同步优化设计2024年高中数学第三章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何§2空间向量与向量运算2.1从平面对量到空间向量2.2空间向量的运算课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是(A.-12a+12b+B.12a+12bC.-12a-12b+D.12a-12b答案A解析由题意,BM=BC+CC1+C1M=BC+CC2.已知三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则AE-12(ACA.BD B.DBC.12BD D答案D解析如图,取CD的中点F,连接AF,EF,∵三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,∴AE-12(AC+AD3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6 B.6C.3 D.-3答案B解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.4.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案B解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC所以(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(所以|AB|=|AC|,因此△ABC是等腰三角形.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则A1B·答案a2解析A=|A1B||A1D|=2a·2a·cos60°=a2.6.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,则λ=.

答案-3解析由m⊥n得m·n=0.m·n=(a+b)·(a+λb)=a2+(λ+1)a·b+λb2=18+(λ+1)×122×-22+16λ=6+∴λ=-327.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3,设AB=a,AC=b,AD=c,试用a,b,c表示BG,解BG=BM-14(=34×23=14(b-a+c-a)-1=-34a+14b+1BN=AN-=13b+13c-8.在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.解因为BC=所以OA·BC=OA·AC-OA·AB=|OA||AC|·cos<OA,AC>-|OA||AB|cos<OA,AB>=8×4×cos135°-8×6×cos即OA与BC所成角的余弦值为3-等级考提升练9.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,M,N分别是BC,CD的中点,如图所示,则AB+12(BD+A.AN B.CNC.BC D.1答案A解析AB+12(BD+BC10.设有四边形ABCD,O为空间随意一点,且AO+OB=DO+OC,A.平行四边形 B.空间四边形C.等腰梯形 D.矩形答案A解析由AO+OB=AB=DO+OC=DC,11.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于()A.5 B.5 C.6 D.6答案A解析∵|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=5.∴|a-b+2c|=5.12.已知向量a,b满意条件:|a|=2,|b|=2,且a与2b-a相互垂直,则<a,b>=()A.30° B.45° C.60° D.90°答案B解析a·(2b-a)=2a·b-a2=2|a||b|cos<a,b>-|a|2=42cos<a,b>-4=0.∴cos<a,b>=22,又<a,b>∈[0°,180°],∴<a,b>=45°13.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有()A.(AA1+AD+B.A1C·(A1C.AD1与D.正方体的体积为|AB·答案AB解析如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1A1C·(A1B1AD1与A而D1C与D1A的夹角为60°,正方体的体积为|AB||AA1||AD|.故A,B14.已知点M在平面ABC内,并且对空间随意一点O,有OM=xOA+13OB+13答案1解析∵点M在平面ABC内,并且对空间随意一点O,有OM=xOA+∴x+13+13=1,15.设向量a与b相互垂直,向量c与它们的夹角都是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么(a+3c)·(3b-2a)=.

答案-62解析(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a|2+9b·c-6a·c=-2×25+9×3×8×12-6×5×8×12=-16.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,求MN解∵MN=MB+BC+CN=23AB+(AC-AB)+13(AD-AC)=-13AB+13AD+23AC,∴MN·MN=-13AB+13AD故|MN|=MN·MN=53a,新情境创新练17.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE⊥A'D;(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.(1)证明设CA=a,CB=b,CC'=c依据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∴CE=b+12c,A