庆阳市2025届高三阶段性调研测试（一模）数学试卷（含答案详解）

第1页/共19页庆阳市高三阶段性调研测试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求出集合的交集即可得出元素个数.【详解】因为集合，，所以，即集合中有2个元素.故选：B2.已知复数，则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法法则求的代数形式，再求其实部即可.【详解】因为，所以，所以的实部为.故选：B.3.若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（）A.3 B.12 C.15 D.3或15【答案】C【解析】【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解.【详解】因为双曲线方程为，所以，则，设双曲线的左､右焦点分别为，又点在双曲线的右支上，且，所以，则.故选：C.4.已知某圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圆台体积公式计算即得.【详解】根据题意，可得该圆台的体积为:.故选：B.5.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解.【详解】对于，有10-2x2≥010-2对于，其图象开口向下，对称轴为，当时，，当时，，所以当时，，即，又在其定义域内单调递增，所以，则，则的值域为.故选：D.6.在平行四边形ABCD中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平面向量的基本定理求解即可.【详解】如图：.故选：C7.若锐角满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用齐次式法求值可求出，进而求出的值，再利用两角和的正切公式即可求得答案.【详解】由题意可得，解得或，而为锐角，故舍去，则，故.故选：C.8.已知函数定义域为R，，，则下列结论错误的是（）A. B.是奇函数C. D.的图象关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D，结合奇函数的性质，即可求解C.【详解】取，则，即，得，故A正确；取，则，得，故是奇函数，B正确；对任意的都有，可得，因此的图象关于点对称，故D错误；由于且是奇函数，得，即，因此，C正确.故选：D【点睛】关键点点睛：由得到，即可判断对称，利用，即可利用递推法求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆：，则（）A.的焦点在轴上 B.的焦距为10C.的离心率为 D.的长轴长是短轴长的5倍【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆的几何性质即可逐一求解.【详解】对于椭圆：，可得，故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为，长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确.故选：BC10.设函数最小正零点为，则（）A.的图象过定点B.的最小正周期为C.是等比数列D.的前10项和为【答案】ACD【解析】【分析】直接将定点代入判断A，利用三角函数的周期公式判断B，利用整体代入法求得的零点，进而求得，再利用等比数列的定义判断C，利用等比数列求和公式判断D，从而得解.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，的最小正周期为，故B错误；对于C，令，得，所以，整理得，即的零点为，而是的最小正零点，则，，显然，，，所以an是，的等比数列，故C正确；对于D，an的前10项和为，故D正确.故选：ACD.11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（）A.在四面体中，点的曲率为B.在四面体中，点的曲率大于C.四面体外接球的表面积为D.四面体内切球半径的倒数为【答案】ABD【解析】【分析】根据正方体性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项.【详解】在正方体中，易证为正三角形，，，在四面体中，点的曲率为，A选项正确；在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确；四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为，四面体外接球的表面积为，C选项错误；四面体的体积，四面体的表面积，四面体内切球的半径，即，D选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为_______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______．【答案】①.②.【解析】【分析】由百分位数的概念求解即可；由古典概型的概率公式求解即可.【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，3，3，5，6，8，共个数，由于，所以这组数据的第60百分位数为：；从这组数据中任意抽取2个数据，则样本空间为：，共个样本点，则这2个数据相等的有共个，所以不相等的有个样本点，所以这2个数据不相等的概率为.故答案为：；13.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为________分钟．【答案】【解析】【分析】根据题意，小明每天运动时长构成等差数列，利用等差数列求和公式得解.【详解】由题意小明每天的运动时长构成等差数列，其中，，所以（分钟），即小明运动的总时长为1085分钟.故答案：14.若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则__________．【答案】2或4【解析】【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，即可求出答案.【详解】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r，由题意可得，，所以，即，解得或16，即或4，经检验，都满足题意．故答案为：2或4四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，，，．（1）求BC的长；（2）设D为AC边上一点，且，求sin∠BDA．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出的长.（2）利用正弦定理求出即可.【小问1详解】在中，，由余弦定理得：.【小问2详解】在中，由正弦定理得，所以.16.如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧．（1）证明：平面平面．（2）若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论.（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论.【小问1详解】因为平面，平面，所以，所以点四点共面，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】因为平面，平面，所以，，因为四边形为正方形，所以，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，，则A0,0,0，，，所以，，设平面的法向量为，则，故，令，可得，，故为平面的一个法向量，因为平面，所以为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，所以.所以平面与平面夹角（锐角）的余弦值为.17.贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．【答案】（1）100（2）0.3（3）分布列见解析，1.4【解析】【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值；（2）由正态分布的对称性即可算出结果.（3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望.【小问1详解】；【小问2详解】因为，所以，所以．【小问3详解】设1人获赠贵妃杏的个数为，则．依题意可得的可能取值为，，，，，，则的分布列为012340.250.30.290.120.04所以.18.已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5.（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率.【答案】（1）（2）4或【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解；（2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解.【小问1详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，当三点共线且点在线段上时，取得最小值，则，整理得，解得或，因为，所以，故的方程为.【小问2详解】设过点的直线.联立，消元得，则，由，得代入韦达定理得：化简得，得或.故的斜率为4或.19.定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数.（1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；（2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；（3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：）【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由定义中的任意性，将条件不等式转化为.求，构造二次函数，使即可；（2）按与的大小分类讨论，求解函数的值域，再结合定义建立关于的不等式求解可得；（3）利用（1）结论得，转化命题证明，构造函数，设出隐零点探求零点范围，证明即，将零点满足关系式代回化简换元，再构造新函数，证明即可.【小问1详解】由，，得，令，解得.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.因为为二次函数，且，所以的对称轴为，设，要使“”为三角形函数，只要，取，则，，满足，则，即成立.故若，取，可使得“”为三角形函数.（答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以）【小问2详解】，①当时，，则任意，故“”为三角形函数.②当时，由，则，；要使“”为三角形函数，由，解得，则有，所以；③当时，则，要使“”为三角形函数，由，解得，则有，所以；综上所述，实数的取值范围为.【小问3详解】，.由（1）知，，则任意，；下面证明.由，，则，令，则，所以在上单调递减.又，由参考数据可知，，则存在唯一的实数，使，即().所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；故，由()式可知，则