第04讲 三角函数与解三角形（2022-2024高考真题）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第04讲三角函数与解三角形（2022-2024高考真题）（新高考专用）一、单项选择题1．（2024·全国·高考真题）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=π3，b2=9A．23913 B．3913 C．7【解题思路】利用正弦定理得sinAsinC=13【解答过程】因为B=π3,由余弦定理可得:b2即:a2+c所以(sin因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0故选：C.2．（2023·北京·高考真题）在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA．π6 B．π3 C．2π【解题思路】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解答过程】因为(a+c)(sin所以由正弦定理得(a+c)(a−c)=b(a−b)，即a2则a2+b又0<C<π，所以C=故选：B.3．（2023·全国·高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcosA=c，且C=πA．π10 B．π5 C．3π10【解题思路】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得∠A的值，最后利用三角形内角和定理可得∠A的值.【解答过程】由题意结合正弦定理可得sinA即sinA整理可得sinBcosA=0，由于B∈据此可得cosA=0,A=则B=π故选：C.4．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为（

）A．22 B．32 C．42【解题思路】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得△PDO≅△PCO，△PDB≅△PCA，从而得到PA=PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，从而求得PB=17，由此在法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，cos∠PCB=13，从而求得PA⋅PC=−3【解答过程】法一：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=42，则DO=CO=2又PC=PD=3，PO=OP，所以△PDO≅△PCO，则∠PDO=∠PCO，又PC=PD=3，AC=BD=42，所以△PDB≅△PCA，则PA=PB在△PAC中，PC=3,AC=42则由余弦定理可得PA故PA=17，则PB=故在△PBC中，PC=3,PB=17所以cos∠PCB=又0<∠PCB<π，所以sin所以△PBC的面积为S=1法二：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=42在△PAC中，PC=3,∠PCA=45°，则由余弦定理可得PA2=A所以cos∠APC=PA不妨记PB=m,∠BPD=θ，因为PO=12即PA2则17+9+2×−3=m又在△PBD中，BD2=PB2两式相加得2m2−34=0故在△PBC中，PC=3,PB=17所以cos∠PCB=又0<∠PCB<π，所以sin所以△PBC的面积为S=1故选：C.5．（2023·全国·高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A．15 B．25 C．35【解题思路】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【解答过程】取AB的中点E，连接CE,DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB，又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB，从而∠CED为二面角C−AB−D的平面角，即∠CED=150

显然CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC=CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2，则CE=1,DE=3，在△CDECD=C由正弦定理得DEsin∠DCE=显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为35故选：C.二、填空题6．（2023·全国·高考真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则2．【解题思路】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．【解答过程】如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22因为b>0，解得：b=1+3由S△ABC12解得：AD=3故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2−2×2×b×由正弦定理可得，6sin60∘=b因为1+3>6>2又∠BAD=30∘，所以∠ADB=75故答案为：2．7．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=14c2a2−c2+a2−b22【解题思路】根据题中所给的公式代值解出．【解答过程】因为S=14c故答案为：2348．（2022·全国·高考真题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=3−1【解题思路】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC【解答过程】[方法一]：余弦定理设CD=2BD=2m>0，则在△ABD中，AB在△ACD中，AC所以A≥4−12当且仅当m+1=3m+1即所以当ACAB取最小值时，m=故答案为：3−1[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，3），B（-t,0），∴A当且仅当t+1=[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得{c2={c2=令ACAB=t，则∴t∴t当且仅当x+1=3x+1，即[方法四]：判别式法设BD=x，则CD=2x在△ABD中，AB在△ACD中，AC所以AC2A则(4−t)由方程有解得：Δ即t2−8t+4≤0所以tmin=4−2所以当ACAB取最小值时，x=3−1故答案为：3−19．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A满足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°，则∠BCA=7.8°.【解题思路】设∠BCA=θ，在△DCA和△BCA中分别利用正弦定理得到CAsinD=【解答过程】设∠BCA=θ,∠ACD=90在△DCA中，由正弦定理得CAsin即CAsin即CAsin在△BCA中，由正弦定理得CAsin即CAsin180∘因为CD=CB，②①得sin利用计算器即可得θ≈7.8故答案为：7.8∘10．（2023·全国·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=2．【解题思路】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【解答过程】如图，将三棱锥S−ABC转化为正三棱柱SMN−ABC，设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r则2r=ABsin∠ACB设三棱锥S−ABC的外接球球心为O，连接OA,OO1，则因为OA2=OO1故答案为：2.三、解答题11．（2024·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosB=(1)求a；(2)求sinA(3)求cosB−2A【解题思路】（1）a=2t,c=3t，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA，则得到（3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到cosA【解答过程】（1）设a=2t,c=3t，t>0，则根据余弦定理得b2即25=4t2+9则a=4,c=6.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sinB=再根据正弦定理得asinA=bsin法二：由余弦定理得cosA=因为A∈0,π（3）法一：因为cosB=916>0，且由（2）法一知sinB=因为a<b，则A<B，所以cosA=则sin2A=2sincosB−2A法二：sin2A=2则cos2A=2因为B为三角形内角，所以sinB=所以cosB−2A12．（2024·全国·高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+(1)求A．(2)若a=2，2bsinC=c【解题思路】（1）根据辅助角公式对条件sinA+（2）先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.【解答过程】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sinA+3cosA=2可得由于A∈(0,π)⇒A+π3方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sinA+3cosA=2，又4cos2A−4又A∈(0,π)方法三：利用极值点求解设f(x)=sinx+3显然x=π6时，f(x)f(x)max=f(A)，在开区间(0,即f′(A)=0=cos又A∈(0,π)方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设a=(1,3),根据向量的数量积公式，，则2cosa,b=2⇔根据向量共线条件，1⋅cos又A∈(0,π)方法五：利用万能公式求解设t=tanA2整理可得，t2解得tanA2=t=2−又A∈(0,π)（2）由题设条件和正弦定理2b又B,C∈(0,π)，则sinBsinC≠0于是C=πsinC=由正弦定理可得，asinA=解得b=22故△ABC的周长为2+613．（2024·全国·高考真题）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2(1)求B；(2)若△ABC的面积为3+3，求c【解题思路】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC，最后结合已知sin（2）首先求出A,B,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【解答过程】（1）由余弦定理有a2+b可得cosC=因为C∈0,π，所以从而sinC=又因为sinC=2cos注意到B∈0,所以B=π（2）由（1）可得B=π3，cosC=22，C∈而sinA=由正弦定理有asin从而a=6由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABC由已知△ABC的面积为3+3，可得3+所以c=2214．（2024·北京·高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，sin2B=(1)求∠A；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=13注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解题思路】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得B=π3，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sinB=3314，再代入式子得b=3，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC【解答过程】（1）由题意得2sinBcos则cosB≠0，则2sinB=37因为A为钝角，则A=2（2）选择①b=7，则sinB=314b=314×7=此时A+B=π选择②cosB=1314，因为B则代入2sinB=37bsin=3则S△ABC选择③csinA=523则由正弦定理得asinA=csin因为C为三角形内角，则cosC=则sin=3则S△ABC15．（2023·全国·高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2(1)求bc；(2)若acosB−bcos【解题思路】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA【解答过程】（1）因为a2=b2+（2）由正弦定理可得a=sin变形可得：sinA−B−sin而0<sinB≤1，所以cosA=−12故△ABC的面积为S△ABC16．（2023·全国·高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.【解题思路】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cosB=5(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则【解答过程】（1）由余弦定理可得：B=4+1−2×2×1×cos则BC=7，cossin∠ABC=（2）由三角形面积公式可得S△ABD则S△ACD17．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB−C【解题思路】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cos【解答过程】（1）由正弦定理可得，asinA=bsin（2）由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c=−7（舍去）．（3）由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都为锐角，因此cosC=1−25sinB−C18．（2023·全国·高考真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(1)求sinA(2)设AB=5，求AB边上的高．【解题思路】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b【解答过程】（1）∵A+B=3C，∴π−C=3C，即又2sin∴2sin∴sin∴sin即tanA=3，所以0<A<∴sin（2）由（1）知，cosA=由sinB=sin(A+C)由正弦定理，csinC=∴1∴ℎ=b⋅sin19．（2023·全国·高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为3，D为BC中点，且AD=1．(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c【解题思路】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答.【解答过程】（1）方法1：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC=π3，

则S△ADC=1在△ABD中，∠ADB=2π3即c2=4+1−2×2×1×(−12)=7sinB=所以tanB=方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC=π3，则S△ADC=1在△ACD中，由余弦定理得b2即b2=4+1−2×2×1×12=3，解得b=C=π6，过A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcos所以tanB=（2）方法1：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得c2整理得12a2+2=b又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，则2AD=AB于是4AD2+CB2又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A20．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a=6(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2A−B)【解题思路】（1）根据余弦定理a2=b（2）由（1）可求出b=2，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2A,【解答过程】（1）因为a2=b2+c2−2bccos（2）由（1）可求出b=2，而0<A<π，所以sinA=1−cos2（3）因为cosA=−14，所以π2<A<π，故0<B<π2，又sinA=故sin(2A−B)=21．（2022·浙江·高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5(1)求sinA(2)若b=11，求△ABC的面积．【解题思路】（1）先由平方关系求出sinC（2）根据余弦定理的推论cosC=a2+b2−【解答过程】（1）由于cosC=35，0<C<π，则由正弦定理知4sinA=5（2）因为4a=5c，由余弦定理，得即a2+6a−55=0，解得a=5，而sinC=所以△ABC的面积S=122．（2022·全国·高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC=