2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册练习：第三章 312 第2课时 分 段 函 数含解析

第2课时分段函数

U争分夺秒一蓟钟.狠抓泰&零失注)

必备知识-基础练

概念定理巧刻跖

1.分段函数是两个或多个函数.()

2.分段函数的定义域是其中一个部分的定义域.()

3.分段函数的值域是各个部分的值域的交集.()

.,x>0

4,若f(x)=<,f(a)+f(-1)=2,则a=1.()

、4-x,x<0

fl

2^-1(x>0)

5.函数f(x)=<，若f(a)=a,则a=1.()

l-入(x<0)

1.提示：X.分段函数由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

2.提示：x.分段函数的定义域是各个部分的定义域的并集.

3.提示：x.分段函数的值域是各个部分的值域的并集.

4.提示：x.当a>0时,f(a)=y[a,

所以Va+=21所以m=1/a=1.

当a<0时，f(a)=,所以=2,

所以=1fa=-1.

所以a=1或2=-1.

5.提示：x.当aK)时，有:a-1=a,解得a=-2(舍),

当a<0时，有;二a,所以a=-1.

基础分组正通关

•题组一分段函数的定义域、值域

1.已知函数Kx)二号，则其定义域为()

A

A.RB.(0,+co)

C.(-oo,0)D.(-co,0)U(0,+oo)

选D.要使f(x)有意义，需x#),故定义域为(-8,0)U(0,+8).

2x,x>0,

2.已知函数f(x)"且f(a)+f(l)=O,贝l」a等于()

x+1,x<0,

A.-3B.-1C.1D.3

选A.当a>0时，f(a)+f(l)=2a+2=00a=-1,与a>0矛盾；

当a<0时，f(a)+f(l)=a+1+2=0=a=-3,符合题意.

x,xe[0,1]

3.f(x)=<z的定义域为_________值域为________.

[2-x,xe(1,2]

函数定义域为[0,1]U(1r2]=[0,2].

当x£(l,2]时,f(x)G[0,1),故函数值域为[0,l)U[0,l]=[0,1].

答案：[0,2][0,1]

•题组二分段函数求值问题

3x-b,xvl,“5X

1.设函数f(x)=<若4f=4,则b=()

2x,X>1,36〃

731

Q・

A.1B.oCZ.7Di

选D.碉=

b

(3X6-)UH-

当|-b<l,即b)|时，3xg-b)-b=4,解得b](舍去).

当|-bNl,即b<|时，2x(|-b)=4,解得b=1.

^/x,0<x<1,

2.设f(x)=j若f(a)=f(a+1),则=()

2(x-1),x>l.

A.2B.4C.6D.8

选C.当0<a<l时，a+l>l,f(a)=,,

f(a+l)=2(a+1-l)=2a1

因为f(a)=f(a+1),所以g=2a,

解得a=]或a=0(舍去).

所以0=，(4)~2x(4-1)=6.

当吟1时，a+1>2,

所以f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,

所以2(a-1)=2a,无解.

综上词=6.

x2+2x+2xV0

'"'若f(f(a))=2,则a=________

{-x2,X>0.

当a>0时，f(a)=-a2<0,

f(f(a))=a4-2a?+2=2,得a=g(a=0与a=-血舍去)；

当空0时,f(a)=a2+2a+2=(a+l)2+l>0,

f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解.

综上可知，a二嫄.

答案：也

4.国内某快递公司规定：重量在1000克以内的包裹快递邮资标准

如表：

运送距500<x1000<x1500<x

0<x<500•••

离x(km)<1000<1500<2000

邮资y(元)5.006.007.008.00•••

如果某人从北京快递90()克的包裹到距北京130()km的某地，他应

付的邮资是________.

邮资y与运送距离x的函数关系式为y=

〃5.00(0<x<500),

6.00(500<x<l000),

7.00(1000<x<l500),

、8.00(1500<x<2000),

因为1300^(1000,1500],

所以y=7.00.

答案：7.00元

•题组三分段函数的图象及应用

1,x>0,

1.设R,XE义符号函数sgnx=<0,x=0,则函数f(x)=|x|sgn

「1,x<0,

X的图象大致是()

-i

ABCD

x,x>0,

选C.因为|x|=<0,x=0,

「x,x<0,

所以f(x)=X的图象为C中图象所示.

2.已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的解+析式为

当-1Wx<0时，设f(x)=ax+b,

f-a+b=0a=1

由题意<，解得：<,

[b=1[b=l

故f(x)=x+l,x£[-1,0)；

0<x<l时,设f(x)=ax,

则f(x)=-x,

x+1XW[-1,0)

故f(x)=Jz,

〔-x,xe[0,1]

x+1,xe[-1,0)

答案：f(x)=<

〔-x,x£[0,1]

f1

/X#]

3.设定义域为R的函数f(x)二伙-II,若关于x的方程f(x)

[1；x=l

二13有3个不同的解，贝!Jb等于.

[―*—,X/1

函数f(X)=甘-"的图象如图所示：

1zx=1

由图易得函数的值域为(0,+8),

由f(x)=b有3个不同的解，可知b=1.

答案：1

易错易混6场盘

易错点混淆“一个分两段的函数”和“两个函数”

x2-Xx<]

1.已知函数f(x)=x2-x,g(x)=<，记a=f(f(-2)),

x-x2,x>l

b=g(g(-2))/c=g(f(-2))，则()

A.a>b=cB.a>b>c

C.a>c>bD.b>a=c

选A.因为f(-2)=6,a=f(f(-2))=f(6)=30,

c=g(f(-2))=g(6)=-30,因为g(-2)=6,

所以b=g(g(-2))=-30,所以a>b=c.

f(x)-XffX)>x(

2.已知函数f(x)=x2-x,贝(Jg(x)=〈r的值

x-2-f(x)zf(x)<x

域为()

A.(0,+8)

B.[-2,-1]U(0,+oo)

C.(-8,-2]

D.(-8,-1]U(0,+8)

选B.由f(x)=xr即x?-2x=0,解得x=0,2,

所以当x<0或x>2时,f(x)>x,g(x)=x2-2x>0,

当0<x<2时,f(x)<x,g(x)=-x2+2x-2e[-2,-1],

所以g(x)的值域为[-2,-l]U(0,+8).

【易错误区】“一个分两段的函数”和"两个函数”的区别：一个分两段

的函数实质为一个函数，不是两个函数，要注意区分.

仃晚间小练半小时,突破深变重难点！/

关键能力-综合练

限时30分钟分值50分战报得分

一、选择题(每小题5分，共25分)

x2+1(x<0)

1.已知函数y"，若f(a)=10,则a的值是()

2x(x>0)

A.3或-3B.-3或5

C.-3D.3或-3或5

选B.若a<0,则f(a)=a2+1=10,

所以a二-3(a-3舍去),

若a>0,则f(a)=2a=10,

所以a=5.

综上可得，a=5或a=-3.

f1,x>0

2.已知f(x)=]则不等式x+(x+2)-f(x+2)<5的解集是

[-1,x<0

()

A.[-2,1]-2]

-31(3

C.-2,2D.1-8,2

选D.当x+2>0时，即x2-2时，f(x+2)=1,由x+(x+2)-f(x+2)<5

可得x+x+2<5,

所以烂|,BP-2<x4，

当x+2<0,即x<-2时，f(x+2)=-1,

由x+(x+2>f(x+2注5可得x-(x+2)拦，即・2拦，所以x<-2.

综上，不等式的解集为]x^l；

3.在自然数集N上定义的函数f(n)=

n-3(n>l000),

1则f(90)的值是()

f(n+7)(n<1000),

A.997B.998C.999D.1000

选A.n<1000时，有f(n)=f(n+7),

所以f(90)=f(97)=f(104)=.・.

=f(l000)=1000-3=997.

x2(x>0)fx(x>0)

4.(多选)已知f(x)=],g(x)=)，则（)

x(x<0)[-x2(x<0)

A.f(g(-3))=-9B.g(f(-3))=9

C.f(f(-3))=-3D.g(g(-3))=-81

选ACDJ(g(-3))=f(-9)=-9,

g(f(-3))=g(-3)=-9,

f(f(-3))=f(-3)=-3,

g(g(-3))=g(-9)=-81.

5.（多选）已知具有性质：（£

-f（x）的函数,我们称为满足“倒负”

变换的函数，下列函数中满足倒负”变换的函数是（）

B.f(x)=x+g

A.f(x)=x--

x,0<x<l,

C.f(x)=S°，x=1，D,f(x)=^-^

I1+x

--,X>1.

IX'

选ACD对于A,f(x)=x-I,

A

=|-x=-f(x),满足；

对于B,=:+x=f(x),不满足；

rii

HL

对于c，C)=Ki=i,

L-X，,-x>1，,

fl,

3>1,

即G)=<O,x=l,

、-x,0<x<l,

故G)=-'⑸，满足•

i-1

门、1xX-1

对于D,因为d-=—7=--=-f(x),所以满足.

w1+工x+1

X

综上可知，满足倒负”变换的函数是ACD.

二、填空题（每小题5分，共15分）

2,x>0,

6.设函数f(x)=S若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

x2+bx+c,x<0,

贝(Jf(x)的解+析式为f(x)=

因为f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

(-4)2-4b+c=c,

b=4,

解得<

[c=2.

[2,x>0,

所以f(x)".

[x?+4x+2,x<0.

[2,x>0,

答案：L

x2+4x+2,x<0

7,函数f(x)的定义域为［-2,+8),它的图象由线段AB和抛物线

的一部分组成，如图，

则函数f(x)的解+析式为<1(-1))=.

设线段AB对应的解+析式为y=kx+m,则由题图可得m=3,-1

=-2k+m,所以m=3,k=2,

所以当-2<x<0时,所)=2x+3,

设抛物线对应的解+析式为y=ax2+bx+c,

则由图可得C=2,-五=2,4a+2b+c=

-2,解得a=1zb=-4zc=2.

所以当x>0时，f(x)=x2-4x+2,

所以函数f(x)的解+析式为f(x)二

2x+3,-2<x<0,

<

x2-4x+2,x>0,

所以«-l))=f(0=-1.

⑵+3,-2<x<0

答案：f(x)=1,-1

W-4x+2,x>0

8.定义新运算"★”：当m>n时，m^n=m；当m<n时，m^n=n2.

设函数f(x)=(2^x)x-(4^x),xE[l,41,则函数f(x)的值域为

由题意知，

2x-4,x£[1,2],

f(x)=]

卜3-4,x£(2,4],

当x£[l,2]时，f(x)W[-2,()]；

当x£(2,4]时，f(x)£(4,60],

故当xe[i,4]时,f(x)e[-2,0]U(4,60].

答案：[-2,0]U(4,60]

三、解答题

ri

i+-/X>1,

9.(10分)已知函数f(x)=<X?+1,-1<X<1,

、2x+3,x<-1.

⑴求f{f[f(-2)]}的值；

3

⑵若f(a)=]，求a.

⑴因为-2v-1,

所以f(-2)=2x(-2)+3=-1,

fff(-2)l=f(-1)=2,

13

所以-2)]}=f(2)=1+]=2.

13

(2)当a>l时，f(a)=1+』=5，所以a=2>l；

d乙

当-l<a<l时，f(a)=a?+1二|,

所以a=土£[-1,1]；

3

当av-1日寸，f(a)=2a+3=2,

3

所以a=-宁>7(舍去).

综上,a=2或a=.

自我挑战区

ax+b,x<0,

设函数f(x)"fif(-2)=3,f(-l)=f(l).

12X,x>0,

⑴求f(x)的解+析式；

(2)画出f(x)的图象.

7(-2)=3,

⑴由<

f(-1)=f(1)

f-2a+b=3,a=-1,

得<解得<

[-a+b=2,[b=l,

-x+1,x<0,

所以f(x)=

2X,x>0.

(2)作出f(x)的图象如图所示.

教师

专用【变式备选】

如图，底角ZABE=45。的直角梯形ABCD,底边BC长为4cm,腰

长AB为mcm，当一条垂直于底边BC的直线1从左至右移动(与

梯形ABCD有公共点)时,直线1把梯形分成两部分，令BE=x,试

写出阴影部分的面积y与x的函数关系式，并画出函数大致图象.

根据题意得，当直线1从点B移动到点A时，OvxM,y=1x2；

当直线1从点A移动到点D时,2<x<4/y=2X2X2+(x-2)-2,即y

=2x-2.

所以阴影部分的面积y与X的函数关系式为

fl

zx2,xe(0,2],

y=y函数图象如图所示.

2x-2,xe(2,4],

仃周末抽出一小时,阶段复长再提升/

考点综合・提升练5

限时60分钟分值100分战报得分

一、选择题(每小题5分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一

个正确选项)

1.下列各组函数是同一函数的是()

①f(x)=q-2x3与g(x)=xyj-2x；

②f(x)=x与g(x)二代；

③f(x)=x。与g(x)==；

A

④f(x)=X2-X+1与g(t)=t2-t+1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

选C.①f(x)=4-2x3与g(x)=・2x的定义域是｛x|xS0｝；而①f(x)

=-2x3=--2x,故这两个函数不是同一函数；

②f(x)=X与g(x)=的定义域都是R,g(x)=4?=|x|,这两个函

数的定义域相同，对应关系不相同，故这两个函数不是同一函数；

③。的定义域是,而的定义域是，,故这

f(x)=x{x|xH0}g(x)=A.{x|x0}

两个函数是同一函数;

④f(x)=X?-X+1与g(t)=t2-t+1是同一函数.

x+a,-l<x<0

2.已知函数f(x)=<2，若，”=也,则a)二

5-x,0<x<lI)2

()

633

A・-gB.0C.gD.-g

选B.因为,

123

以

所

--今-

25a-5

因此f(-a)=-|j=-|+|=0.

3.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分

-1-

别为(0,0),(1,2),(3,1),则f755"的值为()

A.1B.2C.3D.4

选B.由题意可得f(3)=L所以备=1,

所以｛志]=f(D=2.

[x-2(x>10)

4,设f(x)=J，则f(5)=()

lf[f(x+6)](x<10)

A.10B.11C.12D.13

[x-2(x>10)

选B.因为f(X)=Ir/\-i/\/

+6)J(x<10)

所以f(5)=f[f(ll)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=ll.

[x2+1(x<l)

5.已知f(x)=]，则f[f(2)]=()

I-2x+3(x>l)

A.5B.-1C.-7D.2

x2+l(x<l)

选D.因为f(x)",

-2x+3(x>l)

所以f(2)=-2x2+3=-1,

所以=1)=(-1产+1=2.

6.函数f(x)=/x+1+J—的定义域为()

Y2-x

A.(-1,2)U(2,+oo)B.[-1,2)U(2,+oo)

C.(1/2)U(2,+oo)D.[1,2)U(2,+oo)

选B.由题意，函数f(x)=1£Ti+一]一有意义，

v2-x

x+l>0

则满足〈，解得疟-1且x中2,

2-x却

即函数f(x)的定义域为［-1,2)U(2,+8).

二、选择题(每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的

得3分)

7.如果二次函数的图象关于直线x=1对称，且过点(0,0),则此二

次函数的解+析式可以是()

A.f(x)=x2-1B.f(x)=-(x-1)2+1

C.f(x)=(x-1)2+1D.f(x)=(x-I)2-1

2

选BD.由题意设f(x)=a(x-l)+b;由于点(0,0)在图象上，所以a

+b=0,a=-b,故符合条件的是BD.

8.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译的《代数学》中首次将

“functio屋译做怪数、沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡

此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课

本中所学的集合论的函数定义，已知集合M={-1,1,2,4},N二

{1,2,4,16},给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中

能构成从M到N的函数的是()

A.y=2xB.y=x+2

C.y=2|x|D.y=x2

选CD.在A中，当x=4时，y=8枷，故A错误;

在B中，当x=l时，y=3EN,故B错误；

在C中，任取x£M，总有y=2|』eN,故C正确;

在D中，任取x@M，总有y=X2^N,故D正确.

三、填空题(每小题5分，共20分)

9.若2f(x)+f(-x)=3x,则函数的解+析式为f(x)=.

由2f(x)+f(-x)=3x可得2f(-x)+f(x)=-3x,两式解方程组可得

f(x)=3x.

答案：3x

x,X£(_A,t),

10.设f(x)=<「、若f(3)=27,则t的取值范围为

3

X,x£|_tf+ooj.

当乜3时，f(3)=33=27,满足题意；

当t>3时，f(3)=3,不满足题意；故t的取值范围为(-8,3].

答案：(-8,3]

11.若函数y=f(x)的定义域是[-1,1],则y=f(x+1)的定义域是

由-iWx+lWl得-23x4),

所以y=f(x+1)的定义域是[-2,0].

答案：[-2,0]

12.已知函数f(x)=-x,g(x)=x2-2,设函数y=M(x),当f(x)>g(x)

时，M(x)=f(x)；当g(x)>f(x)时，M(x)=g(x),则M(x)=

函数y=M(x)的最小值是________________.

解不等式f(x)>g(x),即-x>x2-2,解得-2<x<l,

即-2<x<l时,M(x)=-x,解不等式f(x)<g(x),即-x<x2-2,解得

xW-2或疟1,即烂-2或x21时,M(x)=x2-2,

X2-2,X£(-8,-2]U[1,+8)

即M(x)=Jz、

、-x,x1-2,1)

当xg-2或xNl时，M(x)mill=M(l)=-1,

当-2VXV1时，M(X)min>M(l)=-1,

即函数y=M(x)的最小值是-1.

2

x-2,xW(-8,-2jU[l+8)

答案:

-X,x4-2,1)

四、解答题(每小题io分，共40分)

13.函数f(x)=区的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]

=-4,[2.1]=2.当xe(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解+析式,并画

出函数的图象.

-3)-2.5<x<-2

-2,-2<x<-1

-1,-l<x<0

f(x)=50,0<x<l

1,l<x<2

2,2<x<3

、3,x=3

函数图象如图所示：

3

2

1

-3-2-\O123x

-1-1

0-0

4-x2,x>0

14.已知函数f(x)=<2,x=0