重难点13 极化恒等式与等和（高）线定理（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用极化恒等式求值】 3【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】 4【题型3利用等和线求基底系数和的值】 4【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 51、极化恒等式与等和（高）线定理极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.【知识点1极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点2等和(高)线定理】1．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；④当等和线过O点时，k=0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.【题型1利用极化恒等式求值】【例1】（2024·贵州毕节·三模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA⋅CA=7，BE⋅CE=2，则BF⋅CF=（

）A．−2 B．−1 C．1 D．2【变式1-1】（23-24高三上·福建厦门·期末）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，则FD⋅A．−34 B．−89 C．【变式1-2】（2024高三·江苏·专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB⋅AD=－7，则BC【变式1-3】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF⋅FG+【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】【例2】（2024高三·全国·专题练习）半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点A．[−4，14) B．[0，4) C．[4，14] D．[4，16]【变式2-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，PM⋅A．[−1,5] B．[−1,7]C．[0,2] D．[1,5]【变式2-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP⋅OQ【变式2-3】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）在面积为2的平行四边形中ABCD中，∠DAB=π6，点P是AD所在直线上的一个动点，则【题型3利用等和线求基底系数和的值】【例3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BE=23BC，DF=34A．32 B．−112 C．1【变式3-1】（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BC，点A．0 B．14 C．12 【变式3-2】（23-24高一上·江苏常州·期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若AC=λAE+μAF，λ,μ均为实数，则【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN=λ1AM+λ2【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】【例4】（2024·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC，则A．83 B．2 C．43【变式4-1】（23-24高三上·河北沧州·期中）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点（含边界），且AP=λAB+μACλ,μ∈R

A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．0,4【变式4-2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=λAB+μAC（λ，μ∈R），则【变式4-3】（23-24高一下·广西桂林·期末）已知O为△ABC内一点，且4OA+8OB+5OC=0，点M在△OBC一、单选题1．（2024·四川绵阳·三模）如图，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，则EA⋅EB=A．−11 B．−13 C．−15 D．152．（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且CD=DA，AP=23A．16 B．13 C．233．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，D是BC边上的中点，且AE=13AD，AF=2AE，AB⋅AC=6A．−1 B．2 C．−12 4．（2024·陕西榆林·三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若CP=xCA+yCB，则A．34 B．−34 5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b=14AD2−BC2，我们称为极化恒等式.已知在△ABC中，M是BC中点，AM=3A．−16 B．16 C．−8 D．86．（2024·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．47．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是（A．[0，1] B．0,C．[1，2] D．−1,18．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则A．12 B．33 C．1 二、多选题9．（23-24高一下·江苏南京·期中）在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在λ,μ∈R使BM=λAB+μACA．λ=−35,μ=C．λ=−910,μ=10．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，若BM=λBE+μBD，则A．32 B．12 C．1 11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）（多选）如图，在四边形ABCD中，∠B=60∘，AB=3，BC=6，且AD=λBCλ∈A．AB·BC=9 B．实数C．四边形ABCD是梯形 D．若M，N是线段BC上的动点，且MN=1，则DM⋅三、填空题12．（2024·新疆·二模）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC，点E是线段BC的中点，若AE.13．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点BA⋅CA=5，BF⋅CF14．（23-24高三·广东阳江·阶段练习）在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则PB⋅PC+四、解答题15．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．(1)用AB，AD方表示AE；(2)若AF=λAB+μ16．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：a+b2=a2+2a⋅b+b2，a−b(1)若AD＝6，BC＝4，求AB⋅(2)若AB⋅AC=4，FB17．（23-24高一上·辽宁大连·期末）在三角形ABC中，AB=a，AC=b，BE=2EC，D为线段AC上任意一点，

(1)若CD=2①用a，b表示AE；②若AO=λAE，求(2)若BO=xBA+y18．（23-2