重难点13 极化恒等式与等和（高）线定理（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用极化恒等式求值】 3【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】 5【题型3利用等和线求基底系数和的值】 8【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 111、极化恒等式与等和（高）线定理极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.【知识点1极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点2等和(高)线定理】1．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；④当等和线过O点时，k=0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.【题型1利用极化恒等式求值】【例1】（2024·贵州毕节·三模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA⋅CA=7，BE⋅CE=2，则BF⋅CF=（

）A．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】利用几何关系将BA,CA,BE,CE均用BC,AD表示出来，进而将BA⋅【解答过程】依题意，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，则BA⋅BE⋅因此FD2=1,故选：B.【变式1-1】（23-24高三上·福建厦门·期末）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，则FD⋅A．−34 B．−89 C．【解题思路】根据题意，得到FD⋅FE【解答过程】因为圆半径为1BC是直径，BF=2所以|OF根据向量加法和减法法则知：FD=又DE是直径，所以OD=−则FD=−(OE+OF)⋅(OE−OF故选B.【变式1-2】（2024高三·江苏·专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB⋅AD=－7，则BC⋅DC【解题思路】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB⋅AD=(AO+【解答过程】在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3,OC=5,∴OB若AB⋅则(AO+OB)⋅(AO+OD)∴OB2=16∴BC⋅DC=(BO+OC故答案为：9.【变式1-3】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF⋅FG+GH⋅【解题思路】在平行四边形ABCD中，取HF的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.【解答过程】如图：在平行四边形ABCD中，取HF的中点O，则EF⋅FG=则EF⋅故答案为：32【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】【例2】（2024高三·全国·专题练习）半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点A．[−4，14) B．[0，4) C．[4，14] D．[4，16]【解题思路】设OA与BC交于点D，由OA+AB+AC=0得四边形OBAC是菱形，D是对角线中点，PA,PO,【解答过程】如图，OA与BC交于点D，由OA+AB+所以四边形OBAC是菱形，且OA=OB=2，则AD=OD=1，BD=DC=3由图知PB=PD+DB，∴PB⋅同理PA=PD+DA，∴PA⋅∴PA⋅∵点P是圆内一点，则0≤|PD|<3，∴故选：A.【变式2-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，PM⋅A．[−1,5] B．[−1,7]C．[0,2] D．[1,5]【解题思路】设O为△ABC外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得MN=22，再由极化恒等式推出PM⋅PN【解答过程】解：设O为△ABC外接圆的圆心，因为BD=2DA，所以当弦MN的长度最短时，MN⊥OD，在△ABC中，由正弦定理知，外接圆半径R=12⋅所以MN=2MD=2O因为PM+PN2所以PM⋅因为点P为线段BC上的动点，所以当点P与点Q重合DQ⊥BC时，|PD当点P与点C重合时，|PD在△BCD中，由余弦定理知，CD|所以|PD综上，PD∈[所以PM⋅

故选：D．【变式2-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP⋅OQ的最小值为【解题思路】根据题意，记线段PQ的中点为H，由S△OAB=1且AB=2，可得点O到直线AB的距离为d=1，由【解答过程】记线段PQ的中点为H，点O到直线AB的距离为d，则有S△OAB=1由极化恒等式可得：OP=OH故答案为：34【变式2-3】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）在面积为2的平行四边形中ABCD中，∠DAB=π6，点P是AD所在直线上的一个动点，则PB2【解题思路】取BC的中点Q，连接PQ，利用极化恒等式可得PB2结合基本不等式与四边形面积可得最小值.【解答过程】取BC的中点Q，连接PQ，则PB+PC=2∴PB2=当且仅当|PQ|=3故答案为：23【题型3利用等和线求基底系数和的值】【例3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BE=23BC，DF=34A．32 B．−112 C．1【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．【解答过程】在平行四边形ABCD中，BE=23BC所以AF=AD若AF=λAB+μAD，则故选：A．【变式3-1】（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，BE=12EC,BF=12BA+BC，点A．0 B．14 C．12 【解题思路】利用平面向量基本定理得到AP=1−kAB+12k【解答过程】因为BF=12BA+B,P,F三点共线，故可设BP=kBF，即整理得AP=k因为BE=12EC，所以A,P,E三点共线，可得AP=m所以2m3=1−km可得AP=12AB+故选：D.【变式3-2】（23-24高一上·江苏常州·期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若AC=λAE+μAF，λ,μ均为实数，则λ+μ的值为【解题思路】设AB=a,AD=b，结合几何性质用【解答过程】解：设AB=∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，∴AE=∵AC=λAE+μAF，∴AC=∴{λ+μ3∴λ+μ=7故答案为：75【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN=λ1AM+λ2BN，【解题思路】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.【解答过程】因为M，N分别为线段BC，CD的中点，所以MN=AM=BN=所以MN=(λ所以{λ1−所以λ1所以λ1+λ故答案为：25【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】【例4】（2024·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC，则A．83 B．2 C．43【解题思路】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【解答过程】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设AP=λAE+μ∵BC//EF，∴设AEAB=∴AE=kAB∴x=λk,y=μk∴2x+2y=故选：A.【变式4-1】（23-24高三上·河北沧州·期中）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点（含边界），且AP=λAB+μACλ,μ∈R

A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．0,4【解题思路】根据题意，将图形特殊化，设AD垂直平分BC于点O，的DO=2AO，当点P与点A重合和点P与点D重合时，分别求得λ+μ的最值，即可求解.【解答过程】根据题意，将图形特殊化，设AD垂直平分BC于点O，因为△BCD与△ABC的面积之比为2，则DO=2AO，当点P与点A重合时，可得AP=0，此时λ=μ=0，即λ+μ的最小值为当点P与点D重合时，可得AP=3此时λ=μ=32，即λ+μ，此时为最大值为所以λ+μ的取值范围为0,3.故选：C.【变式4-2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=λAB+μAC（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是【解题思路】根据题意，设AN=tAM，然后分t=0与【解答过程】由题意，设AN=tAM，当t=0时，AN=0，所以所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；当0<t≤1时，因为AN=λAB+μAC（所以tAM=λAB因为M、B、C三点共线，所以λt+μ综上，λ+μ的取值范围是[0,1].故答案为：[0,1].【变式4-3】（23-24高一下·广西桂林·期末）已知O为△ABC内一点，且4OA+8OB+5OC=0，点M在△OBC内（不含边界），若AM【解题思路】设AO=mAB+nAC，根据题意结合平面向量基本定理可得AO=817【解答过程】设AO=mAB+n可得OB=因为4OA即4−m整理可得8−17mAB+5−17n则8−17m=5−17n=0，解得m=8即AO=817又因为点M在△OBC内（不含边界），设OM=xOB+y可得OM=则AM=可得λ=817+且0<x+y<1，可得λ+μ=13所以λ+μ的取值范围是1317故答案为：1317一、单选题1．（2024·四川绵阳·三模）如图，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，则EA⋅EB=A．−11 B．−13 C．−15 D．15【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.【解答过程】因为a⋅故EA⋅EB=故选：A.2．（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且CD=DA，AP=23A．16 B．13 C．23【解题思路】依题意可得AC=2AD，即可得到AP=【解答过程】因为CD=DA，所以AD=又AP=23因为点P是线段BD上一点，即B、P、D三点共线，所以23+2λ=1，解得故选：A.3．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，D是BC边上的中点，且AE=13AD，AF=2AE，AB⋅AC=6A．−1 B．2 C．−12 【解题思路】利用向量的线性运算及向量的数量的运算律即可求解.【解答过程】AB⋅同理可得FB⋅又AE=13所以AD2=9FD2，所以EB⋅故选：D.4．（2024·陕西榆林·三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若CP=xCA+yCB，则A．34 B．−34 【解题思路】利用向量的线性运算，得CP=CE+【解答过程】∵A､P､则CP=又∵CP=xCA+yCB故选：C.5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b=14AD2−BC2，我们称为极化恒等式.已知在△ABC中，M是BC中点，AM=3A．−16 B．16 C．−8 D．8【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，AM=【解答过程】由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，由已知得AM=3,BC=10,AB故选：A．6．（2024·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．4【解题思路】表达出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.【解答过程】由题意及图可得，∵BP=λ∴AP=∵AN=t∴AN=tt+1∵AP=∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=1故选：C．7．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是（A．[0，1] B．0,C．[1，2] D．−1,1【解题思路】作出图形，考虑P是线段AB上的任意一点，可得出PO∈1,2，以及PM=PO【解答过程】如下图所示：考虑P是线段AB上的任意一点，PM=PO+圆O的半径长为1，由于P是线段AB上的任意一点，则PO∈所以，PM⋅故选：A.8．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则A．12 B．33 C．1 【解题思路】过点M作MP//BC，设AP=kAB，AQ=kAC，得到BM=kx−1AB+kyAC，再由BM=λAB【解答过程】如图所示，过点M作MP//BC，交直线AB,AC于点P,Q，设AM=xAP+y设AP=kAB，AQ=k因为BM=λAB+μ由图可知，当PM与半圆BC相切时，k最大，又由AB=2，BE=1sinπ所以k=AEAB=3+33，即k最大为故选：B.二、多选题9．（23-24高一下·江苏南京·期中）在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在λ,μ∈R使BM=λAB+μACA．λ=−35,μ=C．λ=−910,μ=【解题思路】令BD=mBC且m∈[0,1]，根据向量对应线段的位置、数量关系用AB,AC表示BM，进而得到m与【解答过程】令BD=mBC且m∈[0,1]，而又BC=BA+所以λ=−1+m2μ=m2，则λ∈[−1,−故A、C满足，B、D不满足.故选：AC.10．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，若BM=λBE+μBD，则A．32 B．12 C．1 【解题思路】设AM=kAD，其中0≤k≤1，利用平面向量的线性运算可得出λ=21−k【解答过程】因为M在线段AD上，设AM=kAD，其中0≤k≤1，则所以，BM=因为E为BA的中点，则BA=2BE，所以，又因为BM=λBE+μBD且BE、所以，λ+μ=21−k故选：ACD.11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）（多选）如图，在四边形ABCD中，∠B=60∘，AB=3，BC=6，且AD=λBCλ∈A．AB·BC=9 B．实数C．四边形ABCD是梯形 D．若M，N是线段BC上的动点，且MN=1，则DM⋅【解题思路】利用数量积的定义，结合已知条件，计算判断AB；取λ=1说明判断C；取MN的中点E，利用数量积的运算律建立函数关系并求出最小值.【解答过程】对于A，AB⋅对于B，由AD=λBC，得AD//BC，∠A=120°，此时AD⋅AB=|AD||对于C，由选项B得AD→=16BC对于D，取MN的中点E，连接DE，则DM=DE2−EM2=DE2−14，由AD//BC即|DE|min=3故选：BCD.三、填空题12．（2024·新疆·二模）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC，点E是线段BC的中点，若AE54【解题思路】连接CF,依题意可得▱AFCD,利用平面向量基本定理，将AE用AB和AD表示出来即得.【解答过程】

如图，取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF=AD.∵AE∴λ=3故答案为：5413．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点BA⋅CA=5，BF⋅CF=−2，则【解题思路】将BA,CA,BF,CF均用BC,AD表示出来，进而将BA⋅CA，【解答过程】因为BA⋅BF⋅因此FD2=故答案为：5814．（23-24高三·广东阳江·阶段练习）在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则PB⋅PC+BC2【解题思路】根据向量的数量积运算律，可得PB⋅【解答过程】取BC的中点Q，连接PQ，因为平行四边形ABCD，面积为2，所以PQBC≥2，∴PB⋅PC+BC2故答案为:23四、解答题15．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．(1)用AB，AD方表示AE；(2)若AF=λAB+μ【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算即可得解；（2）由三角形相似得DF=【解答过程】（1）由题意得，ED=1所以AE⃗（2）如图，因为DC//AB，所以DF//AB，所以△DEF与△BEA相似，所以FDAB所以DF=所以AF=因为AF=λ所以λ=1所以λ+μ=416．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：a+b2=a2+2a⋅b+b2，a−b(1)若AD＝6，BC＝4，求AB⋅(2)若AB⋅AC=4，FB【解题思路】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可（2）设AD⃑=3m,BC⃑=2n(m>0,n>0)，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于m,n【解答过程】（1）AB（2）设AD∵AB⋅AC=4，由（1）知∵FB·FC=−1,同理可得由①②解得m2∴EB17．（23-24高一上·辽宁大连·期末）在三角形ABC中，AB=a，AC=b，BE=2EC，D为线段AC上任意一点，

(1)若CD=2①用a，b表示AE；②若AO=λAE，求(2)若BO=xBA+y【解题思路】（1）①利用向量的几何运算