，y＜0．【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式；也考查了二次函数的性质和二次函数图象与x轴的交点．23．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一组“好解”；x=1y=2z=3（1）求方程x+2y＝5的所有“好解”；（2）关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27【分析】（1）分别计算y＝0、1、2对应的x的值得到方程x+2y＝5的“好解”；（2）先利用加减消元法得到k＝6﹣2y，x＝9+y，则利用x、y、k为非负整数得到y＝0、1、2，然后计算出对应的x、k的值，从而得到方程组的“好解”．【解答】解：（1）当y＝0时，x＝5；当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，所以方程x+2y＝5的所有“好解”为x=5y=0或x=3y=1或（2）有．x+y+k=15①②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，∵x、y、k为非负整数，∴6﹣2y≥0，解得y≤3，∴y＝0、1、2，当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0∴关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27的“好解”为x=9y=0k=6或x=10y=1k=4【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减法，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后解二元一次方程组．24．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝11．（1）求a，b，c的值；（2）小苏发现：当x＝﹣1或x=53时，【分析】（1）由“当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝11”即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）把x＝﹣1，x=53分别代入等式求得【解答】解：（1）根据题意，得c=-②﹣③，得4b＝﹣8，解得b＝﹣2；把b＝﹣2，c＝﹣