重难点33 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点33圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线过定点问题】 2【题型2存在定点满足某条件问题】 3【题型3面积定值问题】 5【题型4斜率的和差商积定值问题】 6【题型5向量数量积定值问题】 8【题型6线段定值问题】 9【题型7角度定值问题】 10【题型8动点在定直线上问题】 121、圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等，主要在解答题中考查，选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高.【知识点1圆锥曲线中的定点、定值问题】1．圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下：(1)变量——选择合适的参变量；(2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数；(3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值.一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.2．定点问题的求解思路：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点.3．过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程（斜率存在）为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．4．定值问题的求解思路：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关.5．求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．【知识点2圆锥曲线中的定直线问题】1．圆锥曲线中的定直线问题定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.【题型1直线过定点问题】【例1】（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，不经过坐标原点O且斜率为1的直线l与C交于P，Q两点，A为线段PQ的中点，直线OA的斜率为−12(1)求椭圆C的方程；(2)设B(2,0)，直线PB与C的另一个交点为M，直线QB与C的另一个交点为N，其中M，N均不为椭圆C的顶点，证明：直线MN过定点.【变式1-1】（2024·江西九江·二模）已知双曲线C:x2a2−y2(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点．【变式1-2】（2024·云南·模拟预测）抛物线Γ:y2=2pxp>0的图象经过点M1,−2，焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线

(1)求抛物线Γ的标准方程；(2)当θ=π3时，求弦(3)已知点P2,0，直线AP，BP分别与抛物线Γ交于点C，D．证明：直线CD【变式1-3】（2024·贵州贵阳·二模）已知椭圆E的一个焦点是−3,0.直线l1:y=k1x+(1)求椭圆E的标准方程；(2)求k1(3)设直线l1,l2分别与椭圆E另交于【题型2存在定点满足某条件问题】【例2】（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线E：x2−3y2=3的左、右焦点分别为F1，F2，A是直线l：y=−ca2x（其中a是实半轴长，c是半焦距）上不同于原点O的一个动点，斜率为k1的直线AF1与双曲线E交于(1)求1k(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为kOM，kON，kOP，kOQ，问是否存在点A，满足【变式2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1−c,0，F2c,0，过(1)求椭圆C的方程；(2)设b>1，是否存在x轴上的定点P，使得△PMN的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2024·四川雅安·一模）已知O为坐标原点，过点P2,0的动直线l与抛物线C:y2(1)求OA⋅(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得∠AQP=∠BQP恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点3,2在双曲线C:x2(1)求双曲线C的方程；(2)过点P3,1作直线l与双曲线C交于A,B两点，在x轴上是否存在一定点Q，使得直线QA与QB的斜率之和为定值？若存在，请求出点【题型3面积定值问题】【例3】（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的方程；(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．【变式3-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆γ:x2a2+y2b(1)求椭圆γ的标准方程；(2)A是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦BC使得OA//BC,OA=BC，求证:四边形OABC的面积为定值.【变式3-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知A−1,0，B1,0，平面上有动点P，且直线AP的斜率与直线(1)求动点P的轨迹Ω的方程.(2)过点A的直线与Ω交于点M（M在第一象限），过点B的直线与Ω交于点N（N在第三象限），记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1=4k【变式3-3】（2024·河北衡水·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，过F且倾斜角为π6的直线l与C交于A，B两点．直线l1，l2与C相切，切点分别为A，B，l1，l2与(1)求C的方程；(2)若点P为C上一动点（与A，B及坐标原点均不重合），直线l3与C相切，切点为P，l3与l1，l2的交点分别为G，H．记△DFG，△EFH的面积分别为①请问：以G，H为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；②证明：S1【题型4斜率的和差商积定值问题】【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C:x2a(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：【变式4-1】（2024·浙江绍兴·三模）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线为x−3y=0，焦点到渐近线的距离为1．A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，直线l过点T2,0交双曲线于点(1)求双曲线C的方程；(2)求证k1【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2(1)求双曲线C的标准方程．(2)过点P0,1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B．问：在y轴上是否存在定点Q，使直线AQ与BQ的斜率之和为定值？若存在，求出点Q【变式4-3】（2024·天津滨海新·三模）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为1(1)求椭圆M的标准方程；(2)设椭圆M的右顶点为C，P是椭圆M上不与顶点重合的动点．①若点P1,y0（y0>0），点D在椭圆M上且位于x轴下方，设△APC和△DPC的面积分别为S1，②若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，设直线QN和直线QC的斜率为kQN，kQC，求证：【题型5向量数量积定值问题】【例5】（23-24高三上·天津河北·期末）设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，短轴的两个端点为A,B，且四边形(1)求椭圆E的方程；(2)求证：OM⋅【变式5-1】（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，D(1,0)是它的一个顶点.d=(1,(1)求双曲线C的方程；(2)设P(0,1)，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；(3)若过点(−3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:DA⋅【变式5-2】（2024·河北保定·三模）设椭圆C：x27+y2b2=1(0<b<7)的左、右顶点和椭圆Γ:x214+y27=1的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线l(1)若b为定值，证明：OA⋅(2)若直线OM，ON的斜率之积恒为−12，求【变式5-3】（2024·河北石家庄·二模）已知M为平面上一个动点，M到定直线x=1的距离与到定点F(2,0)距离的比等于22，记动点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得PA⋅【题型6线段定值问题】【例6】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0(1)求C的方程；(2)若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点，与抛物线y2=16x交于P,Q两点，试问是否存在常数λ，使得1【变式6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l:x−my−n=0与椭圆C交于P,Q两点．与x轴交于点N．试判断是否存在n∈(−6,6)，使得【变式6-2】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：x=−1，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)证明：1MN【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线H:x24−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，(1)求椭圆E的离心率；(2)设点M(m,n)满足m2<4n2，过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q，过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，【题型7角度定值问题】【例7】（2024·山西·三模）已知抛物线E:y2=2pxp>0的焦点(1)求E的方程；(2)已知点Tt,0，若E上存在一点P，使得PO⋅PT(3)过M−4,0的直线交E于A，B两点，过N−4,43的直线交E于A，C两点，B，C位于x【变式7-1】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）平面上一动点Px,y满足x−2(1)求P点轨迹Γ的方程；(2)已知A−2,0，B1,0，延长PA交Γ于点Q，求实数m使得∠PAB=m∠PBA恒成立，并证明：【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2−y23=1的右焦点为F,A1,A(1)若直线A1M,A1N分别与线段O(2)当直线l任意旋转时，试问：∠A【变式7-3】（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线C:y2−x2=1，上顶点为D，直线l与双曲线C的两支分别交于A,B两点（B在第一象限），与x轴交于点(1)若T3（i）若A0,−1，求β（ii）求证：α+β为定值；(2)若β=π6，直线DB与x轴交于点E，求△BET与【题型8动点在定直线上问题】【例8】（2024·北京·三模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的短轴长为23，左、右顶点分别为C,D，过右焦点F1,0的直线l(1)求椭圆E的方程；(2)求证：点T在定直线上.【变式8-1】（2024·湖南娄底·一模）若抛物线Γ的方程为y2=4x，焦点为F，设P,Q是抛物线(1)若PF=3，求直线PF(2)设PQ中点为R，若直线PQ斜率为22，证明R【变式8-2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为(1)求C的方程；(2)斜率为12的直线l与C交于A,B两点，则△MAB【变式8-3】（2024·贵州遵义·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线(1)求四边形MF(2)设A，B为C的左、右顶点，直线l过点(−3,0)与C交于P，Q两点（异于A，B），直线AP与BQ交于点R，证明：点R在定直线上．一、单选题1．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线C：x2=4y，过直线l：x+2y=4上的动点P可作C的两条切线，记切点为A,B，则直线AB（A．斜率为2 B．斜率为±2 C．恒过点0,−2 D．恒过点−1,−22．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：x24+y2=1的下顶点为A，斜率不为0的直线l与C交于B，D两点，记线段BD的中点为A．点E在定直线y=13上 B．点E在定直线C．点E在定直线y=23上 D．点E在定直线3．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线Γ：x224−y225=1①点P到双曲线两条渐近线的距离为d1，d2，则②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为k1，k2，则A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假4．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T9,m的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y

A．1,0 B．−1,0C．0,−1 D．0,15．（2024·甘肃定西·一模）已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的离心率为32,P是C上任意一点，A．4|OP|2−d2C．|OP|2+4d26．（2024·湖南长沙·二模）已知A、B分别为双曲线C:x2−y23=1的左、右顶点，过双曲线C的左焦点F作直线PQ交双曲线于P、QA．−13 B．−23 C．7．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知曲线C:y4=a2x2a>0与直线y=2x+4有3个公共点，点A、B是曲线C上关于y轴对称的两动点（点A在第一象限），点M、N是x轴上关于原点对称的两定点（点A．8 B．16 C．−8 D．−168．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，P，M，Q，N是抛物线E:y2=4x上的四个点（P，M在x轴上方，Q，N在x轴下方），已知直线PQ与MN的斜率分别为−22和2，且直线PQ与MN相交于点GA．125 B．512 C．1二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F，动点M,N在直线l:x=32上，且FM⊥FN，线段FM交C于点PA．△FMN的面积S≥12 C．MR⋅HN=FH10．（2024·江苏苏州·模拟预测）对于抛物线γ:y2=2px,(p>0),F是它的焦点，γ的准线与x轴交于T，过点T作斜率为kk>0的直线与γ依次交于B、A两点，使得恰有A．k是定值，p不是定值B．k不是定值，p也不是定值C．A、B两点横坐标乘积为定值D．记AB中点为M，则M和A横坐标之比为定值11．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆x22+y2=1,O为原点，过第一象限内椭圆外一点Px0,y0A．直线AB过定点 B．k1C．x0−y0的最大值为2三、填空题12．（2024·四川宜宾·二模）已知F为抛物线C:x2=−8y的焦点，过直线l:y=4上的动点M作抛物线的切线，切点分别是P,Q，则直线PQ过定点13．（2024·四川·模拟预测）已知点A为椭圆E:x225+y29=