江苏省南通、徐州、扬州、淮安、泰州、宿迁、连云港七市2025届高三第二次调研测试-数学二模答案最终稿（数学）

2025届高三第二次调研测试数学参考答案与评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。12345678ABDCACBB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9BCABDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）【解】（1）因为S=a2sin2B，所以acsinB=2a2sinBcosB，……2分所以c=4acosB．由正弦定理，得sinC=4sinAcosB．……4分所以4sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即cosAsinB=3sinAcosB，所以△ABC为锐角三角形．CDAEB所以在Rt△AEC中即b=3．……13分解得所以……9分16.（15分）【解】（1）因为D为BC的中点，PB=PC，因为平面PAD丄平面PBC，平面PAD∩平面PBC=PD，BC平面PBC，因为AD平面PAD，因为D为BC的中点，所以所以上BPC是平面PAB与平面PAC的夹角或其补角．……12分在△PBC中，所以平面PAB与平面PAC的夹角的正弦值为．……15分法2：如图，取AD的中点O，连接PO．所以平面PAD丄平面ABC．因为平面PAD∩平面ABC=AD，PO平面PAD，PO丄AD，如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A且与PO平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz.所以EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(-),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(-),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(-),A)zPDOxBzPDOxB设平面PBA与平面PAC的夹角为θ,所以．17.（15分）【解】（1）因为C的实轴长为2a，渐近线方程为y=±x，所以所以C的标准方程为．A……11分……13分……15分〔所以2-t所以PA.PB=(x1-t)(x2-t)+y1y2y2+(6-t)m(y1+y2)+(6-t)2得32(m2+1)+12(t-6)m2+(6-t)2(m2-2)=所以所以△APB外接圆是以AB为直径的圆，记为圆T．因为△APB外接圆被x轴截得的弦长为16，且A(2，0)，所以圆T交x轴于另一点D(18，0)，或D,(-14，0)．……11分所以圆心T在直线x=10上，或在直线x=-6上．因为直线l与C的右支交于A，B两点，所以圆心T在直线x=10上．联立所以．因为T为AB中点，所以即．……13分所以圆T半径的平方所以△APB外接圆的面积为84π.……15分所以△APB外接圆是以AB为直径的圆，记为圆T，所以半径……11分因为△APB外接圆被x轴截得的弦长为16，所以即，因为直线l与C的右支交于A，B两点，所以所以所以△APB外接圆的面积为84π.……15分18.（17分）【解】设每局比赛甲胜为事件Ai，每局比赛甲平为事件Bi，每局比赛甲负为事件*（1）设“两局后比赛终止”为事件M，因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或300分比赛终止．（i）当棋手得分为0分，则2局均负，即C1C2；（ii）当棋手得分为300分，则2局先平后胜，即B1A2．A2互斥，所以两局后比赛终止的概率为．……4分（2）设“3局后比赛终止”为事件D，“3局后棋手挑战成功”为事件E．所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．……9分（3）因为n局获奖励1万元，说明甲共胜2局．(ⅰ)当棋手第n局以0分比赛终止，说明前n—1局中有3负2胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(5),n)—1种．(ⅱ)当棋手第n局以300分比赛终止，说明前n—1局中有1负1胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有C—1种．则“n（n≥10）局后比赛终止且棋手获得1万元奖励”的概率分所以EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(5),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(5),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(5),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(5),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(5),n)CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(5),n)1<0，所以所以P单调递减，所以当n=10时，P(n)取最大值为P(10)=．……17分19.（17分）【解】（1）当x<0时，f(x)>0，所以f(x)在(-∞,0)上无零点．因为所以f在上单调递增，所以f(x)在(0，+∞)上至多一个零点．……2分当n=1时，f(x)有唯一零点1．当n≥2时，因为f(1)=1-n<0，f(n)=en-1-1≥e-1>0，所以函数f(x)有唯一零点，得证．……4分两边取自然对数，得所以an+1+lnan+1=ln(n+1)+1，两式相减，得因为函数y=x+lnx在(0，+∞)上单调递增，所以an+1>an，所以数列{an}单调递增．……6分假设数列{an}中存在am，am+1，am+2成等比数列，则a+1=amam+2，所以2lnam+1=lnam+由（*）式得，lnam=lnm+1-am，代入上式，得2ln(m+1)-2am+1=lnm-am+ln(m+2)-am+2，所以方程（**）无解．所以数列{an}中不存在连续三项按某顺序构成等比数列．……10分(ⅱ)先证明：x>0时，x-1≥lnx