重难点20 立体几何中的动态、轨迹问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点20立体几何中的动态、轨迹问题【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】 2【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】 2【题型3距离（长度）有关的动态轨迹问题】 4【题型4角度有关的动态轨迹问题】 4【题型5翻折有关的动态轨迹问题】 5【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】 61、立体几何中的动态、轨迹问题“动态、轨迹”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，是高考中的重点、难度问题，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.【知识点1立体几何中的动态、轨迹问题的解题策略】1．动点轨迹的判断方法动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.2．立体几何中的轨迹问题的常见解法(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】【例1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若D1F//平面A1EC1，则动点FA．3 B．5 C．22 D．【变式1-1】（2024·北京昌平·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点A．22 B．2 C．1 D．【变式1-2】（2024·江西赣州·二模）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足AA1=4AP，E，F分别为棱BC，CD的中点，点A．5373 B．237 C．7【变式1-3】（2024·山东枣庄·二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点PA．62,2C．62,3【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】【例2】（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为截面A．22 B．2 C．12【变式2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP=2PD

A．3 B．2 C．233 【变式2-2】（2024·广西玉林·三模）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=4，EA．5+2 B．22+2 【变式2-3】（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．将菱形沿对角线AC折叠成大小为30°的二面角B′−AC−D．若点E为B′C的中点，F为三棱锥B′−ACD表面上的动点，且总满足A．4+6−22 B．4+6+【题型3距离（长度）有关的动态轨迹问题】【例3】（2024·四川南充·二模）三棱锥A−BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP=22，则点P的轨迹长度为（

A．π B．2π C．3π D．4π【变式3-1】（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，点P是面ABB1A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式3-2】（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为2的球体O表面上的两定点，且∠AOB=π2，球体O表面上动点M满足MA=3MB，则点A．467π B．2305π【变式3-3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为22,P是正方形BBA．23 B．3 C．32 【题型4角度有关的动态轨迹问题】【例4】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥P−ABCD的体积为423，底面ABCD的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点P在球O的球面上，点E为底面ABCD上一动点，PE与PO所成角为π6，则点EA．2π B．43π C．6【变式4-1】（2024·海南海口·一模）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，直线A．π+42 B．42π C．【变式4-2】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点P是边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点，若直线AP与平面A．32 B．22+π C．【变式4-3】（2024·江西·模拟预测）如图，已知正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且A．4π3 B．5π3 C．【题型5翻折有关的动态轨迹问题】【例5】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB=1,BC=3,AB⊥BC，D是BC边上一点，且BD=1，将△ABD沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在△ADC内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为（

）

A．212π B．28π C．2【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到△PAE的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（

）A．四棱锥P−AECD体积的最大值为2B．PD的中点F的轨迹长度为3C．EP，CD与平面PAD所成的角相等D．三棱锥P−AED外接球的表面积有最小值16【变式5-2】（23-24高二上·四川内江·期中）如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E（点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为

【变式5-3】（22-23高二上·广东广州·期末）已知矩形ABCD中AB=3，AD=3，现将△ACD沿对角线AC向上翻折（如图所示），若在翻折过程中，点D到点B的距离在212,302内变化时，点D【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】【例6】（23-24高三上·广西贵港·阶段练习）正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为BB1，CC1的中点，若点A．53 B．5 C．39 D．【变式6-1】（2024·河北·模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQ=OP，则动点Q形成轨迹的周长为（

A．2π11 B．3π11 C．【变式6-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）在正四面体ABCD中，P,Q分别是棱AB,CD的中点，E,F分别是直线AB,CD上的动点，且满足PE+QF=a，M是EF的中点，则点MA．a24 B．a22 C．【变式6-3】（2024·四川·一模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱BC上，且满足BE=2EC，动点A．62 B．43 C．42一、单选题1．（2024·陕西铜川·模拟预测）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4A．53π3 B．43π32．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，QA．π2 B．π C．2π D．3．（2024·江西·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M满足C1M=3MC，若在正方形A．4 B．17 C．5 D．44．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q是DDA．5π B．25π C．55．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，P是正方形A．18 B．14 C．π166．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥P−ABC各顶点均在半径为22的球O的表面上，AB=AC=22,∠BAC=90。，二面角P−BC−A①三棱锥O−ABC的体积为83；②点P形成的轨迹长度为2A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题7．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E−ABCD−F的棱长为a，下列说法中正确的个数有（

①异面直线AE与BF所成的角为45°；②此八面体的外接球与内切球的体积之比为33③若点P为棱EB上的动点，则AP+CP的最小值为23④若点O为四边形ABCD的中心，点Q为此八面体表面上动点，且OQ=a2，则动点QA．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2024·四川绵阳·三模）如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为3，点M是侧面ADAA．若保持PM=13．则点MB．保持PM与BD′垂直时，点MC．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2D．当M在D′点时，三棱锥B′二、多选题9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3，M为AD中点，PA．点P的轨迹为椭圆的一部分B．点P的轨迹为圆的一部分C．点P的轨迹与DC，DD1D．点P的轨迹长度为810．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，空间中一动点P满足A．存在点P，使得A1PB．设ACl与平面MNQ交于点KC．若∠PAC=30°，则点P的轨迹为抛物线D．三棱锥P−QMN的外接球半径最小值为5−11．（2024·湖南益阳·三模）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1BA．当点P在平面BCC1BB．当点P在线段AC上运动时，D1P与AC．使直线AP与平面ABCD所成角为45∘的动点P的轨迹长度为D．若F是A1B1的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1三、填空题12．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60∘.如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S−ABC，此时SB=3.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S−ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC则点F的轨迹的面积为

13．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均是边长为6的等边三角形，DB=9，则四面体ABCD外接球的表面积为；点E是线段AD的中点，点F在四面体ABCD的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为.14．（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠BAD=60°，P为C①当点Q在线段CD1上运动时，四面体②若AQ//面A1BP，则③若△A1BQ的外心为M④若A1Q=7，则点四、解答题15．（2024高三·全国·专题练习）如图，A为平面α内一定点，α外一定点B在α内的射影为M．求平面α变动时点M的轨迹．

16．（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M，N，G分别是棱AA

(1)求点Q的轨迹围成图形的面积；(2)求MG⋅17．（2024·湖南·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD内，PB⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2，BP=23．过P的直线l交平面ABCD于正方形ABCD内的点M，且满足平面PAM⊥平面PBM(1)当∠ABM∈π6,(2)当二面角M−PA−B的余弦值为45时，求二面角P−MA−D18．（2024·重庆·一模）