14.1 勾股定理 同步练习

第14章勾股定理14.1勾股定理基础过关全练知识点1勾股定理1.(2023广东广州越秀十六中期中)直角三角形的三边长分别为a，b，c，若a2=9，b2=16，那么c2的值是()A.5B.7C.25D.25或72.现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形框架，则所需要最短的木棒长是()A.50cmB.40cmC.30cmD.以上都不对3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c为Rt△ABC的三边长，若a+b=10，c=8，则Rt△ABC的面积为()A.9B.18C.24D.364.如图，在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，BD=4，CD=2，则AD的长度是()A.2.5B.3C.3.5D.45.(2023广东佛山南海期中)如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为()A.9B.16C.25D.56.(2023河南洛阳伊川期末)已知a、b为直角三角形的两边长，且满足(a-3)2+|b-4|=0，则第三边长为.

7.(2022广东河源和平期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a∶b=3∶4，则a=，b=.

8.(2022陕西西安月考)如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数-1的点重合，点D与数轴上表示数-4的点重合，AB=1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为.

9.如图，在△OAB中，OA=OB=5.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，连结OF并延长交AB于C，10.(2023辽宁沈阳虹桥中学期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=8，S△ABE=40.求BC的长度.知识点2直角三角形的判定——勾股定理的逆定理11.(2023山东烟台莱阳期末)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2-b2=c2，则下列说法正确的是()A.∠A是直角B.∠B是直角C.∠C是直角D.∠A是锐角12.(2023福建三明大田期中)下列各组数中，是勾股数的是()A.4，5，6B.1，2，3C.1.5，2，2.5D.9，40，4113.(2022江苏盐城东台期中)如图，在4×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于()A.130°B.135°C.140°D.145°14.△ABC的三边长之比为3∶4∶5，且最长边的长为10cm，则△ABC的面积为cm2.

15.王师傅在操场上安装几副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图所示，撑脚AB，DC的长为3m，两撑脚间的距离BC为4m，则AC=m就符合要求.

16.如图，以△ABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为.

17.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且CF=14CD.求证：∠知识点3反证法18.(2022吉林长春宽城期末)用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中()A.有一个内角小于45°B.每一个内角都小于45°C.有一个内角大于或等于45°D.每一个内角都大于或等于45°19.(2022山西临汾襄汾期末)用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补(填空).已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截.求证：∠1+∠2=180°.证明：假设∠1+∠2180°，

∵l1∥l2，∴∠1∠3.

∵∠1+∠2180°，

∴∠3+∠2≠180°，这与矛盾，

∴假设∠1+∠2180°不成立，即∠1+∠2=180°.

能力提升全练20.(2021山东滨州中考)在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为()A.3B.4C.5D.2.421.(2022四川成都中考)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为.22.(2022湖北咸宁中考)勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，经隅五.”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；……，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是.(结果用含m的式子表示)

23.(2021四川攀枝花中考)下图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由数学家赵爽在《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c.请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2=c2.素养探究全练24.【阅读理解】我国古代运用各种方法证明勾股定理，如图1，用四个全等直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形的直角边长分别为a、b，斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4×12ab，即(a+b)2=c2+4×12ab，所以a2+b2=c【尝试探究】美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”如图2所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C=∠D=90°，根据拼图证明勾股定理.【定理应用】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.求证：a2c2+a2b2=c4-b4.图1图2

第14章勾股定理14.1勾股定理答案全解全析基础过关全练1.D当b为直角边长时，c2=a2+b2=25，当b为斜边长时，c2=b2-a2=7，故选D.2.C解答此题时，易因在没有明确斜边、直角边的情况下直接认为50cm是斜边长致错.分两种情况：①当40cm和50cm为直角三角形的两直角边长时，所需要的木棒长=502②当50cm为直角三角形的斜边长时，所需要的木棒长=50∵302=900，900<4100，∴900=30<∴所需要最短的木棒长为30cm，故选C.3.A∵a+b=10，∴(a+b)2=100，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2=64，∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=100-64=36，∴ab=18，∴Rt△ABC的面积为12ab=9，4.B设AD=a，∵AB=AC，CD=2，∴AB=AC=AD+DC=a+2，∵BD是AC边上的高，∴在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即(a+2)2=a2+42，解得a=3，故选B.5.C如图，在Rt△DEF中，由勾股定理得，DE2=DF2+EF2，即DE2=9+16=25，∴正方形A的面积为25，故选C.6.答案5或7解析∵(a-3)2+|b-4|=0，∴a-3=0，b-4=0，解得a=3，b=4，当a，b为直角边长时，第三边长为32+当b为斜边长时，第三边长为42综上，第三边长为5或7.7.答案6；8解析∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2，∵a∶b=3∶4，c=10，∴a2+43a又∵a>0，∴a=6，∴b=8.8.答案-1-10解析由题意可得，AD=|-4-(-1)|=3，∵四边形ABCD是长方形，∴CD=AB=1，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=CD∵以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，∴AE=AC=10，∴点E表示的数为-1-10.9.解析由作图痕迹知OC平分∠AOB，∵OA=OB，∴△OAB为等腰三角形，∴OC⊥AB，AC=BC.在Rt△AOC中，由勾股定理得OA2=OC2+AC2，∴AC=OA∴AB=2AC=8.10.解析∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=8，S△ABE=40，∴AB·DE2=40，即AB×82=40，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∴BC=AB11.A由a2-b2=c2，可得c2+b2=a2，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，故选A.12.DA.42+52=41≠62=36，故不是勾股数；B.12+22=5≠32=9，故不是勾股数；C.存在小数，故不是勾股数；D.92+402=1681=412，且9，40，41都是整数，故是勾股数.故选D.13.B∵AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB=BC，AC2=AB2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=45°+90°=135°.故选B.14.答案24解析∵△ABC的三边长之比为3∶4∶5，且最长边的长为10cm，∴另两边的长分别为10×35=6(cm)，10×45∵62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积为12×6×8=24(cm215.答案5解析由题意可知AB为3m，BC=4m，∠ABC=90°，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25=52，所以AC=5m.16.答案直角三角形解析由题意得S1+S2=S3，即12π12BC2+∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.17.证明设AB=a，则BC=CD=DA=AB=a，∵E是BC的中点，CF=14CD∴BE=EC=12a,CF=在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=54a2同理可得EF2=516a2∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF为直角三角形，∠AEF=90°.18.D用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°.故选D.19.证明假设∠1+∠2≠180°，∵l1∥l2，∴∠1=∠3.∵∠1+∠2≠180°，∴∠3+∠2≠180°，这与平角为180°矛盾，∴假设∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2=180°.故答案为≠；=；≠；平角为180°；≠.能力提升全练20.D如图所示，过C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2∵AC\5BC2∴3×42=5CD故选D.21.答案7解析连结EC，如图.由作图可知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴CE=BE=4，∴∠ECB=∠B=45°，∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.在Rt△ACE中，AE=AC2∴AB=AE+BE=3+4=7.22.答案m2+1解析∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2-1，∴其弦是a+2=m2-1+2=m2+1.23.证明由题图可知S大正方形=4×12ab+(b