2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学案含解析北师大版选修2-2

PAGE5简洁复合函数的求导法则授课提示：对应学生用书第21页[自主梳理]一、复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b.给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作________，其中________为中间变量．二、复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′(x)＝[f(φ(x))]′＝________.[双基自测]1．函数y＝(3x－4)2的导数是()A．4(3x－2) B．6xC．6x(3x－4) D．6(3x－4)2．函数y＝e2x－4在x＝2处的切线方程为()A．2x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．ex－y－2e＋1＝0D．ex＋y＋2e－1＝03．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝()A．1 B．2C．3 D．44．函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))的导数为________．5．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．[自主梳理]一、y＝f(φ(x))u二、f′(u)φ′(x)[双基自测]1．Dy′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．2．Ay′＝(e2x－4)′＝e2x－4·(2x－4)′＝2e2x－4，所以k＝2e2×2－4＝2.把x＝2代入y＝e2x－4，得y＝1，所以切点为(2,1)．所以函数y＝e2x－4在x＝2处的切线方程为y－1＝2(x－2)，所以2x－y－3＝0.3．Df′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4.4．3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))))′＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))·(－3)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x)).5．10f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.授课提示：对应学生用书第22页探究一复合函数的导数运算[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝eq\r(2x－1)；(5)y＝sin(3x－eq\f(π,4))；(6)y＝cos2x.[解析](1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.(2)y′＝eq\f(1,6x＋4)·(6x＋4)′＝eq\f(3,3x＋2).(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.(4)y′＝eq\f(1,2\r(2x－1))·(2x－1)′＝eq\f(1,\r(2x－1)).(5)y′＝cos(3x－eq\f(π,4))·(3x－eq\f(π,4))′＝3cos(3x－eq\f(π,4))．(6)设y＝u2，u＝cosx，则y′x＝y′u·u′x＝2u·(－sinx)＝－2sinxcosx＝－sin2x.复合函数求导的关键是选择中间变量，必需正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的依次复合而成的，分清其间的复合关系，要擅长把一部重量或式子短暂当作一个整体，这个短暂的整体就是中间变量，求导时须要记住中间变量，留意逐层求导，不遗漏．此外，还应特殊留意求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．1．求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,1－3x4)；(2)y＝sinx2；(3)y＝sin2(2x＋eq\f(π,3))；(4)y＝eq\r(1＋x2).解析：(1)令u＝1－3x，则y＝u－4，y′＝y′u·u′x＝－4u－5·(1－3x)′＝12u－5＝eq\f(12,1－3x5).(2)令u＝x2，则y＝sinu，所以y′＝cosu·u′＝cosx2·2x＝2xcosx2.(3)令y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f(π,3)，则y′＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·cos(2x＋eq\f(π,3))·2＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．(4)令u＝1＋x2，则y＝eq\r(u)＝ueq\f(1,2)，∴y′＝eq\f(1,2)u－eq\f(1,2)·(1＋x2)′＝eq\f(x,\r(1＋x2)).探究二复合函数导数的综合问题[例2]某港口在一天24小时内潮水的高度近似满意关系s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并说明它的实际意义．[解析]设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6).由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6))).将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．它表示当t＝18h时，潮水的高度上升的速度为eq\f(π,8)m/h.将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时改变率，体现导数揭示物体某时刻的改变状况．2．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断削减，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满意函数关系：M(t)＝M02－eq\f(t,30)，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的改变率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()A．5太贝克 B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克 D．150太贝克解析：∵M′(t)＝－eq\f(1,30)M02－eq\f(t,30)·ln2，∴M′(30)＝－eq\f(1,30)×eq\f(1,2)M0ln2＝－10ln2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－eq\f(t,30)，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D对复合函数求导因层次不清而致误[例3]函数y＝sinnxcosnx的导数为________．[解析]y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′＝nsinn－1x(sinx)′cosnx＋sinnx(－sinnx)·(nx)′＝nsinn－1xcosx·cosnx－sinnxsinnx·n＝nsinn－1x(cosxcosnx－sinxsin