13.3 等腰三角形 同步练习

第13章全等三角形13.3等腰三角形基础过关全练知识点1等腰三角形的概念及性质1.(2022江苏宿迁中考)若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是()A.8cmB.13cmC.8cm或13cmD.11cm或13cm2.(2023四川资阳安岳期末)一个等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角的度数为()A.40°B.55°C.70°D.40°或70°3.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不一定正确的是()A.D是BC的中点B.AD平分∠BACC.AB=2BDD.∠B=∠C4.(2022山东滨州中考)如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，则∠C的大小为.

5.(2022福建连江期中)如图，在△ABC中，AB=AC=BD，则3∠ADB-∠CAD=.

6.(2023宁夏中卫期末)如图所示，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AB=AC.求证：AD∥BC.7.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，AD是△ABC的中线，∠ABC=30°，求∠CAD的度数.知识点2等边三角形的概念及性质8.(2023吉林长春吉大附中期末)如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1=45°，则∠2的度数为()A.75°B.95°C.105°D.120°9.如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1=50°，则∠2的大小为()A.60°B.80°C.70°D.100°知识点3等腰三角形及等边三角形的判定10.(2023山西吕梁汾阳期末)如图，A，B是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点O，测得OA的长为6米，OB的长为6米，∠O=60°，则A，B两点之间的距离是()A.4米B.6米C.8米D.10米11.(2023吉林长春南关期末)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD=6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为()A.6B.8C.10D.1212.(2023北京顺义期末)如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为()A.1B.2C.3D.413.(2023吉林长春朝阳实验学校月考)如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB=15，AC=18，则△AMN的周长为()A.15B.18C.30D.33[变式](1)如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，求证：DE=BD+CE；(2)如图2，若F是∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACG的平分线的交点，(1)中的其他条件不变，请猜想线段DE，BD，EC之间有何数量关系，并证明你的猜想.图1图214.如图，已知∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，且CD∥AB，求证：△ABC为等腰三角形.15.如图，已知△ABC中，∠B=60°，∠E=15°，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，判断△ABC的形状，并说明理由.16.(2022甘肃庄浪期中)已知：如图，∠A=∠D=90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.求证：△OEF是等腰三角形.17.(2022福建连江期中)如图，等边△ADE的顶点D恰好在等边△ABC的边BC上，AC，ED相交于点G，连结CE.(1)求∠ECD的度数；(2)已知F是ED延长线上的点，且∠FCD=∠CAD，判断CF和GF的数量关系，并证明.能力提升全练18.(2022辽宁鞍山中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延长BC到点D，使CD=AC，连结AD，则∠D的度数为()A.39°B.40°C.49°D.51°19.(2022山东泰安中考)如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=25°，∠1=60°，则∠2的度数是()A.70°B.65°C.60°D.55°20.(2022福建龙岩期中)在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于.

21.(2021黑龙江牡丹江中考)过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为.

22.(2021浙江温州中考)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB=DE.(1)求证：DE∥BC；(2)若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度数.23.(2022湖南怀化中考)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连结MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.(1)求证：MP=NP；(2)若AB=a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).素养探究全练24.(2022广东汕头潮阳期中)如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90°.解答下列问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.①当点D在线段BC上(与点B不重合)时，如图2，线段CE、BD之间的位置关系为，数量关系为；(不用证明)

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立?为什么?(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动.当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD(点C、E重合除外)?画出相应的图形，并说明理由.图1图2图3

第13章全等三角形13.3等腰三角形答案全解全析基础过关全练1.D当3cm是腰长时，3+3>5，能组成三角形，此时周长为3+3+5=11cm；当5cm是腰长时，3+5>5，能组成三角形，此时周长为5+5+3=13cm.综上可知，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm.2.D分两种情况：70°角为等腰三角形的底角时，等腰三角形的顶角为180°-2×70°=40°；70°角为等腰三角形的顶角.综上所述，等腰三角形的顶角的度数为40°或70°，故选D.3.C∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=DC.∴AD平分∠BAC，D是BC的中点，故A、B、D正确.无法确定AB=2BD，故C不一定正确.故选C.4.答案30°解析∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=12(180°-∠BAC)=12×(180°-120°)=5.答案180°解析∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠ADB=∠DAB，∴2∠ADB=180°-∠B=180°-∠C，∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠C=∠ADB-∠CAD，∴2∠ADB=180°-(∠ADB-∠CAD)，∴3∠ADB-∠CAD=180°.6.证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EAC=∠B+∠C，∴∠B=12∠EAC∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=12∠EAC∴∠B=∠EAD，∴AD∥BC.7.解析解法一：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠C=∠ABC=30°，∴∠CAD=180°-90°-30°=60°.解法二：∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°.∵AD是△ABC的中线，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD=12∠BAC=18.C∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠1=45°，∴∠1+∠ACB=105°，∵a∥b，∴∠2=∠1+∠ACB=105°.故选C.9.C如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1=50°，∴∠3=∠1+∠A=50°+60°=110°，∵直线l1∥l2，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=70°.故选C.10.B∵OA的长为6米，OB的长为6米，∴OA=OB，又∵∠O=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=6米，∴A，B两点之间的距离是6米，故选B.11.C∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∵△AED的周长为16，∴AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=16，∵AD=6，∴AB=10，故选C.12.C当AB为腰时，点C的个数为2；当AB为底边时，点C的个数为1.故点C的个数为2+1=3，故选C.13.D∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，∴MB=MO，NO=NC，∵AB=15，AC=18，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=33，故选D.[变式]解析(1)证明：如图，∵BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4.∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，∴∠1=∠3，∠6=∠5，∴BD=DF，EF=CE，∴DE=DF+EF=BD+CE.(2)DE+EC=BD.证明：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC.∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF.∵CF平分∠ACG，∴∠ACF=∠FCG.∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG，∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF，∵DE+EF=DF，∴DE+EC=BD.14.证明∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ECD=12∠ACE∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD，∠B=∠ECD，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC为等腰三角形.15.解析△ABC是等边三角形，理由如下：∵DF=DE，∠E=15°，∴∠EFD=∠E=15°，∴∠GDC=∠EFD+∠E=30°.∵CG=CD，∴∠CGD=∠GDC=30°，∴∠ACB=∠CGD+∠GDC=60°.∵∠B=60°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°，∴∠A=∠B=∠ACB，∴△ABC是等边三角形.16.证明∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(H.L.)，∴∠AFB=∠DEC，∴OE=OF，∴△OEF是等腰三角形.17.解析(1)∵△AED，△ABC都是等边三角形，∴∠ADE=∠EAD=∠CAB=∠B=∠ACB=60°，AE=AD，AC=AB，∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD，即∠EAC=∠DAB，在△EAC和△DAB中，AE=AD∴△EAC≌△DAB(S.A.S.)，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=120°.(2)CF=GF.证明：∵∠FCG=∠ACB+∠FCD=60°+∠FCD，∠FGC=∠ADG+∠CAD=60°+∠CAD，∠FCD=∠CAD，∴∠FCG=∠FGC，∴CF=GF.能力提升全练18.A∵AB=AC，∠BAC=24°，∴∠B=∠ACB=78°.∵CD=AC，∴∠CAD=∠D，∵∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠D=∠CAD=12∠19.A如图，设直线l2交AC于点E，∵AB=BC，∠C=25°，∴∠BAC=∠C=25°.∵l1∥l2，∠1=60°，∴∠BEC=∠1+∠BAC=60°+25°=85°，∴∠2=180°-∠C-∠BEC=180°-25°-85°=70°.20.答案7或11解析①当15是腰长与腰长一半的和时，AC+12AC=15，解得AC=10，所以底边长=12-12②当12是腰长与腰长一半的和时，AC+12AC=12，解得AC=8，所以底边长=15-1所以底边长为7或11.21.答案36°或45°解析分两种情况讨论：如图1，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD.则∠ABC=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∴∠CDA=2∠ABC，∴∠CAB=3∠ABC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠ABC=180°，∴∠ABC=36°.图1图2如图2，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD.则∠ABC=∠C=∠DAC=∠DAB，∴∠BAC=2∠ABC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴4∠ABC=180°，∴∠ABC=45°.综上，∠ABC=36°或45°，即原等腰三角形的底角度数为36°或45°.22.解析(1)证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE=∠EBC，∵DB=DE，∴∠DEB=∠DBE，∴∠DEB=∠EBC，∴DE∥BC.(2)∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠EBC=12∠23.解析(1)证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图，在等边△ABC中，∠A=∠B