专题1.4 基本不等式及其应用（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题1.4基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1基本不等式及其应用】 2【题型2直接法求最值】 3【题型3配凑法求最值】 4【题型4常数代换法求最值】 4【题型5消元法求最值】 4【题型6齐次化求最值】 5【题型7多次使用基本不等式求最值】 5【题型8利用基本不等式解决实际问题】 5【题型9与其他知识交汇的最值问题】 81、基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程

(2)会用基本不等式解决最值问题

(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I卷：第12题，5分2023年新高考I卷：第22题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点1基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.4．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1基本不等式及其应用】【例1】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a,b,c满足a<b<c且abc<0，则下列不等关系一定正确的是（

）A．ac<bc B．ab<acC．bc+c【变式1-1】（2023·湖南长沙·一模）已知2m=3n=6，则m，A．m+n>4 B．mn>4C．m2+n【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）已知a>0,b>0，则“a+b>2”是“a2+bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（

）．A．a+b2≥abC．a+b2≤a【题型2直接法求最值】【例2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数fx=3−x−2x，则当x<0时，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3−22 D．最小值【变式2-1】（2023·北京东城·一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（A．－2 B．0 C．1 D．2【变式2-2】（22-23高三下·江西·阶段练习）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【变式2-3】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数y=3−4x−x（x>0A．−1 B．1 C．−5 D．5【题型3配凑法求最值】【例3】（2023·山西忻州·模拟预测）已知a>2，则2a+8a−2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【变式3-1】（2024·辽宁·一模）已知m>2n>0，则mm−2n+mA．3+22 B．3−22 C．2+32【变式3-2】（2023·河南信阳·模拟预测）若−5<x<−1，则函数fx=xA．最小值1 B．最大值1 C．最小值−1 D．最大值−1【变式3-3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知a>0,b>0，则a+2b+4a+2b+1的最小值为（A．6 B．5 C．4 D．3【题型4常数代换法求最值】【例4】（2024·江苏南通·二模）设x>0，y>0，1x+2y=2，则A．32 B．22 C．3【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【变式4-2】（2024·广东湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1A．8−227 B．223 C．【变式4-3】（2023·广东广州·模拟预测）已知正实数x，y满足2x+y=xy，则2xy−2x−y的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．9【题型5消元法求最值】【例5】（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+y的最小值为．【变式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足ab=−6，则a2+b【变式5-2】（2024·天津河东·一模）若a>0,b>0,ab=2，则a+4b+2b3b【变式5-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是【题型6齐次化求最值】【例6】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知x>0，则x2−x+4xA．5 B．3 C．−5 D．−5或3【变式6-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为（

A．24 B．25 C．6+42 D．【变式6-2】（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）设a+b=1,b>0，则1|a|+9|a|A．7 B．6 C．5 D．4【变式6-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1xA．34 B．94 C．32【题型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2023·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+aA．12 B．24 C．22【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，则1a+2A．92 B．2 C．6 D．【变式7-3】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【题型8利用基本不等式解决实际问题】【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【变式8-1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年产生的利润（单位：百万元）Gm=mx(1)比较f42与(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.【变式8-2】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.【变式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流l（忽略河的宽度）两侧各有一个社区A,B（忽略社区的大小），A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B现规划了如下三项工程：工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1工程3：将直角三角形BB0P记这三项工程的总造价为W亿元.(1)求实数a的取值范围；(2)问点P在何处时，W最小，并求出该最小值.【题型9与其他知识交汇的最值问题】【例9】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知ΔABC内接于单位圆，且1+tan（1）求角C（2）求△ABC面积的最大值．【变式9-1】（23-24高三上·山东青岛·期末）《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC−A1B(1)求证:四棱锥B−A(2)若C1C=BC=2,当鳖膈C1【变式9-2】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.【变式9-3】（2024·黑龙江大庆·一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点1,32（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．一、单选题1．（2023·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+12．（2024·甘肃定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．473．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，则（

）A．0<a≤1 B．0<ab≤1 C．a2+b4．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是（A．6 B．62 C．225．（2024·四川成都·模拟预测）若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 6．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若正实数a,b满足a+b=1，则1aB．若正实数a,b满足a+2b=1，则2C．y=x2D．若a>b>1，则ab+1<a+b7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,aA．a1=a2 B．a1<a8．（2024·四川成都·三模）设函数fx=x3−x，正实数a,b满足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）已知实数x,y，下列结论正确的是（

）A．若x+y=3，xy>0，则xB．若x>0，xy=1，则12xC．若x≠0且x≠−1，则yD．若x2−y210．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a%，第二次涨幅b乙：第一次涨幅a+b2%，第二次涨幅丙：第一次涨幅ab%，第二次涨幅ab其中a>b>0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（

）A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多11．（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0且1a+4A．ab有最小值4 B．a+b有最小值9C．2ab+a有最小值25 D．16a三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知x>1，y>0，且x+2y=2，则113．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本C与产量q之间满足关系式C=Cq，定义平均成本C