2024-2025学年新教材高中数学第9章统计9.1.2分层随机抽样学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE9.1.2分层随机抽样学习目标核心素养1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．(重点)2.了解分层随机抽样的必要性，驾驭各层样本量比例安排的方法．(重点，难点)3.结合详细实例，驾驭分层随机抽样的样本均值．(重点)1.通过对分层随机抽样的学习，培育数学抽象素养.2.通过对分层随机抽样的应用，培育数据分析素养.假设某地区有中学生2400人，初中生10900人，小学生11000人．此地区教化部门为了了解本地区中小学生的近视状况及其形成缘由，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．问题：你认为应当怎样抽取样本？1．分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简洁随机抽样，再把全部子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．(2)比例安排：在分层随机抽样中，假如每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的安排方式为比例安排．2．样本平均数的计算公式在分层随机抽样中，假如层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，则样本的平均数eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up7(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up7(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up7(－)).思索1：分层随机抽样的总体具有什么特性？[提示]分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体．思索2：简洁随机抽样和分层随机抽样有什么区分和联系？[提示]区分：简洁随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例安排抽取样本．联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小． ()(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公允的． ()(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成状况适合用分层随机抽样． ()[提示](1)错误．在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，还要依据总体的构成状况．(2)错误．依据抽样的意义，对每个个体都是公允的．(3)错误．适合用简洁随机抽样．[答案](1)×(2)×(3)×2．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长状况，采纳分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A．30 B．25C．20 D．15C[样本中松树苗为4000×eq\f(150,30000)＝4000×eq\f(1,200)＝20(棵)．]3．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中随意抽取25人，从女生中随意抽取20人进行调查．这种抽样方法是()A．简洁随机抽样 B．抽签法C．随机数表法 D．分层随机抽样D[从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．]4．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的状况，拟采纳分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．40[C专业的学生有1200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样原理，应抽取120×eq\f(400,1200)＝40(名)．]对分层随机抽样概念的理解【例1】(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的看法，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()A．抽签法 B．随机数法C．简洁随机抽样法 D．分层随机抽样法(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相像的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必需进行()A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．全部层按同一抽样比等可能抽样D．全部层抽取的个体数量相同(1)D(2)C[(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必需在全部层都按同一抽样比等可能抽取．]1．运用分层随机抽样的前提分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．2．运用分层随机抽样应遵循的原则(1)将相像的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简洁随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．eq\o([跟进训练])1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参与座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量B[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简洁随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]分层随机抽样的应用【例2】某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，老师有112人，后勤人员有32人．教化部门为了了解在职人员对学校机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．[解]抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).其次步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；从老师中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；从后勤人员中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人)．第三步，采纳简洁随机抽样的方法，抽取行政人员2人，老师人员14人，后勤人员4人．第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．分层随机抽样的步骤eq\o([跟进训练])2．在一批电视中，有甲厂生产的56台，乙厂生产的42台，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本．[解](1)确定各厂被抽取电视机的台数，抽样比为eq\f(14,56＋42)＝eq\f(1,7)，故从甲厂抽取56×eq\f(1,7)＝8(台)，从乙厂抽取42×eq\f(1,7)＝6(台)．(2)在各厂用简洁随机抽样抽取作为样本的电视机．(3)合成每层抽样，组成样本．分层随机抽样中的计算问题[探究问题]1．在分层随机抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？[提示]每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数，eq\f(n,N)为抽样比．2．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？[提示]设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1,2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则eq\f(ni,Ni)＝eq\f(n,N)，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．【例3】(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1212 D．2012(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____________．(1)B(2)20(3)6[(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的可能性相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(个)个体．(3)eq\x\to(w)＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6.]在例3(2)中，A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为________．20.5[由题意可知样本的平均数为eq\x\to(w)＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5.]进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系1\f(样本容量n,总体的个数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；2总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.3样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up7(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up7(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up7(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up7(－)).一、学问必备对于分层随机抽样问题，常利用以下关系式求解：eq\f(样本容量n,总体容量N)＝eq\f(各层抽取的样本数,该层的容量).二、方法必备选择抽样方法的规律：(1)当总体和样本量都较小时，采纳抽签法；当总体量较大，样本量较小时，采纳随机数法；(2)当总体可以分为若干个层时，采纳分层随机抽样．1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担状况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法 B．简洁随机抽样C．分层随机抽样 D．随机数法C[依据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．]2．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的状况，安排采纳分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人B[先求抽样比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故选B．]3．某高校为了了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．60[依据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60